iomeldar (1021896), страница 117
Текст из файла (страница 117)
Кроме того, ш второй (Ьх) и третий (1(х)) члены уравнения вычислены для середины приращения х, т. е. для ~х"' + — Лх"'~ . В резуль. тате получается следующее уравнение; а — + Ь ~х' '+ — Лх' ~ -)-1 ~х' -1- — Лх' '~ =С, Путем простых преобразований можно получить; ( — + — Ь) бх' ' = С вЂ” 1 ~х' ' + — ох' '~ — Ьх' '.
Члены правой части этого уравнения могут быть определены наклонной прямой Ь с полющью кривой )(х). Для определения членов левой части данного уравнении, т. е, 1 о -(- 1 Ь1 Лхпз требуется построить новую линию (линию а). Эта линия проводится из соответствующей точки линии Ь, имеющей абсциссу х"' (начало интервала), наклонно к отрицательной полуоси у. Наклон линии а определяется нз соотношения — = — ( — + — Ь). йра йх, (,ль 2 Из прямоугольного треугольника тхЕА следует, что это отношение соответствует котангенсу угла а. Если для Лг принята постоянная величина, то все линни а, называемые иногда линиями конечного оператора, имеют один и тот же наклон.
На каждой ступени построения величина времени 1 известна. Поэтому из кривой х =) (г) можно определить соответствующее значение х. Точка пересечения линии Ь с кривой )(х) определяет предельныезначения х и ы, которые наступают по прошествии бесконечно большого промежутка времени переходного процесса (например, если х есть ток (, а у — напряжение К то эта точка определяет значение установившегося тока). Пример 20.3. В цепи, изображенной на рис. 26.3, определить ток 1 как функцию времени, пользуясь методом конечных операторов.
Р е ш е н и е. Для втой цепи справедливо уравнение л — + ы+ и„(1) .—.— е, Й которое совпадает с уравнением типа а — + Ьх + ) (х) .= С. ох Ж Если заменить производную отношением конечных приращений, а второе и третье слагаемые выразить через соответствующие величины для середины приращения М, то Š— +г(1+ — йь)+(~~+-й( =Е, Ы (, 2 ! ~ 2 откуда после простых преобразований ( — + — г) Л1= Š— 1 ~1-1- — о() — г(. Лг 2 ) ( 2 В данном случае линия Ь определяется уравнением ((=Š— г(=100 — 10001.
Эта прямая линия имеет при(.=0 ординату ()=100 в и при (1 0 абсциссу 1=0, (а (рис. 20.12). Угол наклона линии Ь зависит от отношения — = — г = — 1000 ол. ашь й(ь 687 Наклон прямой а илн линии конечного оператора зависит от выбора Лг, которое входит в выражение с!2 а. Пусть ЛГ=-0,02 свк, тогда угол наклона определяется из выражения; Ли„( 1. 1 л) ( 100 1000') Л!в Л ЛГ 2 ? (0,02 2 — ( — + — г = — ( — + — ) = — 5500 ом.
Пиния а параллельна прямой, соединяющей деление 100 в масштабной шкалы на осн ординат и деление 0,018 а масштабной шкалы на оси абсцисс (тока г), т. е. 100 о 0,8 10 л -- 5,5 !О' а проводится иэ точки линни Ь, в которой ток с=О, этой прямой с характеристикой ! определяет ток л=0,0165 а в момент времени ! = Лг=О 02 сек. Следующая прямая а проводится нз точкк на характеристике Ь с абсциссой г.= 0,0165 а н т.
д. Первая прямая Точка пересечения 30 ?у? рр? ф?4 При г?гд? щ б?г р . го?г Р .. гО.!3 0,19 ! 0,12 ) 0,14 0,16 1, свк 0,02 0,04 0,06 0,08 1, а 0,0165 0,0295 0,0395 ! 0,04?5 0,053 !.0,058 0,062 0,065 О,о? ! ' Пример 20.4. Нераэвегвленная цепь (рнс. 20.13), состоящая из индуктивностн Л вЂ” -20 мгн и нелинейного сопротивления г(л) с вольтамперной характеристикой и (л) (рис. 20.14), включается под переменное напряжение и(!). Найти закон изменения тока в зависимости от времени. Р е ш е н не.
Уравнение баланса капрвжений для цепи имеет вид: ау и (!) =. Л вЂ” + и (!). Ф 688 Точка пересечения липин Ь с кривой !(х) иллеет координаты: л=0,0? а и (? =30 в. Полученные значения определяют соответственно ток в цепи и напряжение на зажимах диода при установившемся режиме, при этом напряжение на индуктивностп равно нулю. На основании графических построений, показанных на рис. 20. 12, ниже приведены значения тока г' для различных лючентов времени: Это уравнение можно представить в форме коиечиых приращений Л(, и (1)+ Ли (1) =Š— +и (1 + Лт), Л( откуда легко получить [и (1) + Ли (1)) — и (1+ Л() Е Лт Лг ' Отношение — определяет прямую конечного оператора.
В прямо- Лг угольиой системе координат построена характеристика и(1). Для удобства построения в той же'системе координат строится кривая иапряжения и (1), Рис. 20.И причем в качестве оси времеви выбрана ось ординат. Положительная полу- волна располагается в четвертой четверти, а отрацательная — в третьей (рис. 20.14). Период Т разбивается на малые промежутки. Например, при 25 гц, Т =0,04 оек период раэбивается на 20 частей.
Тогда Т 0,04 Л(= — = — '=0,002 сек, 210 20 1. аб 10 с120= — = =1О (ол). Л( О, 002 44 теооетичеекие аеиаеы еиектаотекиики. ч г Рис. 20.!5 Рис, 20,!б времени Лг,. Горизонтальный отрезок АН изображает напряжение на нелинейном элементе, вызванное вторым приращением тока Л1,; горизонтальный отрезок НŠ†напряжен на индуктнвностн при нзмейении тока на Л!л, Точка пересечения горизонтальной прямой, проходящей через точку О, с прямой, являющейся продолжением отрезка ОЕ, дает вторую точку Е характеристики нагрузки с координатами Лл, + Л1„1 Ли, + Ли,. Аналогичным путем определяются значения тока для последулощих моментов времени. При этом с течением времени линия нагрузки спиралеобразно закручивается против часовой стрелки и после нескольких оборотов замыкается, что соответствует установнвшемуся режиму.
Окончание переходного процесса зависит от начальных условий н затухания в цепи. Пример 20,б. Неразветвленная цепь (рис. 20.!5), состоящая из линейной емкости С =.2 мкф и нелинейного сопротивления г(!) с заданной вольтамперной характеристикой (рис. 20.16), включается под переменное напряжение и(!). Найти закон изменения тока в зависимости от времени !.
690 Первое приращение напряжения проектаруется в виде отрезка ОС точки С проводится под углом 0 пр прямой с кривой и(л) удовлетворяет Действительно, первое приращение напряжение на нечинейном элементе изображается отрезком ОВ, а напряжение на иидуктивности в том же масштабе равно отрезку ВС. Если нз точки А провести горизонталь. ную прямую до пересечения с продолжением проектирующей Ли, линии, пересекающей ось абсцисс в точке С, то получается первая точка Р кривой результирующей нагрузки с координатами (Л!о Лил). Следующему приращению времени Л!л соответствует приращение напряжения Ли,. Проекция этого напряжения на прялзую АР дает отрезок РЕ.
Из точки Е под тем же углом 0 к оси напряжения проводится прямая ЕС конечного оператора. Перпендикуляр ОН, опущенный на горизонтальную линию, определяет второе приращение тока Лл, в интервале Ли„соответствующее времени Лг„ на ось напряжения. Из полученной аман линия. Точка пересечения этой уравнению в конечных приращениях. тока Л!л определяется отрезком АВ, Р е ш е н н е. Для простоты решения этой задачи можно принять, что напряжение на емкости в начальный момент и начальное значение тока в цепи равны нулю. Ддя заданной цепн на основании второго закона Кирхгофа легко по.
лучить следующее уравнение: и (() = — ~ (А!+ и (!). 1 г, С,') ю Это уравнение можно записать в форме конечных приращений и (!)+ би (!) =ис+ — !+и (О. Ы. С Для первого приращения времени Ы, прн заряде иа конденсаторе о (О) = О, и (О) = 0 и ! (О) = 0 предыдущее уравнение имеет более простой внд: Ли, = — ' Ь(, +н (Ы,), Ы, С откуда Ы, Так как интервалы времени Ы, на которые разбивается время Т, по. Ы стоянны и емкость С также постоянна, то и отношение — постоянно. СлеС довательно, этому отношению на графике соответствует прямая линия. Если Т 0,02 Ы 0001 принять Ы= — = —,' =0,001 сек, то — = ' =500 ом. Прямая, про. =2,10= 20 = С =2.10-введенная из точки С оси напряжения под углом О, пересекает характеристику и(!) в точке А.
Прямую АС можно так же, как н в предыдущих примерах, назвать прямой конечного оператора. Первое приращение тока Лй определяется ордннатой АВ. Абсцисса точки Я дает отрезок ОВ, равныи в некотором масштабе напряжению на нелинейном элементе, а осталь. ная часть этого отрезка ВС=ОС вЂ” ОВ определяет напрнжение иа конденсаторе. Первая точка харвктеристики полной нагрузки, отмеченная цифрой (рис. 20.16), определяется координатами Ы, и Ьи . Второму интервалу времени Ыз соответствует приращение напряжения йнм Характерной особенностью расчета данной цепи является ориентация не на ток, а иа напряжение на конденсаторе.
К концу первого интервала напряжение на зажимах конденсатора измерялось на рис. ж).16 отрезком ВС. Так как это напряжение осталось от предыдущего интервала и входит в уравнение баланса напряжений, то его надо вычесть из напряжения н,= Ли, + Лиз и получить точку Е левее точки Е. Из точки Е проводится прямая конечного операто. ра до пересечения с характеристикой и (!) в точке О. Отрезок ОН опреде. ляет новое значение тока 1,. Отрезок ОН обозначает напряжение на нелинейном элементе прн токе („а отрезок Нр дает новое приращение напряжения / А!за . ка емкости ! — з) 1,. Как уже отмечалось, отрезок ЕЕ означает напряжение ~С)м на емкости, имевшееся к началу второго интервала времени. В общем слу- ГЫ! чае можно записать ис=~ — ) л!. Вторая точка кривой полной нагрузки =~ с) отмечена на рис.
20.16 цифрой 2. После третьего интервала времени Ы, получается новое приращение напряжения Ьнз, что дает иа оси напряжении точку О. Так как к концу второго интервала времени напряжение на конденсаторе оказывается равным в некотором масштабе отрезку НЕ, то это напряжение следует вычесть из напряжения и, и из точки К 69! 44ч провести прямую конечного оператора до пересечения с характеристикой нелинейного элемента. Необходимо отметить, что в этом интервале точка К случайно совпадает с точкой Р и прямая конечного оператора совмещается с прямой Рб. В результате ток 1, получается равным тону 1,.
Третья точка характеристики нагрузки отмечена цифрой 3. Каь видно из дальнейших построений, величина напряжения на емкости довольно быстро изменяется После вычитания напряжения ис из новых значений напряжения источниха получаются точки на оси (1 левее прежних точек. При этом пря! мая конечного оператора смещается ! г влево. Характеристика полной нагрузки пФ Г начинает загибаться сверху вниз и по- ворачиваться по движению стрелки ча(г(0 сов, что является характерным для цепи с емкостью. Пример 20.6. Нервзветвлеиная цепь Г( (рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
