Касаткин А.С., Немцов М.В. Курс электротехники (2005) (1021859), страница 23
Текст из файла (страница 23)
А. Зарядка емкостного элемента от источника постоянной ЭДС через резистивный элемент. Переходный процесс в цепи на рис. 5А описыва- ется неоднородным дифференциальным уравнением на основе второго закона Кирхгофа, закона Ома и = и' и соотношения между током за. г рядки и напряженнем в емкостном элементе 1 =Сби /йг [см. (2.11) ], т. е, и +и =ггьи =ГС вЂ” +и =Е. с с с, с (5.18) Общее решение уравнения (5.18) представляет собой сумму двух составляющих: с=ис,' „.
140 В первый момент времени после размыкания ключа г = О, напряжение на резистивном элементеЯ скачком возрастает от нуля и (О ) = = О до и (О,) =ЕВ(Г. Поэтому при 11 э.г между контактами ключа появляется значительное напряжение, которое и может вызвать дуговой разряд. Первая составляющая соответствует установившемуся режиму ис (5.19) и равна исса = 4е (5.20) где р = — 1!гС вЂ” корень характеристического уравнения гСр+ 1 =О. Таким образом, общее решение будет иметь вид и =и +и =Е+Ае С Су Сса (5.21) Для определения значения постоянной А в (5.21) обратимся к закону коммутации для емкостного элемента (5.2).
Будем считать, что до замыкания ключа, т. е, в момент времени г = О, емкостный эле. мент не был заряжен. Поэтому ис(0 ) 0 ис(0+) Е+ А откуда А = -Е, Подставив значение постоянной А в (5.21), найдем напряжение на емкостном элементе во время зарядки (рис. 5.4, б): с=Е(1 — И ), (5,22) где г = гС имеет размерность времени (Ом Ф = Ом - А с/В = с) и на. зывается постоянной времени цепи. Она, как и постоянная времени цепи на рис. 5.1, определяет скорость переходного процесса, Зависимость от времени напряжения на емкостном элементе (см. (5.22)1 определяет зависимости от времени зарядного тока и напряжения на резистивном элементе (рис.
5,4): Ее — г/т Г 141 так как зарядка емкостиого элемен- г та закончится, когда напряжение и с О будет равно напряжению источника эдс. Вторая составляющая соответствует свободному процессу, т. е. решению однородного дифференциального уравнения первого порядка Ни с + и = О, сас — — = -С вЂ” (5 23) сЕг с(г где знак минус указывает, что ток — зто гок разрядки в контуре цепи, обозначенном на рисунке штриховой линией, направленный навстре. чу напряжению на емкостном элементе. 5) Рис. 5.5 142 Заметим, что з первый момент после замыкания ключа, т. е. при г = О, ток в цепи !(О ) = Е/г; емкостный элемент в этот момент времени как бы коротко замкнут (напряжение на нем равно нулю). Поэтому при малом значении сопротивления г в цепи может наблюдаться значительный скачок тока. При О < г < г скорость н=менения напряжения на емкостном элелис 1 менте можно приближенно считать постоянной; — С ~ = †, а гс О Е 1 г напряжение и — г = / Ес(г — пропорциональным интегралу гС гС с напряжения источника ЭДС Е.
Если на входе цепи действует источник изменяющейся ЭДС е, то может оказаться, что для моментов времени переходного процесса, в которые и .ь и,, приближенно и, = е, а и = гг = гС с(иС/гй г С' С гСг1е/пг пропорционалыю скорости изменения напряжения источника, Следовательно, цепь с последовательным соединением резистивного и емкостного элементов, так же как и цепь с последовательным соединением резнстивного и индуктивного элементов, рассмотренную выше, при определенных условиях можно рассматривать н как интегрирующую, и как днфференцирующую.
В большинстве случаев процесс зарядки можно считать практически закончившимся через интервал времени, равный Зг. Этот интервал времени может быль достаточно большим (чем больше г н С, тем больше и т), что широко используется, например, в реле времени — устройствах, срабатывающих по истечении определенного времени. Б.
Разрядка емкостиого элемента через резистивный элемент. В электрическом поле заряженного емкостного элемента сосредоточена энергия [см (2.13)], эа счет которой емкостный элемент в течение некоторого времени сам может служить источником энергии. После подключения емкостного элемента, препларительно заряженного до напряжения и = Е, к резистнвному элементу с сопротивлением г (рис, 55, а) ток в цепи будет обусловлен изменением заряда с емкостного элемента (2.11): Составим дифференциальное уравнение переходного процесса в контуре цепи, обозначенном на рис.
5.5, а штриховой линией, иа основе второго закона Кирхгофа, закона Ома и соотношения (5.23): иис и — и =и' — и =гС вЂ” ~ +и =О, (5.24) с с с Так как в цепи разрядки емкостного элемента нет источника ЭДС, то дифференциальное уравнение (5.24) однородное и его общее ре. шение состоит только из свободной составляющей (5.20): (5.25) и =и =Ае с сы Для определения постоянной А в (5.25) обратимся к закону комму. тации для емкостного элемента (5.2). Так как до коммутации, т. е.
и в момент времени г = О, емкостный элемент был заряжен до на. пряжения источника, то ис(0 ) = Е = ис(0,) =.4. Подставив значение постоянной А в (5.25), получим закон изменения напряжения прн разрядке емкостного элемента (рис. 5.5, б): = Ее С где т = гС вЂ” постоянная времени цепи, Разрядный ток найдем по (5.23): ~иС ~ — гГ т ~ =-С вЂ” =- — е иг Ток разрядки скачком изменяется от нуля до значения ((0,) =Е/г, а зателз убывает по экспоненциальному закону (рис, 5.5, б) . в,в.
Рдэялдкл емиостного элементА в цепи С РЕЭИСТИВНЫМ И ИНДУКТИВНЫМ ЭЛЕМЕНТАМИ Больпюе практическое значение имеет цепь разрядки емкостного элемента через последовательно соединенные индуктивный и резистивный элементы, например в генераторах импульсов напряжений с конденсаторами н качестве источников энергии. Предполохсам, чго емкостный элемент С (рис. 5.6) был сначала заряжен от источника постоянной ЗДС до напряжения, равного Е (ключ К в положении 1). Затем ключ К переводится в положение 2 и емкостный элемент подключается к последовательно соединенным индуктивному Е и резистивному г элементам (эти элементы практически могут быль элементами схемы замещения катушки индуктивности) .
14з Емкостный элемент начинает разряжаться (ток разрядки !'), его заряд д и напряг ~а" жение и убывают. При этом энергия элект- Е С„ рического поля емкостного элемента пре"с 4 ! Е 1и образуется в энергию магнитного поля ин. дуктнвного элемента и частично рассеивается в резистивном элементе. гас. 5.б Запишем для контура цепи, обозначенного штриховой линией, дифференциальное уравнение на основе второго закона Кирхгофа, закона Ома и закона электромагнитной индукции: сн — и +и +и = — и +г!'+Š— =О.
С ! Е С (5.26) С !'=-С— а! (5.27) После подстановки (5 27) в (5.26) получим оцнородное дифференциальное уравнение цепи второго порядка: С аи ЬС +гС вЂ” С+и =О, 2 ,!! С (5.28) характеристическое уравнение которого Е~р 4 гСр + (5,29) Общее решение однородного дифференцизльного уравнения второго порядка (5.28) состоит только из свободной составляющей; и =и =А е!'!! + А егз! С С се 2 (5.30) ! ! ! где Р! з = — — + —, — — — корни характеристического урав- ЗЕ 46 ! С пения (5.29), В зависимости от значений параметров элементов цепи процесс разрядки может быль апериодическим или колебательным. !' 1 При — > — обз корня характеристического уравнения дей.
4Е !.С ствительные отрицательные и разрядка емкостного элемента имеет 144 Так как положительные направления тока и напряжения на емкостном элементе противоположны, т. е. ток ! — это ток разрялии, то, как и для цепи на рис. 5.5, а, г ! апериодический характер; при —, ( — корни комплексные и 4У. ЛС сопряженные и разрядка имеет колебательный характер. А. Копебательный процесс разрядки. В этом случае корни характеристического уравнения комплексные и сопряженные; (5.31) р, = — б +уота, г,г Б =,/и фо,„„„,у*м„;, = /5/~ьс — б'/ — б ственная угловая частота колебательного процесса.
Подставив комплексные значения корней в (5.30), получим зависимости от времени при колебательном процессе напряжения на емкоством элементе и затем по (9,27) разрядного тока: и. = е ~/(А/етого' + А,е /'"а') (5.32а) С а// у С С вЂ” Се — б/ [ б (А,еу~/о/ + Аге !ого!) о'/ + У'ога(А/его Аге У о ) ] (5.326) ис(0 ) = Е = ис(0+) = Аг + Аг' /' (О ) = 0 =! (0,) = С[Ь(А, + Аг) — уота(А/ — Аг)], откуда А, = Е(б + усоо)у2усоо', Аг = Е(уи/о б)у2уого. Подставим эти значения в (5.32а) и учтем, что по формуле Эйлера (2.25) +'ог г е у " = соя ого! + у'зги ого!. В результате получим зависимость изменения напряжения на емкостном элементе от времени в виде -бг и = — с (огосозоэо! + б51погоу).
(5.33) 145 Для определения постоянных интегрирования А, и Аг обратимся, как и в других задачах, к законам коммутации дпя индуктивного [см, (5.1)] и емкостного [см. (5,2)] элементов, До коммутации и, в частности в момент времени ! = О, непосредственно преднгествовавший коммутадии, напряжение на емкостном элементе равнялось ЭДС Е источника, а тока в индуктивном элементе не было, Поэтому 1 Рис.
5.7 Рис. 5 и Сумму косинусоидальной и синусоидапьной функций можно заменить одной синусоидальной функцией. Для этого положим, что отношение оэе16 = 18 17, т. е. 6Удем считать, что оэе и 6 — катеты пРЯмоугольного треугольника (рис, 5.7), гипотенуза которого гз 6 = IЙГс) — б б' = 1/ тс Разделив и умножив 15.33) на )( /ЕС, получим ис е з)п(с 1 + Ф), — 67,.
ш, х/ЕЕ. (5.34) и по (5.27) разрядный ток будет "С вЂ” Ь~ 1 = С е 5)пше(, ~И о7е 1. (5.35) Зависимости (5.34) и (5.35) показывают, что напряжение емкастного элемента и разрядный ток можно рассматривать как синусоидаль. но изменяющиеся во времени величины, но с амплитудами, уменьшающимися по экспоненциальному закону при постоянной времени т = = 1/Ь = 2Е/г. Для построения соответствующих зависимостей можно сначала построить вспомогательные экспоненты + — е для напряжения — 6| н ш, хг'г. с (рис. 5.8) и + е ' для тока. Кривые изменения напряжения и озе1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
