Касаткин А.С., Немцов М.В. Курс электротехники (2005) (1021859), страница 24
Текст из файла (страница 24)
тока (рис. 5.8) должны вписаться в пределы, ограниченные указанными вспомогательными экспонентами. Для нахождения характерных точек кривой изменения напряжения на емкостном элементе; таких как ис,(0) = е и и (1) = О, на РисУнке показана точками вспомогательнаи кривая — синусоида !4б г Б, Апериодический процесс разрядки. Если —, > —, то действн. 4а ЬС тельные корни характеристического уравнения (5.29) имеют отрицательные различные значения, причем Рг < Р < О. Для нахождения А, 1 и Аг в общем решении (5.30) воспользуемся аналогично предыцущему законами коммутации для емкостного и индуктивного элементов.
и (О ) = Е = и (О ) = А, + Аг, С вЂ” ' С ии г'(О ) = 0= 7 (О ) = С вЂ” 1 = С(ргАг+ РгАг), Ж т. е. Ргй РгЕ А,= — >О, Аг= < О. Рг Рг Рг Рг Подставив найденные значения постоянных интегрирования в (5.30), получим напря:кение на емкостном элементе: РгЕ РгЕ и = ер' 4 ер" Рг Рг Рг Рг и ток разрядки: с7иС Р, РгйС С' (,Ргг ергг) Нг Рг Рг Кривые изменения напряжения и тока показаны на рис. 5.9, где штриховыми линиями нанесены также вспомогательные экспоненты. В течение всего переходного процесса напряжение н ток остаются по.
ложительными, т. е. разрядка емкостного элемента апернодическая. Для предельного случая апериодического процесса при гг/(4Хг) 1/(ХС) характеристическое уравнение имеет два одинаковых действительных корня рг = Рг = Р -г7(2Е) (кратные корни). При кратных корнях общее решение дифференциального уравнения (5.28) от.
личается от (5.30) и записывается в виде и -- (А, + Агт)е рг С Рис. а.9 147 где постоянные А1 и Ат определяются на основании законов коммута- ции. Напряжение на емкостном элементе и ток во время предельного апериодического процесса разрядки т — — г ть Е и =Е~1 е — г)е 1= — ге эл с ' 2с ь' Е,т, ПОДКЛЮЧЕНИЕ НЕРАЗВЕТВЛЕННОЙ ЦЕПИ С ИНДУКТИВНЫМ, РЕЗИСТИВНЫМ И ЕМКОСТНЫМ ЭЛЕМЕНТАМИ к источника постоянной эдс В отличие от процесса разрядки емкостного элемента в цепи на рис. 5.6, описываемого однородным дифференциальным уравнением (5,28), процесс зарядки в аналогичной цепи от источника постоянной ЭДС Е (рис.
5.10, а) описываается неоднородным дифференциальным уравнением С т С ЕС вЂ”, ьгС вЂ” +и =Е. сй от с Решение этого уравнения представляет собой наложение установившегося и свободного процессов 'С = псу + иСсе и = Е ь А ер'' + А ер", С 2 (5.36а) и зарядный ток С Г = С вЂ” с = р,СА,ер" + р,СА,ер" иь (5.36б) 148 где составляющая свободного процесса совпадает с (5.30), а составляиацая установившегося процесса и = Е (зарядка до напряжения, су равного ЭДС), т е. общее решение эьзя напряжения на емкостном эле. менте, имеет вид До замьпсания ключа напряжения на емкостном элементе и тока в цепи не было. Поэтому в соответствии с законами коммутации получим для момента замыкания ключа (т = 0) два уравнения для определения двух постоянных А, н .4, . иС(0 ) =О=иС(0,) =-Е4А,+Аз, 1'(О ) =0=1'(О) =р,А,+р,А,, откуда определяются постоянные: А, = ртЕ)(р, — рт), Ат = р с)(рт — р,).
Ограничимся здесь анализом колебательного 1см. (5.3!)) процесса зарядки. Выполнив преобразования, аналогичные переходу от (5,33) к (5.34), получим зависимости изменения во время напряжения на емкостном элементе и зарядного тока (рис. 5.10, б): пс ис 4 ис Р ' е э)п(оэег+ Р); — 61 с с>' с чс Е 51. 1 =- С вЂ” = — Е Э!Песет. ят соес Напряжение на емкостном элементе достигает наибольшего значения в момент времени т = я1сое. Оно тем больше, чем постоянная времени т = 1Я больше периода собственных колебаний Те = 2я/гое; и в пределе может превышать почти в 2 раза установившееся напряжение. Такое перенапряжение может быль опасно для изоляции высоковолыных установок.
Чтобы исключить перенапряжение, нужно осуществить апе. риодический режим зарядки, например включить последовательно в цепь добавочный резистор. 6.8. ПОДКЛЮЧЕНИЕ НЕРАЗВЕТВЛЕННОЙ ЦЕПИ С ИНДУКТИВНЫМ И РЕЗИСТИВНЫМ ЗЛЕМЕНТАМИ к истОчникУ синусоидлльнОЙ здс В неразветвленной цепи (рис. 5.11, а) с источником синусоидальной ЭДС е = и = (т а(п(тот + ф ), при установившемся режиме синутя и ' соидальный ток согласно (2.46) = т' азп(оэт + ф — р), ( -и„,г/ё ~ о*-.
-.т,.* щ -.,.~т( и.)- аргумент комплексного сопротивления цепи; тт — начальная фаза. И 149 Неоднородное дифференциальное уравнение переходного процесса, возникающего после замыкания ключа, подобно уравнению (5А), т, е, имеет вид и + и = Есгг',гсг'Г + гг' = е. а Его общее решение равно сумме свободной [см. (5.7) ] и установившейся составляющих тока: г — — г г =г + г' =7 51п(сот + Ф вЂ” р)+Ае са ю и На основании закона коммутации лля индуктивного элемента [см. (5.1)1 вмоментвремени с =О справедливосоотношение г' (О ) = О = г (О ) = Г а(п(фг,р) + А откуда определяется постоянная интегрирования А = -1„,а(п(11ги — Р). Подставив значение постоянной А в общее решение, найдем зависимость тока от времени; г' = г + г =! абп(щг + ~ф — чг) — 7 а1п(Ф вЂ” чг)е ' г, у св иг и иг и где т = с.,сг — постоянная времени цепи.
Таким образолг, во время переходного процесса ток в цепи состоит из синусоидапьной составляющей и свободной составляющей, убывающей экспонеициально (рис. 5.11, б), Практически через интервал времени Зг после замыкания ключа свободной составляющей можно пренебречь. Рис. 5 1! 150 Если момент коммутации (т = О) выбран так, что начальная фаза напряжения источника Ф = Р, то свободная составляющая тока равна и пулю, т.
е. переходного процесса нет и в цепи сразу устанавливается синусоидальный ток, Если начальная фаза напряжения источника ф = Р+ я/2,то интенсиви ность переходного процесса будет наибольшая. В момент времени г— = Т[2 = я/иэ максимум тока будет наибольшим и в пределе при т > Т близким к 2! ю' Аналогично рассчитывается переходный процесс при подключении источника синусоидальной ЭДС к цепи с последовательно соединенными реэистивным н емкостным элементами и в других случаях. И здесь переходный процесс зависит от начальной фазы напряжения источника: он отсутствует при 4„= у + и!2, где Р = агстя [ — 11'(соСг) ] < О, и выражен наиболее сильно при й = 1и, когда максимальное напряжение на емкости ном элементе может почти в 2 раза превысить амплитуду установившегося напряжения.
Такое перенапряжение может привести к пробою изоляции в высоковольтных установках. В,В, ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ Операторный метод не обладает физической наглядностью в силу своей глубокой математической формализации, но в ряде случаев упрощает расчеты. Его идея заключается в том, что расчет переходного про. цесса переносится из области функций действительной переменной (времени !) в область функшай комплексного переменного р, в которой дифференциальные уравнения преобразуются в алгебраические.
Такое преобразование называется прямым, Полученное решение алгебраических уравнений обратным преобразованием переносится в область действительного переменного. Строгое обоснование метода дается в курсе математики. Здесь познакомимся лишь с техникой применения операторного метода. Для прямого преобразования функций времени У(т) применяется преобразование Лапласа ии г(р) = 1 е Р'Т'(г)с(г, (5.37) о что сокращенно записывается так; г" (р) = (.[~(т)), где функция времени )(Г) — однозначная, называемая оригиналом, определенная при т Р О, интегрируемая в интервале времени 0 — " и равная нулю при г < 0; г" (р) — функция комплексного переменного р = о + /с | при Ке р = а > О, назьваемая лапласовым иэображением.
151 2. Теорема об интегрировании (5.39) Таблица 5 ! Иэображения функций по Лапляеу Функция оригннел /(О Изображение функции Р (Р) Выражение функции Вил функции [ 0 при (с 0 зь1 при ело 1 Р (елиничняя функция) 1 р еа -аг е а р(р+ а) — а( 1-е 1 Р 13 — а (Р + а)(р - В) — аг -))г е — е 152 Примем, что начало переходного процесса в цепи соответствует моменту времени Г =О. В табл. 5.1 приведены примеры изображения простых функций.
Отметим некоторые свойства преобразования Лапласа, называемые также теоремами, 1. Теорема о сложении нли линейность преобразования ЦаА(г) + аэ/з(г)] = а) 1.[)',(г)] + аэ)-[5э(()]. (5.38) 3. Теорема о дифференцировании 1.[г()'(г)]г(г] = р~ (р) — )'(О ). (5,40) 4, Теорема запаздывания 1.[)'(1 — Т)] = е Р~(.[)'(г)] = е Р Р (Р), (5.41) Преобразование (5.37) позволяет получить соотношения между напряжением и(г) = и и током 1(г) = 1 в операторной форме для ре.
зистивного, индуктивного и емкостного элементов. Изображение напряжения на резистивном элементе и,(г) = п(1) по (5.25) (У (р) = г ) е " г' (г)дг = г1(Р), о (5,42) Выражение (5,42) называется законом Ома в операторной форме для резистивного элемента (рис. 5.12,а), оц Изображение напряжения и = 1.
— на индуктивном элементе по 'цг (5.38) и (5.40) У (Р) = -1л (0) + Р1,1 (Р), (5.43) где 1(0) =1(0 ) =1(0,) — ток в индуктивном элементе в момент коммутации г =О, учитывающий начальные условия (5,1). Напряжение на емкостном элементе, начиная с момента времени г =0 возникновения переходного процесса в общем случае, с ис(г) = ис(0) 1(г) ° — Х ! (1)(г, С о где иб(0) = и (О ) =- и (0,) — напряжение на емкостном элементе, соответствующее начальному условию (5.2) . РМ о оо (р) а) Риа 5 12 153 7(Р) а2 Е(т) ,(г) '(') "с 11) ,(о) 2(Р) РС Р Учитывая изображение единичной функции Ь]1(()] =!/р (табл.
5,1) и соотнопиния (5.38) и (5.39), найдем изображение напряжения и (1): ~с( ) ис(Р) с, /(1,) Р лс (5.44) (5.45а) и (р) — р/,/(р); для емкостного элемента 1 и (р) = — 2(р), С РС (5.45б) где рА и 1/(рС) — сопротивления индуктивного и емкостного элементов в операторной форме. Воспользовавшись линейностью преобразования Лапласа (5,38) и для суммы токов в любом узле цепи Х 1 (1) = О, полу ам первый а=! закон Кирхгофа в операторной форме: (5.46) Е /(р) =О, а=1 где 1 (р) =Ь[/ (1)] (рис.5.13,а,б). Аналогично и второму закону Кирхгофа для любого контура по (2.29) Х и,(1) =О, «" 1 Рис.
5 1Э 154 Выражениям (5,43) и (5.44) соответствуют схемы замещения индуктивного и емкостпого элементов в операторной форме на рис. 5.12, б и в. Если начальные условия нулевые, т. е. 1 (О ) =О и и (О ) =О, 1. с то выражения (5.43) и (5.44) примут вид закона Ома в операторной форме для индуктивного элемента или в другой форме по (2.49) н и Х и (1) = «; е(1) «=1 «=1 соответствует его представление в операторной форме т (7«(р) = О, «=! (5.47а) (5.476) Е У„(р) = Х Е,(р), «=1 «=1 !у(р«) 7(1) =Х вЂ”, е м(р ) (5.48) где Ф(р) и М(р) — многочлены в числителе и знаменателе изображе. ния Е(р); М' ( р) — производная многочлена М(р) по р; р„— корни многочлена М(р) = О, где предполагается, что корни простые. Если получаются кратные корни, то теорема разложения записывается в другой форме.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
