Касаткин А.С., Немцов М.В. Курс электротехники (2005) (1021859), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Закон коммутации для емкостного элемента легко получить по аналогии с доказанным законом коммутации для индуктивного эле- 134 мента. Действительно, сравнивая выражения для энергии магнитного поля индуктивного элемента )У = Пз/2 и энергии электрического лом Ь ля емкостного элемента И' = Сиз/2 [см.
(2.!3)], видим, что относи. з С тельно тока ! и напряжения и. они аналогичны. Следовательно, анализ энергетических процессов в емкостном элементе приведет к выводу; изменение налряжения на емкостном элементе скачком невозможно, т. е. (5.2) где ! — момент времени, в который произошла коммутация в цепи. ед Те же законы коммутации следуют из соотношений и =Ь вЂ” и (Й С С вЂ”, так как при изменении скачком тока ! и напряжения ш иС получаются бесконечно большие значения напряжения и и тока !с,, что нарушает выполнение законов Кирхгофа. Токи в индуктивных элементах !' (! ) и напряжения на емкостных элементах и (! ) непосредственно перед коммутацией называются начальными условиями, Если токи в индуктивных элементах и напряжения на емкостных элеьюнтах цепи в момент времени ! равны нулю, т. е.
!ь(! ) = О; и (! ) = О, то зти условия называются нулевыми начальными условиями, В противном случае получаются ненулевые начальные условия. В.а. ЛЕЯЕХОДНЫЕ ЛЯОЦЕССЫ В ЦЕЛИ С ОДНИМ ИНДУКТИВНЫМ ЭЛЕМЕНТОМ Рассмотрим несколько примеров переходных процессов, возникающих при коммутации в цепи постоянного тока с одним индуктивным элементом. А. Подключение источника постоянной ЭДС к нераэветвленной цепи с реэистивным и индуктивным элементами. Проанализируем переходный процесс в цепи при замыкании ключа )( в момент времени ! = О (рис. 5д,а), выполнив последовательно все этапы расчета классическим методом (см.
й 5.2). В дальнейшем для сокрэщения решений математические операции отдельных этапов будем совмещать. !. При выбранных положительных направлениях тока ! и напряжений и„и и составим систему уравнений, описывающих состояние цепи на основе второго закона Кирхгофа, закона Ома и Закона электромагнитной индукшги: (5.3) и + и = Е; и = Е!!!'/с!т; ! 35 иь Рис.
5.! Исключан из системы уравнений (5.3) переменные и„и и, получаем неоднородное дифференциальное уравнение переходного процесса первого порядка Т.й/дг + и' = Е. (5.4) 2, Найдем общее рецюние неоднородного дифференциального уравнения (5.4) как сумму его частного решения и общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения: Т.й/дт + и' = О, (5.5) Частным решением неоднородного дифференциального уравнения первого порядка (5.4) является постоянньй ток (нет изменения тока и й/ог = О) после окончания переходного процесса (который теоретически продолжается бесконечно), т.
е. 1 =Е/г, У (5.6) называемьй установившимся током Непосредственной подстановкой легко убедиться, что это частное репнине удовлетворяет неоднородному дифференциальному уравнению (5.4), Общее рецюние однородного дифференциального уравнения (5.5) называется свободным током ! = Аел', (5.7) где р = -г/Т. — корень характеристического уравнения 7.р+ с=О. (5.8) Š— — г Г !'=! +! = — + Ае с У с (5,9) 3. Определим постоянную интегрирования А в общем решении (5.9).
Для этого обратимся к закону коммутации для индуктивного элемента (5.1) в момент времени замыкания ключа г = О. Так как ток !56 Таким образом, с учетом (5.6) и (5.7) общее решение неоднородного дифференциального уравнения (5.4) имеет вид в индуктивном элементе не может измениться скачком, а до коммутации, т. е. в момент ( =О, он бьщ равен нулю, то (' (О ) = 0 = ( (О ) = Е/г + А, откуда А = — Е/г (5.10) Подставив это значение постоянной А в (5.9), получим закон нарастания тока в цепи (рис, 5,1, б) (5.11) где т = Т./г имеет размерность времени (Гн/Ом или с) и называется иосгоянной времени цепи.
Постоннная времени определяет скорость нарастания тока и равна времени, за которое ток ( достиг бы уста. новившегося значения ( = Е/г, если бы скорость его изменения оста. валась неизменной и равной начальному значению скорости Л/Ж !, = Е/Е, Переходный процесс часто можно считать практически закончившимся через интервал времени Зт с момента коммутации, когда ток достигнет значения ( (Зг) =0,95Е/г. Так как зависимость тока от времени найдена (5.11), то нетрудно определить и зависимости от времени напряжений на резистивном и индуктивном элементах (рис.
5. 1, б): и =г('=Е(! — е ' ); и =й — =Ее (- и( При 0 < ( ( т скорость изменения тока в цепи м тжно считать приА1 Е ближенно постояш(ой и равной — ~ = — Следовательно, в этом (=О интервале времени приближенно напряжение на резистивном элементе равно е и ю — Е( = — / Ее((, ь ь' О т.
е. пропорционально интегралу напряжения источника ЭДС Е Такую цепь принято называть интегрирующей целью, При действии на входе цепи истою(ика изменяющейся ЭДС е может оказаться, что в некоторые интервалы времени переходного процесса и > и . Для этих и(первалов времени ток в цепи ( =е/г, а напряжение г (.' е(! (.
е(е на индуктивном элементе и = Е = — — приближенно пропоре'( е ((( (37 и + и = 1 гй1г1Г + г( = О. (5.12) Так как дифференциальное уравнение (5.12) однородное [совпадает с уравнением (5.5)), то его общее решение соцержиз только свободную составляющую (5.7): ! =1 =Ае (5.13) где т = 1./г — постоянная времени цепи. Осталось найти значение постоянной А.
Для этого опять обратимся к закону коммутации для индукзивного элемента (5.!). Так как до замыкания ключа и, следовательно, в момент времени г =О в катушке бып постоянный ток, равный с((г + Н), то г'(О ) = Е/(г + Я) = 1(О,) = А. Подставив значение постоянной А в (5.13), получим ток в катушке индуктивности; Š— е г +Л (5.14) Ток в катушке индуктивности после коммутапии (рнс. 5.2, б) поддерживается за счет энергии, накопленной в ее магнитном поле. Теперь можно опредслитя и зависимости от времени напряжений на резистивном и индуктивном элемснзах (рис.
5.2, б): гЕ и,=г(= е" Г +л дг гЕ и =А — = — — е — 1! г Е ш г Я В. Размыкание цепи с катушкой индуктивности. При размыкании неразветвленпой электрической пепи с катушкой инлуктивности меж. ! 38 ционально скорости изменения напряжения источника ЭДС е. Имея это в виду, эту же цепь называют диффереияирующей цепью. Б. Короткое замыкание катушки индуктивности с током. Рассмотрим переходный процесс в цепи катушки индуктивности с током, об. падающей кроме индуктивпостл 1. также сопротивлением г, при замыкании ее накоротко ключом А'. Подобные условия имеют место в обмотках электрических маца~и и аппаратов, Для этого представим катушку иидуктивности схемой зал~сщенпя в виде последовательного соединения индуктивного и резистивн<но элементов (рис.
5.2, а) . Запишем дифференциачыще уравнение переходного процесса в цепи после замыкания ключа: Рис. 5.3 Рвс. 5.2 ду размыкаюшимися контактами возникает дуговой разряд. Такой разряд наблюдается, например, в скользящих контактах электриче. ского транспорта. Чтобы дугового разряда не было, необходимо параллельно участку цепи между контактами включить резистор.
На рис. 5.3, а приведена схема замегдения электрической цепи, в которой катушка индуктивности представлена последовательным соединением индуктивного Е и резистивного т элементов, а выключатель представ. лен в виде параллельного соединения идеального ключа и резистивного элемента Я. Составим дифференциальное уравнение переходного процесса цепи после размыкания ключа; и + и + и = ЕЙ11с(1 + (т + Я)! = Е, (5.15) 1, т Это дифференциальное уравнение полностью совпадает (с точностью до обозначений элементов) с уравнением (5А).
Следовательно, его общее решение аналогично (5,9): с+ К Е вЂ” — т 1 =1 + Ае Ь у св + (5.16) 1 (О ) = Е/т = 1 (0,) = Е((т + Я) + А, откуда А = Е(т — Е1(т + Я) = КЕ~т(т ь 11). ! 39 где 1 = Е1'(т + 11) — установившаяся составляющая тока, равная по- У стоянному току в цепи после размыкания ключа. Для определения постоянной А в (5,16) обратимся к закону коммутации дпя индуктивного элемента (5,1). До размыкания ключа, т. е.
н при 1 = О, в катушке был постоянный ток Е1 т, Поэтому по закону коммутации Подставив значение постоянной А в (5.16), найдем ток в цепи катушки индуктнвности после размыкания ключа (рис. 5.3, б); е ( л — ~1+ — е + л (5.17) где Г=Е/(г + Е) — постоянная времени цепи, Зная ток в цепи, нетрудно определить зависимости от времени напряжений на резистивном и индуктивном элементах грис. 5.3, б): / и =и' 11+ — е г+Е г ЕЕ / Е и =к1= ~1+ — е ~~ ); сд Я и =Š— = — — Ее Д г г В.В. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА С ОДНИМ ЕМКОСТНЫМ ЭЛЕМЕНТОМ Рассмотрим процессы в цепи прн зарядке и разрядке емкостного элемента.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
