Касаткин А.С., Немцов М.В. Курс электротехники (2005) (1021859), страница 25
Текст из файла (страница 25)
В качестве примера рассчитаем ток в цепи, содержащий В = 3 ветви и У = 2 узла (рис. 5 14, а) при ЭДС р (г) = Ее о' (рис. 5.14, б) и нулевых начальных условиях, т. е, при ! (О ) = О, операторным методом. 155 где (7 (р) = Ь [и«(г)] и Е„(р) = 1-[е«(г) ] При расчете переходного процесса операторным методом полезно вьщелить несколько логически самостоятельных этапов: 1) представить исходные данные о параметрах всех элементов схемы цепи в операторной форме. Это означает, что, во-первых, ЭДС источников напряжения и токи источников тока, заданные мгновенными значениями е (г) и 3 (1), следует представить по (5.37) соответствующими изображениями Е(р) и !(р) и, во.вторых, пассивные элементы— схемами замещения по рис.
5.12; 2) для полученной схемы замещения в операторной форме составить и рецить полную систему независимых уравнений по первому [см. (5.4б)] и второму [см. (5.47)] законам Кирхгофа в операторной фор ме, т. е. найти изображение Е(р) искомой величины, например ток 7(р); 3) наиболее часто иэображение имеет вид рациональной дроби Е(р) = !у(р) для которой обратным преобразованием нужно найти орим(р) ' гинал 7(1), например ток !'(1). Зля этого можно воспользоваться теоремой разложения Для этого выполним последовательно все этапы расчета; 1) по правилам, показанным на рис, 5.12, составим схему замещения в операторной форме (рис, 5,14, в), где Е( р) =Е/( р 4 а) — изображение функции ЭДС е(г), найденное по (5 37) или выписанное из табл. 5.1; 2) при выбранных положительных направлениях токов составим одно (У вЂ” 1 = 2 — 1 = 1) уравнение по первому закону Кирхгофа для узла а: — 11(Р) г 12(Р) + 12(Р) = О (5,49 а) и,(р)+ и,(р) =е(р); иг(р) - и, (р) = О или г, !1 ( р) + РЕ1 ( р) = Е ( р); (5.49б) гггг(Р) — РЕЕЕ (Р) = О, (5.49в) где учтены законы Ома для пассивных элементов (2.42) и (2.45а).
Репин систему трех алгебраических уравнений (5.49), определим ток в операторной форме; ггЕ гт(Р) ! (11 + сг) Ее (р) = м(р) / гггг (Р+ а) !Р+ Е (11 + гг) Многочлен М(р) =О имеет два корня: р, = а и Рг = гггг! !о(гг + + гг)) = — (), аМ'(р) =2р+ а 4() По теореме разложения (5,48) опре- — 'Е 1, 12 О 21(Р) аг 1 гг ~!2(Р) ~аг(Р) е(р) Ь а) Ь 5) Рис. 5.! 4 !56 и два (11 = — У+ ! =3 — 2+ 1 =2) уравнения по второму закону Кирх° фадлан ур ! и г: делим ток; Екг (к (г) [е — е [)[; кгкг аЬ (кг + кг) измеиеиие тока покаэаио па рис, 5.14, б, Во многих практических случаях расчетов пользоваться прямым [сьь (5.37)[ и обратным [см.
(5.48) [ преобразованиями иет необходимости, так как имеются обширные справочные материалы соответствия оригииапов и их изображений, подобные приведенным в табл. 5.1. вдв. вдсчат пввяходных пвоцяссов на эвы г11ег7г11 =);(гег,..., (е~ исг "" исл г)' гггет7к(г гт((у.г' "' (гт, исг, „исл' г)1 "Сг~ ' =)т+г('/.1 -' 'Ат "Сг -' "Сл ')1 (5,50) 157 Токи (е в шщуктивиых и напряжения и, иа емкостных эпемеитах определяют энергию этих зяемеитов [см.
(2.5) и (2.13) [, инерционность измеиеиия которой при разпичиого рода коммутациях вызывает переходиый процесс в цепи. Совокупность токов г и напряжений и, иазьюается яеркмеяиыми состояния цепи. Разпичают два подхода при примеиепии ЭВМ дпя расчета цепи. Первый подход предполагает упиверсальиые программные средства, включая входной язык формирования системы уравиеиий цепи по ее топологии. Такие средства созданы в настоящее время, ио их разработка и совершенствование требуют специальных знаний в обпасти математики и программирования. Второй подход, рассмотренный в книге, основан иа численном решении систем уравнений цепи при помощи подпрограмм стандартного математического обеспечения ЭВМ.
При этом расчетчик самостоятельно составляет систему уравнений в форме, иеобходимой дпя реапизации подпрограмм. Дпя расчета стационарных режимов цепи это система уравиеиий в матричной форме [см. (1.10)[, а дпя расчета переходных процессов — система диффереициальиых уравнений первого порядка относительно переменных состойния. В последнем случае система уравнений на основе законов Кирхгофа, Ома, зяектромагииткой индукции (2.3) и соотношеиия между током и напряжением дяя емкостиых элементов (2.11), описывающая переходиьш процесс в цепи, преобразуется в систему уравнений, разрешениую относительно первых проиэводиых токов 1 и напряжений и,: ис Рис. 5.15 где гл и л — число индуктивных и емкостных элементов с начальными значениями токов (Е, (0), ..., (Ею(0) и на ряжен ис,(0), -,ис„(О) Система уравнений (5,37) называется системой уравнений в нормальной форме, Для ее решения разработан ряд эффективных численных методов: метод Эйлера, метод Рунге — Кутта и др., входящих в современное стандартное математическое обеспечение ЭВМ.
Например, система уравнений, описывающая переходный процесс в цепи на рис. 5.15 и составленная на основе законов Кирхгофа С Е г ис + ие = е(г) и — и =0 С г или с учетога (2,3) и (2.11) иис — С вЂ” +! +1 =О; Е г еЧЕ и + Š— =е(г); с и, г!е гт' — А — = О, иг после исключения тока 1, преобразуется в систему уравнений в нормальной форме относительйо переменных состояния 1 и ис си (е (Г) — ис) , г); Фг Е ('(') -"с) Е с «г с гС где е(г) — ЭДС, возбуждающая переходный процесс в цепи при задан.
ных начальных условиях и,(0) и 1 (0). 15В ГЛАВА ШЕСТАЯ НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ 6.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ В общем случае схемы замещения электротехнических устройств содержат кроме линейных также нелинейные резистивные, индуктивные и емкостные элементы, соответственно описываемые нелинейными вольт-амперными !((!) (см. рис. 1,6) или !(и), вебер-амперными Ф(! ) (рис. 2.2) и кулон-вольтными ц(и ) (см. рис. 2.4) характеристиками.
Нелинейные свойства элементов могут быть источником нежелательных явлений, например Искажения формы тока в цепи, что недопустимо для правильного воспроизведения сигналов, Однако в ряде случаев нелинейные свойства элементов лежат в основе принципа действия электротехнических устройств, например выпрямителей и стабилизаторов напряжения, усилителей и т. д. Для реализации таких устройств создаются элементы с необходимыми нелинейными характеристиками на основе диэлектрических, полупроводниковых, ферромагнитных и других материалов. Для нелинейных цепей неприменим принцип наложения, Поэтому неприменимы нли применимы с ограничениями все методы расчета цепей, которые на нем основаны; метод контурных токов, метод наложения, метод эквивалентного источника. Ограничимся далее анализом цепей, содержащих пассивные нелинейные резистивные двух-, трех- и четырехполюсники. 6 2, ЦЕЛИ С НЕЛИНЕЙНЫМИ ДВУХЛОЛЮСНИКАМИ Свойства нелинейного резистивного двухполюсника определяются вольт-амперной характеристикой (ВАХ), а его схема замещения представляется нелинейным резистивным элементом (рис.
6.1). Если ВАХ для изменяющегося во времени тока !(и) и постоянного тока 1((!) совпадают, то двухполюсник называется безынерционным, в противном случае — инерционным. Последние здесь не будут рассматриваться. Каждая точка ВАХ определяет статистическое г, = бс/! и дифференциальное г ф = с)У!Н сопротивления нелинейного двухполюсника лиф (рис. 6.1) .
В некоторых двухполюсниках, например в лампах накаливания, нелинейность ВАХ обусловлена нагревом, причем в силу инерционно. сти тепловых процессов для мгновенных значений синусоидальных тока и напряжения справедливо соотношение и =г (!) 1, где статическое ст сопротивление г (1) = 13(! равно отношению действующих значений ст 159 напряжения и тока, Такие лвухполюсники называются неискаиающими или условно-нелинейными, А.
Цепь постоянного тока, Рассмотрим обший случай включения нелинейного резистивиого двухполюсника в произвольную линейную цепь, которую относительно выводов этого диухполюсника представим линейным активным двухполюсником (рис. 6.2), Заменим активный двухполюсник эквивалентным источником с внешней характеристикой (см.
й 1.14) . и = р,„ (6.! ) 1 = (Š— У) /г Точка пересечения А внешней характеристики активного двухполюсника и ВАХ нелинейного двухлолюсника з'(У) определяет рабочий режим цепи (рис, 6.3), Характеристика (6.1) называется нагрузочной характеристикой активного двухполюсника, а графоаналитический метод расчета нелинейной цепи с ее применением — методом нагрузочной характеристики, Метод нагрузочной характеристики пригоден и в случаях, если нелинейная часть цепи содержит последовательное или параллельное соединение нелинейных двухполюсников с известными ВАХ. Для этого необходимо в первом случае сложить ВАХ нелинейных двухполюсннков по напряжению (рис.
6.4), а во втором — по току (рис. 6.5). Определив рабочую точку на результируюшей ВАХ методом нагрузочной характе- Риь 6.1 гга Ряс. 6,3 Рис. 6.2 160 1г гс Рис. 6.5 Рис. 6А Ркс. 6.6 ристики, далее найдем ток и напряжение каждого нелинейного двухполюсника. Аналогично рассчитьвается цепь, которая содержит смешанное соединение нелинейных двухполюсников (рис. 6.6).
Б, Цепь переменного тока. Если линейная часть цепи с источниками сииусоидальных ЭЛС и токов не содержит реактивных элементов, то соответствующий ее двухполюсник представляется эквивалентным источником (рис. 6.7), где е = Б „а(п(ьэг е Ф„) — эквивалентный источник ЭДС. Расчет режима работы такой цепи выполняется методом нагрузочной характеристики (рис. 6.8) . Для любого момента времени г (например, г,, гэ) уравнению нагрузочной характеристики е 11) — и эк Г эк соответствует прямая линия, проходящая через точки е (1) на оси эк абсцисс не (г)/г на оси ординат, Режим цепи определяется точкой эк эк пересечения соответствующей нагрузочной характеристики и ВАХ нс. линейного двухполюсника 1(и).
Зная напряжение и и ток! в рассматриваемые моменты времени, можно построить зависимости и(!) и г(г) . В частном случае нелинейного резистивного двухполюсника с известной условно-нелинейной ВАХ 7(Ег) (рис. 6.9) применим графоаналитический метод в сочетании с комплексным методом. При этом цепь ли- сео 161 Х) Гех Ркс. 6.10 нейного активного двухполюсника может быть произвольной. Этой цепи соответствует эквивалентный источник с ЭПС Е =Е Е Ф = У 'эк ' е х = У Е Р и выходным сопротивлением с =т Е Ч! =г +гх х к — ЭК ЭК ЭК ЭК ЭК (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
