analyzeCourseI(3) (1021427)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Московский институт радиотехники, электроники и автоматики

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ПО ТЕМЕ «ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ»

Студента факультета ООЗП УПОУ, группы ОТО-4-02

Чередина Вениамина.

МОСКВА 2003 г.

ЗАДАЧА 1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции y = f(x) на отрезке [a, b].

Дано: [0, 3].

Решение:

Необходимое условие экстремума:

Если функция f(x) в точке имеет экстремум, то производная обращается в нуль или не существует. Тогда:

откуда:

Отметим что следовательно, - стационарная точка. Тогда на отрезке [0, 3] имеем:

1)

2)

3)

Отсюда следует:

Ответ: наибольшее значение функции на отрезке [0, 3] достигается при х = 0 и равно y(0) = 7, наименьшее значение функции на отрезке [0, 3] достигается при х = 3 и равно y(3) = (-9).

ЗАДАЧА 2. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и построить ее график.

Дано:

Решение:

1) Область определения функции вся ось Ох, за исключением точки х = 3, то есть:

2) Функция не является четной или нечетной.

3) Найдем точки пересечения с осью Ох, имеем

4) Точка разрыва х = 3, причем Следовательно х = 3 есть точка разрыва II рода. Соответственно прямая y = 3 является вертикальной асимптотой графика.

Выясним наличие горизонтальных асимптот:

Следовательно, горизонтальных асимптот нет.

Найдем наклонные асимптоты:

Следовательно, уравнение асимптоты имеет вид:

5) Найдем экстремумы функции и интервалы возрастания и убывания. Имеем:

При имеем: При имеем разрыва II рода при х = 3.

Следовательно, точки х = 1, х = 3, х = 5 разбивают числовую ось на промежутки:

- функция возрастает,

- функция убывает,

- функция убывает,

- функция возрастает.

Следовательно, х = 1 – точка максимума, х = 5 – точка минимума.

6) Найдем интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки ее перегиба. Для этого найдем вторую производную от функции:

Имеем:

Следовательно, точек перегиба кривая не имеет. Определим участки вогнутости и выпуклости функции. Имеем:

- график функции выгнут;

- график функции вогнут.

График функции

ЗАДАЧА 3. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и построить ее график.

Дано:

Решение:

1) Область определения функции все положительные значения оси Ох. То есть:

2) Функция не является четной или нечетной.

3) Найдем точки пересечения с осью Ох, имеем

4) Функция непрерывна.

Выясним наличие асимптот:

Следовательно, горизонтальная асимптота имеет уравнение y = 0, то есть ось Ох.

Следовательно, вертикальная асимптота имеет уравнение х = 0, то есть ось Оy.

5) Найдем экстремумы функции и интервалы возрастания и убывания. Имеем:

При имеем: Но в точке функция не определена

Следовательно, точка разбивает числовую ось на промежутки:

- функция возрастает,

- функция убывает.

Следовательно, – точка максимума.

6) Найдем интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки ее перегиба. Для этого найдем вторую производную от функции:

Далее:

При функция не определена, следовательно, точка перегиба кривой имеет координаты . Определим участки вогнутости и выпуклости функции. Имеем:

- график функции выгнут,

- график функции вогнут.

График функции

ЗАДАЧА 4. Разложить функцию f(x) по формуле Тейлора в окрестности точки до члена

Дано:

Решение:

Формула Тейлора имеет вид:

где

Отметим, что при Вычислим производные и их значения при

Следовательно, по формуле Тейлора имеем:

Ответ:

ЗАДАЧА 5. Вычислить предел двумя способами:

а) используя разложение по формуле Тейлора;

б) с помощью правила Лопиталя.

Дано:

Решение:

Вариант (а). Для разложения функций и cos(x) воспользуемся формулой Тейлора при Эта формула также называется формулой Макларена. Пусть n = 5, тогда:

Подставляя эти значения в исходное выражение получим:

Вариант 2. Так как искомый предел являет собой неопределенность вида , то для того, чтобы применить правила Лопиталя, необходимо продифференцировать функций, являющиеся числителем и знаменателем дроби. Пусть и Тогда: Как видно, предел частного этих выражение также представляет собой неопределенность вида . Еще раз применим правило Лопиталя. Тогда:

Отсюда имеем:

Ответ:

ЗАДАЧА 6. Построить линию, заданную уравнением в полярных координатах

Дано:

Решение:

Определим точки по которым будет строиться график. Отмечая угол и соответствующую ему длину радиуса получим график функции. Отметим что

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов учебной работы