analyzeCourseII(1) (1021429)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Московский институт радиотехники, электроники и автоматики

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ПО ТЕМЕ «КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ»

Студента факультета ВАВТ, группы ВСС-1-02

Чередина В.

МОСКВА 2003 г.

ЗАДАЧА 1. Найти наименьшее и наибольшее значение функции в замкнутой области D, заданной системой неравенств.

Дано: ,

D: .

Решение:

1) Определим стационарные точки, для этого найдем частные производные первого порядка:

;

.

Решая систему уравнений, имеем:

;

Следовательно, стационарная точка есть М (-1; 0). Исследуем стационарную точку на наличие экстремума, для этого найдем частные производные второго порядка , имеем:

; ; .

Составим дискриминант , где , , , тогда:

- следовательно, в точке М (-1; 0) экстремума нет.

2) Найдем значения функции на границах области заданных значений D, имеем:

а) Линия, образованная пересечением и плоскостью :

;

Следовательно, на границе области D при функция принимает меньшее значение при , а большее при .

б) Линия, образованная пересечением и плоскостью :

;

Найдем максимальное и минимальное значения функции при , для этого найдем стационарные точки и исследуем их на наличие экстремумов. Имеем:

, ,

Следовательно, на границе области D при функция принимает меньшее значение при , а большее при .

Поскольку функция не имеет экстремумов, то и линии, образованные пересечением и плоскостями и будут оставаться монотонными. Следовательно, функция в области D принимает свое минимальное значение в точке , а максимальные значения в точках и .

Ответ: минимальное значение: ;

максимальные значения функции: .

ЗАДАЧА 2. В повторном интеграле изменить порядок интегрирования.

Дано: .

Решение: Имеем интеграл: , следовательно, область интегрирования D (первого вида) ограничена линиями .

Изменим порядок интегрирования, для чего заданную область D представим в виде двух областей (второго вида):

, ограниченную линиями: - слева, и - справа.

, ограниченную линиями: - слева, и - справа.

Тогда областью изменения переменной y будет:

для области ,

для области .

В результате имеем:

.

Ответ: .

ЗАДАЧА 3. Найти момент инерции плоской однородной пластинки D относительно оси ОХ. При вычислении двойного интеграла перейти к полярным координатам.

Дано: D: .

Решение: Момент инерции относительно оси ОХ находиться по формуле:

.

Так как пластинка однородна, следовательно , тогда:

.

Переходя к полярным координатам и учитывая, что функциональный определитель (якобиан) равен , получим:

.

Тогда:

; .

Следовательно:

.

Ответ: Момент инерции относительно оси ОХ: .

ЗАДАЧА 4. С помощью тройного интеграла вычислить объем тела G, заданного неравенствами.

Дано: G:

Решение: Объем тела, занимающего область G, определяется по формуле:

Из условия G: , следует:

область изменения y: ,

область изменения x: .

Тогда:

.

В данном случае целесообразно перейди к цилиндрическим координатам. Учитывая, что функциональный определитель (якобиан) будет равен , имеем:

.

Ответ: Объем тела .

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов учебной работы