Teoria_i_tekhnika_obrabotki_radiolokatsi onnoy_informatsii_na_fone_pomekh (1021138), страница 68
Текст из файла (страница 68)
(20.54) Здесь:  — неслучайная матрица М' Х М', 1» — случайный вектор- столбец М' х 1 с нулевым математическим ожиданием и корреляционной матрицей 41 = М («[а') размера М' х М'. Структура модели учитывает как линейность детерминированных изменений матриц на малых интервалах времени, так и наложение на них случайных изменений. По отношению к корреляционным матрицам модель обладает избытком степеней свободы, поскольку не учитывает их эрмнтовости. Для дальнейшего упрощения анализа число степеней свободы можно'; несколько сократить, не сильно меняя структуру модели. Вернемся для этого от вектора-столбца Ф размера М' х 1 к квадратной матрице Ф размером М х М. Введем ограничивающее предположение об одинаковом законе динамического изменения во времени всех М-элементных вектор-столбцов Ф; матрицы М х М, что позволяет снизить размерность матрицы В до М х М.
Случайный (М' х 1)- элементный вектор-столбец [а заменяется одновременно квадратной матрицей размера М Х М с нулевцм математическим ожиданием и случайными независимыми вектор-столбцами )<;. Под действием этих столбцов независимо друг от друга приобретают случайные изменения вектор-столбцы Ф<ь Корреляционные матрицы е[< — — 41 вектор-столбцов 1»э размера М х М считаются при этом одинаковыми.
Методика оценивания гл. 16 может быть использована при любом из двух указанных толкований модели (54). В обоих случаях необходимо задаться корреляционной матрицей ошибок текущего измерения С„' размера М' Х М' или размера М Х М соответственно. Матрица С» ' размера М х М считается в последнем случае одинаковой для всех вектор-столбцов Ф» текущей оценки Ф„, что вносит несущественное ограничение.
Независимо от толкования модели (54) воспользуемся результатами теории фильтрации (16.9), (16.10) Ф+,— — В<Ф<-[С< ее< С»«р«[Ф»а+<> В<Ф<) (20 55) С,„.,=(В,С; В;+<~<)-'[-С»<,„,». (20.56) Входящая в (55) матрица Ф»«ет> эрмитсва при произвольном значении 1 (см. равд. 20.8). При эрмитовости матриц (56), несмотря на запас степеней свободы модели, получим для выбранных в примерах значений параметров также эрмнтовы матрицы"> Ф,+,. Из двух возможных толкований оценивання выберем в дальнейшем приводящее к меньшей размерности М х М матриц В, <1, С„, С.
Наряду с фильтрацией, как и в равд. 16.9, 17.5, 19.5, возможно ссво- Ю См. также приложение 3, (20.57) Результат (59) получен в пренебрежении «старением» матрицы Ф за время измерения (Я = О). Весовой коэффициент о!+! — — 1/ (1 +1) неограниченно уменьшается поэтому с увеличением числа наблюдений. Указанный недостаток устраняется в следующем примере. Пример 2.
Применительно к условиям предыдущего примера величина П определяется выражением Я = еС,, ', где з — положительное число, меньшее единицы. Умножая (56) на матрицу С„' слева, находим рекуррентное соотношение для коэффициента сглаживания: ЗМ! = (8!+ з1) «+1. (20.60) В соответствии с (60) и начальным условием 8, = С! 'С„= 1 матричный коэффициент сглаживания $! — — 1о !. Он сводится, таким образом, к скалярному, удовлетворяющему соотношению 1/ 8„., = 1 + 1/ (8! + з). (20.61) купное селстиеание текущих оценок. Частные случаи фильтрации (55), (56) рассмотрим на примерах.
Пример 1. Оценивается не изменяющаяся от шага к шагу корреляционная матрица помех Ф24! = Ф, = Ф, в модели которой В = = 1, Я = О. Текущие оценки Ф„! считаются равноточными с матрицей точности С„! — — Се — — сопз1. К моменту первого измерения доопытные данные отсутствуют, т. е. С„= С . Согласно (56) С, = (!С„'1) «+ С„= 2С„, С« = ЗСю ... С,+, —— = (1 + 1) С„. Весовой коэффициент в (55) (коэффициент сглаживания, рис. 20.9) принимает значение С;+, С„=5„,=1/(1+ 1).
Результирующие оценки (55), (57) принимают вид Ф1, ! — — Ф!+(1+ 1)-'(Ф„и»,! — Ф ) =1(1+ 1)-' Ф!+(1+ 1)-' Ф„1!» гп (20.58) Суммируя умноженные на (1+1)/и выражения (58) по 1 от 0 до (и— — 1), после сокращения найдем Ф„= '~~; Ф„,/и. (20.59) ! ! „Г «=82 йейг се 2 е 2 г Л 4 Ю га 2Е 5Е Рис. 20.9 Рис.
20.10 347 Поскольку Ба = 1, то Ве = (1 + е)/ (2+ е), За = (1 + Зе + + е')/(3+ 4е+ з') и т. д. Оставаясь положительными, коэффициенты 5~ убывают при е (( 1 с увеличением числа наблюдений 1 (рис. 20.10). Убывают они; однако, не до нуля, а до некоторого установившегося значения. Последнее является решением квадратного уравнения Ла + е5 — е = 0 и имеет вид 3=)' а+ее/4 — е/2 (1а-оо) (20.62) и близко к )Гз для е (( 1. При известных значениях 3~ оценки матрицы Ф получаются из рекуррентного соотношения Ф~+а — — Ф~ + 3,+а (Фи и+ Π— Ф,). (20.63) 20.40.
Непрерывное оценивание изменяющейся во времени корреляционной матрицы помехи Составим, модель (17.4) изменения во времени оцениваемой корреляционной матрицы Ф = Ф (1) размера М Х М. Линеаризуем при этом входящую в (17.4) векторную функцию а (Ф, г) = А (г) Ф (Г), вводя динамическую матрицу неслучайного преобразования А (/). Модель принимает вид йФ/е(1 = АФ+ р.
(20.64) Введем вместе с тем матрицы удельного маневра 42 = М (ррт) и удельной точности прямого, в данном случае, оценивания Сп = Се. Для введенной здесь езагрубленной> модели, полагаем, как и в примерах равд. 20.8, матрицы Ф, 1а, А, Я, Си — — Се квадратными, размера М х Ме>. Результат фильтрации текущих оценок матрицы Ф удовлетворяет матричному дифференциальному уравнению (17.17) при упрощающих предположениях Н = 1, Се = Си, т.
е. е(Ф/е(/ = АФ + С ' Си (Ԅ— Ф). (20.65) Входящая в дифференциальное уравнение (65) корреляционная матрица ошибок С-' определяется одним из равносильных дифференциальных уравнений (17.21) и (17.23), в данном случае е(С/(и = С„' — Сас — СА — А' С, (20.66) е(С '/е(1=(2 — С тС„С-'+АС-'+С-тАт (20 67) Совокупность уравнений (65) — (67) определяет закономерности непрерывной фильтрации текущих оценок корреляционных матриц. Они же могут использоваться для выявления закономерностей совокупного сглаживания, как в равд. 17.5. Приведем примеры непрерывной фильтрации оценок. Пример 1 Оценивается не изменяющаяся во времени корреляционная матрица Ф (1) = Ф, в модели (64) принимается поэтому А = О, р= О, 0 = О. Текущее оценивание считается равноточным с удель- , *> См.
также приложение 3. 348 ной матрицей точности С„= сопз1. К началу измерений доопытные данные отсутствуют: С (Г,) = О. Дифференциальное уравнение матрицы точности (66) принимает вид г(С/Ж = С„= сопз1. Интегрируя его при начальном условии С (г',) = О, получаем С (Г) = (à — Г,) Сю Вытекающий из решения матричный .коэффициент сглаживания сведем к скалярному С 1 Сэ —— $ =!3, Б = 11(à — 1ь)., (20.68) Дифференциальное уравнение оценки (65) а1Ф/ (Г = (Ф~ — Ф)Э вЂ” (г) приводится к виду г(((1 — 1т) Ф)/Ж* Фэ(Г). (20.69) Интегрируя уравнение (69) от 1„= 1 — Т до 1 и деля на Т, находим результирующую оценку 8 Ф(Г) = Т х ') Ф„(б) г(0.
(20.70) ~-т — постоянная времени накопления данных в стационарном режиме. Оценка Ф определяется матричным дифференциальным уравнением (65) с переменным скалярным коэффициентом Я (1): с(Ф(Ж = 3 (Г) (Ԅ— Ф). э 44 Дв 42 Гг-ОУг Рис. 20.! 1 349 Решение (70) для непрерывного оценивания является аналогом решения (59) для дискретного. Оно полностью согласуется и с предыдущими результатами (51), (52), полученными для неизменяющихся матриц без введения модели.
Пример 2. Оцениваемая корреляционная матрица Ф (г) соответствует модели непрерывного изменения (64), матрица А = О. Удельная матрица точности текущего оценивания С„= сопз1. Удельная матрица Я = зС„', з — число (О < в ( 1). К йачалу измерения С (1,) = = 0 (доопытные данные отсутствуют). Умножая (67) на Си справа, введем коэффициент сглаживания 8 = С 'Сэ — — 13. Он определяется уравнением НЯМ = в — Я' (20.71)' при начальном условии Я (Г,) = С ' (Г,)Сэ-~ оо.
Переменные разделяются. Интегрируя от 1„5г до 1, 3, приходим, как и в равд. 17.4, к закону,' иллюстрируемому рис. 20.11, Я (Г) = (с1Ь и)lт, и = (1 — г,)lт. Здесь т=1Д' г (20,72) За время накопления ( — (, = Т (( т значение и 4 1, с1)т и ж 1/и, и старение данных не сказывается. Как и в (68), 5 (г) = 1/ (/ — /т). Наоборот, для Т )) т значение и )) 1 и с1)т и = 1. Коэффициент сглаживания устанавливается: т!5/т/г' = О, 5 = 1/т = ) в,. Оценка Ф определяется дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами тйФ/Ж + Ф Фв (20.73) Ы5Ы( = — 5' + 25Ч + з = О, равное 5=Ч+)~ Ч'+е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
