Teoria_i_tekhnika_obrabotki_radiolokatsi onnoy_informatsii_na_fone_pomekh (1021138), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Логарифм единичной матрицы 1и 1 равен нулю. Логарифм 1п (1+ + с»Ф) — т- ЛФ при с»Ф-+ О (свойство малых приращений аргумента логарифма). Указанные закономерности используем для вычисления логарифма отношения определителей матриц Ф, = Ф, + Ф, и Фп. Преобразуем его в логарифм произведения отношений определителей матриц (со взаимно сокращающимися промежуточными определителями) т — 1 )п((Фи+ Фс 1)) Фп(1= )п П ()Фи+ А»+д Фс И Фи+ А»Фс 1) »=-о Здесь числа А».ьд)А», А =1, Ао — — О.
Для матриц определителей введем обозначения Ф, + А„Ф, = = Флы Фп+ А»+, Ф, = Фл»+ ЛА»Ф„где ЛА»=А»+, — А». Отношения определителей сведем к определителям матриц произведений прямой и обратной матриц ( (Фл» + ЛА Ф,) Фл»') ( = (! + ЛА„Ф, Ф~~' (, заменяя одновременно Ф, на (Фл» вЂ” Ф )/А». 86 Логарифм произведения определителей сводится, наконец, к сумме логарифмов произведений этих определителей, т. е. к сумме следов, а значит, к следу суммы логарифмов матриц т —. ! т — ! ~ч ~, 1и[!+(! — Ф Фл«') ЛЛ«/А«[/-Вр ~~', 1п [1+(! — Ф Фл«) ЛЛ«/А«[.
«-о «=о При ЛА«-«- О, А„= А, Фл« = Фл сумма переходит в интеграл, причем по свойству малых приращений аргумента логарифма ! 1п([Ф +Фо[/[Ф [) =Яр ~(1 — Ф,Фл') йА/А. о 8.3. Выражения логарифма отношения правдоподобия для дискретизированных и непрерывных колебаний Используя результаты равд. 8.2, преобразуем вычитаемое выражения (1). В соответствии с изложенным вводится «промежуточная» корреляционная матрица Фл наложения помехи и гауссовского сигнала, измененного по амплитуде в УА раз (О < А < 1) Фл=ф +АФ,. (8.4) В результате имеем !п (! Фоо Я Фо [) =-.5Р ~ Фо !.л— о где 1.л=Фп ' — Фл'.
(8.5) Отношение правдоподобия (1) для дискретной выборки !' преобразуется окончательно к виду ! [и/= — У !.У вЂ” Вр "Ф,!.л ! *т г ЫА (8.6) 2 .) А о Входящие в (6) решающие матрицы Ьл и В являются решениями одного и того же матричного уравнения Фл Ел Ф„= АФ,. (8.7) Как и уравнение (3), оно выводится путем умножения (5) на Фл справа и на Ф слева. Необходимость в решении (3) после решения (7) отпадает. Решение (7) при А = 1 дает решение (3) 1'л !л 1' (8.8) Перейдем к многоканальному приему непрерывньис колебаний Т (/), имея в виду (как в гл.
4) возможность предварительной дискретизации этих колебаний. Переходя к двойной нумерации элементов вектор-столбца !' = [~'г'« (т!)[[, уточняя связанную с этим нумерацию 87 ЭЛЕМЕНТОВ МатрИц Ф, =- ОФ,„С (СС, Щ 1.Л =- ))ЛЛСВ (1С, 1с)О И уетрЕМЛяя К нулю интервалы временной дискретизации, выражение (6) для 1п 1 приведем к окончательному виду )п1= — '1'('У.т(1)1 (, я) У(я) л,ля 8 ('вл (('Ф (1 я)1 (, 1)л1ля 2,Ц ,1 А,),1 (8.9) Улсеньшаемое разности (9) получилось как предел от квадратичной формы т '$Л вЂ” — ~ли~ гь (гс) 1.лм (сс 1;) Ус (1с) Ыс агс.
мс Вычитаемое разности (9) получилось как предел следа матричного интеграла, содержащего в подынтегральном выражении произведение матриц Ф,Ел, каждый из матричных элементов сг, р этого произведения сводится к двойной сумме л.с Фьи (Гс, яс) 7 лссс (яс, Гч) йяс б1ч с,с При взятии следа матрицы суммированию подлежат лишь диагональные элементы, здесь элементы с = т. В процессе предельного перехода от суммирования к интегрированию условие с = — т приводит' к одинаковым аргументам г сомножителей (9) Ф, (1, я) и Ел (я, 1). Условие й = (с учитывается в (9) за счет сохранения знака Бр после предельного перехода. Знак Бр в (9) является существенным при многоканальном приеме (М ) 1) и может быть опущен при одноканальном (М = 1).
Функция ).л (1, я) находится из интегрально-матричного уравне'- н я, являющегося развитием матричного уравнения (7): ЦФл(1 я)Ьл(я 0)Фь(0, т) с(яс(О=АФс(1 'г) (8.10) При этом Фл (1, я) =- Ф, (1, я) + АФ, (Г, я), (8.11) Е(1, я) =1.л(с, я) сл=с. (8.12) Уравнение (10) является обобщением известного уравнения Фредгольма. В скалярном случае (М = 1) приходим к уравнению Фредгольма первого рода, но для векторного аргумента 1 = (1, т) и переменной интегрирования я = (я, О) ~ К (1, я) 1.
(я) с(я =- и (1) . (8.13) свс При этом ядро К (1, я) = Фл (Г, я) Ф (О, т). В общем случае интегрально-матричное уравнение (10) сложнее интегрального уравнения (13), но, как следует из приводимых примеров, для наиболее важных случаев оно имеет достаточно простые решения. Рассмотрим примеры синтеза оптимальных обнаружнтелей когерентных гауссовских сигналов, проводившегося ранее с несколько иных позиций. 88 ЗА. Примеры синтеза оптимальных обнарузкителей когерентных гауссовских сигналов Пример 1.
Когерентный временной сигнал со случайными релеевской амплитудой и равновероятной начальной фазой обнаруживается на фоне белого шума. Комплексная амплитуда сигнала с точностью до начальной фазы описывается выражением ЬХ (т), причем М (Ьа) = 1. Тогда корреляционная функция сигнала Фе(1, з)=0,5М [ЬХ (1) ЬХч (з)! =0,5Х (1) Х'(з). Зададим корреляционную функцию помехи (белого шума) в виде Фп(! з)=/та 8И а) ° Скалярный вариант уравнения (10) принимает в результате вид А Г [ йга /та/,л(1, т) + — Х(1) ) Х'(з) /.л(з, т)да = — Х(!) Х'(т) .
(8.14) Значение интеграла в (14) как функции параметра т найдем, умножал обе части равенства на Х* (/) и интегрируя по й Замечая, что величина интеграла не изменяется при изменении обозначения переменной интегрирования, и вводи энергию сигнала 1 3= — " [Х(1)[ай, 2 получаем Х'(з) /л (а, т) г/з = АЭХ* (т)/й!а (/та+ АЭ) . ч Подставляя (15) в (!4), находим (8.15) /л (1, т) —.- АХ (1) Х" (т)/2Иа (//а+ АЭ) ° (8.16) Подставляя (16) в (9), вводя параметр обнаружения да = 23/Ха н комплексный весовой интеграл О К =- [" У (!) Х* (!) б!/Ьг,, применительно к рассматриваемому случаю одноканального обнаружения окончательно найдем 1п( = [[2 [з/4(1+да/2)[ — 1п(! [-ца/2!. (8.! 7! Выражение (17) точно соответствует найденному ранее соотношению (6.26) и схеме обнаружения рис.
6.4. Уравнение (18) свелось в данном случае к интегральному уравнению Фредгольма второго рода с вырожденным ядром, что и определило сравнительную простоту решения задачи. Пример 2. Когерентный пространственно-временной сигнал со случайными релеевской амплитудой и равновероятной начальной фазой обнаруживается на фоае некоррелироваиных по каналам приема белых шумов одинаковой интенсивности. От скалярных корреляционных функций примера ! нереходнм к матричным Фс (К 3) = /з Х (1) Х* (з), Фд (1, 3) =Ь/а !5 (à — 3). 89 Из уравнения (1О) аналогично находим решающую матричную функцию Вч(1, т)= АХ(1) Х*т(т)/2й!з(Лз+АЭ), (8.18) ь где Э = — ) Хт(О Х* (1) Ш. Используя матричное равенство 2 -ОР БР ХХ*т=~~~~~)Хг )з=ХгХ', снова придем к соотношению (17).
Комплексный весовой интеграл Е и пара- метр обнаружения оз выражаются в нем, однако, через векторные, а не скалярные величины ОО СО Х = )" Х' (1) Х* (1) и)йГз, о = )" Х' (г) Х (1) 81)Лгз . При использовании антенной решетки с одинаковыми элементами, в частности, параметр обнаружения дз = 2МЭз/Дгр, где Эз = ) ! Хз (!) !з Ж/2 — улавливаемая элементом решетки энергия сигнала, М вЂ” общее число элементов. Пример 3. Когерентный пространственно-временной гауссовский сигнал с корреляцнОННОй МатрнцЕй ФС (й З) = Х (Г) Х*т (З)/2 О6НаружИВаЕтея Иа ФОНЕ ГауС- совской нестацнонарной и небелой в общем случае помехи с корреляционной матрицей Фп (й з).
Интегральво-матричиое уравнение (!О) принимает внд Оь — *' 1- ~ ~Ф (И з)+ — Х (!) Х "г (з)~ В (з, О) Ф (О, т) бздО = — АХ (1) Х*' (т). (8.19) Введем некоторый вектор-столбец и (1) как решение интегрально-матрнч ного уравнения Оь 1 — Г Ф.(И.) В(.) бз=Х(1), 2 (8.20) а также соответствующий ему скаляр ьг 0 1 Р 1 д = — ~ Хт(1)В*(1)б)- — ~ К*т(1)Х(!)АГ. 2,) 2 (8.2!) 1 1(ьг (з) Ф*т (1 з) лз У*т (1) — = *' (8.22) В силу обобщенной эрмитовостн комплексных корреляционных матриц в ием Ф„'т (й з) = Фп(з, 1).
Менял обозначения 1 и з, преобразуем (22) к виду Р.* Р) Фп(1, з) ч! = Х*т(з) 2 (8.23) Оо Покажем, что введенные величины характеризуют по-прежнему весовой вектор-столбец и параметр обнаружения для средней энергии сигнала. Вначале введем для этого уравнение, транспоннрованное и сопряженное по отношению к (20), Умножнм обе части исходного интегрально-матричного уравнеаия (19) на й*т (Г)/2 слева и проинтегрируем па Д У читывая (21), (23), придем к выражению ОЭ (1+Аде/2) )) Х* (з) Ез(з, 0) Фп(В, т) г(зг(0 = Адз Х*т(т)/2. О Подставляя его в (19), приходим к равенству )) Ф (1, з)1л(з, 0)Ф (О, т) НзоО=АХ(1)Х*'(т)/2(1+Ад'/2), (8 24) в правую часть которого подставим выражения (20), (23).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
