Teoria_i_tekhnika_obrabotki_radiolokatsi onnoy_informatsii_na_fone_pomekh (1021138), страница 16
Текст из файла (страница 16)
7.10 определяет величину потерь цифрового векогерентного накопления в децибелах по сравнению с когерентным для и = и, и и = 1 при Р = 10 ', 77 = 0,5. Штриховой линией представлены потери аналогового (квадратичного) некогерентного накопления. Разность ординат кривых характеризует дополнительные потери цифрового накопления по сравнению с аналоговым, соответственно для и = и, н и = 1. Для и = и„, эти дополнительные потери не превышают 3 дБ. Изложенное относится к слу- Г Г Г чаю, когда число регистров сдвих» га и совпадает с числом импуль— — сов пачки М. Если Й( М, то + ~ 1 ч наряду с потерями накопления Т,ь, «и, из Й» возникают дополни«,„,, '.
т ' тельные потери. Они зависят от ~~ « — — ~ — - —,--,, '—,;-~«я",~-, величины отношения Й = Мдг, ~-г'-, и ' 7":+1 ~ хаРактеРизУющей число независимых циклов наблюдения за =~=)... ~~! ' ': ~ ~ время длительности пачки. Груг «а ва и й ивиа~ бо эти потери определяются по ««слО Омп~пбсОд м кривой рис. 7.10 для и = ! при Рис. 7ло числе Й = Й'. чнн цели выдается, если с выхода Й регистров снимается не менее, чем и двоичных единиц (логика «и из Й»). Число и с целью экономии аппаратуры обычно выбирают меньшим числа импульсов пачки М.
Оценим показатели качества обнаружения вначале для Й = М. Условную вероятность единичного выхода АЦП при наличии сигнала обозначим 17«. Совместная вероятность единиц на выходе 1 регистров и нулей на выходе (Й вЂ” 1) регистров по теореме Бернулли определяется выражением С'„0', (1 — Пс)» — ', первый сомножитель в котором С»~ = Й1Д1 (Й вЂ” 1)1 — число сочетаний из Й по (. Поскольку логика обнаружения соблюдается при любом 1) и, условная вероятность правильного обнаружения Часто возникает вопрос, в какой мере потери цифрового накопления зависят от используемой логики.
Результаты расчета для различных логик действительно неодинаковы. Так, из логик «2 нз 4», «3 из 3», «3 из 4», «4 из 4» при г = 10 ' в лучшую сторону отличается логика <3 из 4». Различие потерь, однако, обычно невелико (порядка децибела). В перспективе, по-видимому, нет оснований ограничиваться при некогерентной обработке только одноуровневым квантованием, когда при когерентной (гл. 12) освоено многоуровневое. Литература: !3, 8, 15, 23, 25, 27, 29, 30. 46, 54, 57, 85, 93, 106, 109, 112). В. ОСОБЕННОСТИ СИНТЕЗА ОБНАРУЖИТЕЛЕЙ СЛУЧАЙНЫХ ГАУССОВСКИХ СИГНАЛОВ НА ФОНЕ ГАУССОВСКИХ ПОМЕХ Ю 8.4.
Общая задача обнаружения дискретного гауссовского случайного процесса на фоне дискретной гауссовской помехи Сигнал называют гауссовским, если случайное распределение его мгновенных значений подчиняется гауссовскому (нормальному) закону. К гауссовским относят рассмотренные в гл. 6 и 7 случайные сигналы с релеевскими амплитудными множителями и равновероятными начальными фазами. Меняя априорные распределения, можно перейти к более сложным случайным сигналам (к частично когерентным, шумовым и т. п.), Неменьший интерес представляет ре ение оби(ей задачи обнаружения произвольного гауссовского сигнала (дискретного или непрерывно- дискретного) на фоне произвольной гауссовской помехи, облегчающее путь к решениям частных задач. Это позволяет не только получать рассмотренные ранее результаты для гауссовской (релеевской) статистики, но и сравнительно просто учитывать частичную гкогерентность или шумовой характер сигнала.
Нельзя анализировать, однако, случаи негауссовской статистики (распределение Накагами, логарифмически-нормальное и даже сигнал со случайной начальной фазой). Тем самым снижается общность рассмотрения, хотя бы по сравнению с гл. 6, но зато обеспечивается единообразный синтез алгоритмов обработки принимаемых колебаний для широкого класса практически важных случаев. Поставим как самостоятельную задачу вычисление полных выражений логарифмов отношения правдоподобия, включая слагаемые, не зависящие от принимаемой реализации у, не используемые поэтому в алгоритмах обнаружения, но существенные в ряде алгоритмов измерения.
Математические ожидания как обнаруживаемого, так и мешающего случайного процесса полагаем равными нулю. Корреляционные мат- Ю При первом чтении гл. 8 может быть опущена. 83 рицы дискретизированных комплексных амплитуд этих независимых гауссовских процессов обозначим соответственно Ф, и Ф . Корреляционная матрица результата их наложения выражается формулой Ф, =Ф +Ф,. Каждая из трех матриц — врмитова, включает тхт комплексных чисел и заменяет вещественную матрицу размера 2т х2т.
Отношение правдоподобия при т-элементной комплексной выборке равносильно отношению правдоподобия при 2т-элементной вещественной выборке, а именно отношению плотностей вероятности вида (3.4) с заменой ер соответственно на ер„или ер,.
После перехода к комплексным корреляционным матрицам логарифм отношения правдоподобия принимает вид (8.!) ]П]='/зт'эЧЛ вЂ” ]П(] Ф, Ц Ф ]) *1. Здесь ]. — решающая матрица 1 =Фа Фсп (8.2) Умножив (2) на Ф,„слева, на Ф справа и заменив Ф, — Ф„= Ф„ получим для матрицы 1 уравнение Фсо].Ф = — Ф,. (8.3) 8.2. Вспомогательные математические положения Для матриц Ф размера т х т вводятся собственные числа ) „кэ, ..., ) из условия равенства нулю определителей разностных матриц ]Ф вЂ” )ь;1 ] = О. Эти числа, иначе, являются решениями характеристического уравнения т -й степени ] Ф вЂ” М ] = О. ! р Для матрицы ., например, размера 2х2 собственные числа ',Ф )э„э = 1 ~ ] р ] являются решениями квадратного уравнения ! = ) з — 2).
+ 1 — ] р ]' = — О. р* Собственным числам Ц соответствуют собственные векторы *1 В качестве равносильной (по определению) вводят также 17] 2п-элементную комплексную выборку с преобразованными переменными У'г =- ке У + + /1гп Уь 1'*, = це Г; — /!щ Уь Приводя к замене нормирующего коэффициента плотности вероятности (2я) (~пи~ на (4п) ", это не меняет (1). Нория. рующий коэффициент увеличивается в 2" раз 1111, если комплексные корреляционные функции (5.11) и матрицы (5.15) определя|отся без знаменателя 2. Тогда исчезает коэффициент 112 в (1), но он вводится в (5.9). 84 преобразование которых заданной матрицей эквивалентно их изменению в Хл раз, ФХ„= ХьХ„.
Соотношение составляющих Х~" ,собственного вектора Хь следует из решения системы уравнений, соответствующей приведенной матричной записи. Для примера из решения системы (1 — л„) х,"'+рхГ'= о, р*х,"'+(1-).„) х)," =-о найдем Х$" =( — 1)"-'Х)" р"'(1 р(, н=1, 2. Нормированные собственные векторы удовлетворяют условию ХьХь = 1. После нормировки для рассматриваемого частного случая, вида 2 ~ Х,)'= 1, значение Х, определяется с точностью до произвольного фазового множителя. Из нормированных собственных векторов эрмитовой матрицы может быть составлена унитарном матрица 11 = (Х„Х„..., Х ), удовлетворяющая условиям Ш1"' = 1, или, что то же саьюе, ~Р'О = = 1ь' = 1. Для рассматриваемого иллюстративного примера при р = 1 и единичном фазовом множителе это матрица 1) = — '!) ~ Вводя унитарные матрицы, заданную матрицу Ф можно выразить через диагональную матрицу собственных чисел Л: 0 Ф вЂ” — 1)Л1)*' = 1) 1)"', 0 Р что легко проверить для рассматриваемого примера.
След, т. е. сумма диагональных элементов матрицы Ф, сводится при этом к сумме ее собственных чисел (к следу матрицы Л) ЯрФ=~Фы — — )ч (-),+...+Х =ЯрЛ. Определитель матрицы Ф аналогично сводится к произведению собственных чисел (к определителю матрицы Л) 1Ф!=-)„), 1.„=!Л!.
Для иллюстративного примера имеем Яр Ф=-1+ 1 =(1+ ~ р ~)+(1 — (р !), !Ф1=-1 — ~р~ -(1+1~ ~)(1 — 1'р!). Пусть теперь )ч — собственные числа эрмитовой матрицы В. Вводя унитарные матрицы, придем также к выражениям функций в виде степеней В» и степенных рядов ~'с»В» = г (В) от матриц: В»=ОЛ(О" и) Ли"т... ОЛО*т= ОЛ»О*т, о х» )(В)=~с»О или ) (хт) г (»е) О*т 1(в)=О )(хы) Полагая г (Л) = е", придем, в частности, к матричному экспоненцпплу Ф=е =0 о е и' с логарифмом определителя Любую положительно определенную матрицу Ф можно представить в виде матричного экспоненциала, а значит, ввести для нее матричный логарифм В = !и Ф со следом ), + )со+...+ ).„, = ЯрВ. Логарифм определителя матрицы Ф сводится таким образом к следу ее логарифма 1п (Ф( = Яр 1пФ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
