Teoria_i_tekhnika_obrabotki_radiolokatsi onnoy_informatsii_na_fone_pomekh (1021138), страница 13
Текст из файла (страница 13)
«Лружные» флюктуации пачки (общий случайный амплитудный множитель) Весовые вектор-столбцы 11„(/) определяются уравнениями- — ~ Ф (/, з) К,„(з) йз = Х „(Г). (7.8) (7.10) где о,= — ' ~ Х (/)К„'(/)й/. 00 (7.1 1) Подставляя (6), (6), (10) в (6.3), получаем (7.12) /=П /„или 1п/=2'„1п/„. я я Здесь 1„ — отношение правдоподобия при наличии только одной (г-й когерентной составляющей сигнала з 2 Ь *р [ь„~ к„~ з„—,н хг — к~1 р о„, ~„| л,„л,. е.1ч 2 При случайной раеноеероятной начальной фазе и неслучайной амплитуде 'когерентных составляющих сигнала, когда р (6„, ~„) = = 6 (܄— 1)/2п, где 6 (6) — дельта-функция, имеем (7.14) 1п /„= 1п /, (оз [ Х„,!) — о~/2.
Здесь Е„„= Е„/о„— нормированное значение Х„. При случайной распределенной по закону Релея амплитуде сигнала и раеноеероятной начальной фазе имеем 1и /я = о,', [ Е „['/4 (1+ о,',/2) — 1п (1 + а,~/2 . (7.15) 67 Ограничимся случаем ортогональности когерентных составляющих и весовых функций с неравными номерами ( Х' (/) К„'(/)й/=0 при р~ч. (7.9) Предположение (9) выполняется, например, когда помеха некоррелирована, а импульсы сигнала не перекрываются или разнесены по частоте (при многочастотной работе).
Наличие пространственной корреляции помех не нарушает (9). Предположение (9) может не выполняться при временной (череспериодной) корреляции помех, когда оптимальная обработка связана с их череспериодной компенсацией, при которой ортогональность иекогерентных составляющих сигнала нарушается. Последний случай лучше аналнзировать в предположении гауссовской статистики, используя методику гл. 8. В случае выполнения (9) имеем уе(р) =Х6Ы Рнс.
7Л На рис. 7.1 показана схема оптимальной обработки принимаемых колебаний для сигнала в виде пачки радиоимпульсов, принимаемого многоэлементной антенной решеткой на фоне некоррелированных помех. Считается, что ожидаемая когерентная составляющая сигнала Хи (Г, а) = А„Х„(а') Х (г' — сс„). Здесь а — вектор фиксируемых при обнаружении скалярных параметров сигнала (пространственных а' и временных сс ), Хн (а') — не зависящий от времени вектор-столбец ожидаемого сигнала с пространственным параметром а' (штрих при а в дальнейшем опускается); А„— амплитудный множитель, влияющий на параметр обнаружения д,',; а~ = г — время задержки излучения когерентной составляющей (импульса пачки).
На схеме рис. 7.1 выделены антенная обработка и согласованная фильтрация. В результате последовательно во времени находятся нормированные значения весовых интегралов Х „, что составляет когерентную часть обработки. После введения весов начинается некогерентная обработка, одним нз элементов которой является детектирование, устраняющее влияние случайных начальных фаз колебаний. Применительно к (14) вводятся веса к„= д„, после чего проводится детектирование с характеристикой детектора 7 (и) = !п 70 (и) (рис 7.2).
Справедливы аппроксимации 1п 1, (и) ж иЧ4 (и (, 1). 1п 1,(и) ж и(и) 1). При малых значениях аргумента д„(( 1 оптимальное детектирование оказывается квадратичным, при больших с)„~) 1 — линейным. Применительно к (15) вводятся веса к„= (д !2)4) ~1 + д'!2 и реализуется квадратичное детектирование с харак1пУэгю теристикой 7' (и) = и'. Значения продетектированного выходного напряжения накапливаются.
Говорят о межпериодном некогерентном накоплении видеоимпульсов пачки. При этом с точ- 4 †- — пастью до постоянной получают иско- мое значение 1п 1, которое сравнивается 7 с порогом. Вариант обработки показан на рис. л 7 7.3. Веса к„вводятся после, а недо не- линейного детектора, в связи с чем они Рис. 7.2 видоизменяются. К выходу нелинейного Рис. 7.3 детектора подключена линия задержки с отводами, к отводам — усилители с коэффициентами усиления ки.
При обнаружении сигнала со случайной начальной фазой к„ = д,', для д (( 1 и к„ = ди для д„)) 1. При обнаружении сигнала со случайной релеевской амйлитудой и начальной фазой к„= (ди/2)и7(1+ 7й!2). Структура оптимального обнаружителя не меняется при вариациях распределений флюктуирующих амплитуд: при переходе к распределению Накатами пг ~ 1, логарифмически-нормальному и т. д. Может измениться лишь вид детекторной характеристики 7 (и) и оптимальные значения к„. Как показано в равд. 7.б, изменение детекторной характеристики существенно не влияет на качество обнаружения.
Рассмотренные закономерности обработки сохраняются при переходе от временной к частотной некогерентности. На рис. 7.4 показана схема обработки принимаемых колебаний для двухчастотного радиолокатора с независимыми релеевскими флюктуациями в отдельных частотных каналах приема. Антенная обработка (рис. 7.4) для обоих частотных каналов считается одинаковой. Двухчастотная работа позволяет несколькаослабить роль замираний (федингов). Вероятность одновременного замирания на двух частотах меньше, чем на одной. Межканальный и межпериодный сумматоры строятся обычно в предположении прямоугольной формы пачки, одинаковой интенсивности радиоимпульсов в каналах.
Весовые коэффициенты при этом одинаковы. Рис. 7.4 69 7.3. Методы расчета «ффектнвностн носаедетекторного накопление некогерентных снгналов Последетекторное накопление приводит к повышению условной вероятности правильного обнаружения Р (при фиксированной условной вероятности ложной тревоги г = сопз1) по мере роста числа обрабатываемых импульсов. Расчет условных вероятностей Р=- ) реп(и)«(и, Г= ) рс(и)«(и, "порог порог где и и ипорог имеют смысл возможного и порогового напряжений, сложнее аналогичного расчета равд. 3.3, что связано с негауссовостью последетекторных распределений. Рассмотрим сумму и = и последетекторных напряжений их = и, + из + + ... им, слагаемые которой описывают результаты линейного нли квадратичного детектирования прямоугольной пачки радноимпульсов.
Плотность вероятности случайного напряжения и = иь > 0 на выходе линейного детектора в отсутствие флюктуаций описывается законом Райса р (и) = ие 1и'+Е'!7з 7«(си). (7.18) По этому закону распределено нормированное модульное значение весового интеграла ! 2н( сигнала со случайной начальной фазой.
Для квадратичного детектора аналогичное выражение определяется из соотношения р (ч)) «(ч) = р (и) «(и, где «! = иэ.,Отсюда р (ч)) = р (и)!2и, где и = )/«Ь а р (и) определяется согласно (!8). Заменяя обозначение т) на и = = ил > О, находим р(и)=0,5е 1"+е !«я)ч(д-)ги) (7.!9) Введем характеристические функции (фурье-преобразования) для плотностей вероятности р (и): 6 (з) = М (е!'") = ) р (и) ейт «!и, (7.! 9а) о что удобно при независимых распределениях слагаемых их.
Характеристиче- ская функция суммы сводится в этом случае к произведению характеристических функций слагаемых, так что после обратного преобразования Фурье имеем ° 0 ! .( )= — ~ "() -в" " 2««,) «О (7.20) Соотношения (18), (19) относятся только к нефлюктуирующим пачкам радиоимпульсов. Учет флюктуаций упрощается в крайних случаях„когда они независимые или «дружныем В случае независимых флюктуаций радиоимпульсов плотности вероятности амплитуд и = ии видеоимпульсов на выходе детектора «ч р (и) = ) р (и ( Ь) р (Ь) «(Ь. о Условная плотность р (и! Ь) соответствует (18) или (19) с заменой ч) на дЬ. В случае дружных флюктуаций замену д на цЬ проще произвести в зависящем от д выражении характеристнческой функции суммарного напряжения 6 (з). ПриМ меры расчета характеристических функций, плотностей вероятности р (и ) для случаев отсутствия флюктуаций, независимых и дружных флюктуаций радиоимпульсов пачки рассмотрены в равд.
7А. 70 Результаты расчета могут и не выражаться через табулированные функции; тогда плотности вероятности р (и) воспроизводятся по нецентрироеаннмм или центрироеанным их моментам ° О ОО р„= )г и р(и) Ыи, р = )г (и — и)" р(и) е(и, о о (7.23) р (и) — )' Ьь Ч'а( ). (7.24) Функции 5га (х) выбирают так, чтобы ограничиться небольшим числом членов ряда. Последнее удается при большом числе М слагаемых и когда распределение (20) приближается к нормальному. Прн этом нулевой член й = 0 ряда (23) целесообразно выбирать в соответствии с нормальным законом, остальные — в соответствии с его производными, полагая Ч'ь(х)=йа(е х / /)г2п)/ах .
(7. 25) Ряд (23) называют в этом случае рядом Грана — Шарлье. Входящие в него функции (25) связаны с аолиномоми Эрмита Нз(х)= ( — 1)аех узах(е ~/З)/ах~, к числу которых относятся: Н,(х)=1, Нх(х)=х, Н,(х)=хз — 1, Н,(х)=хз — Зх, Н,(х)=зев — без+ 3, Н, (х) = хз — 10хз+ 15х и т. д. (7.27) Полиномы Эрмита различной степени взаимоортогональны на бесконечном интервале — оо ( х < со с весом. е Нл(х) Н„(х) е " дх = хв/з 10 прн и т- и, '('Зг 2па! при й=и. 7! где и = М (и) = Рм Центрированные моменты любой случайной величины и = и связаны при этом с нецентрированными: рек= Рз= 1 р, =0, рзц=)ез — И. )гзц= рз Зря)гз+2рзз (7.21) Рек= Рз — 4Рз Рз+ 6)ез )зхз — ЗРзз н т.д. Центрироваиные моменты суммарного напряжения связаны с центрнрованны- ми моментами слагаемых 1, 2, ..., М.
При их однородности и независимости рзц —— Маза, „„=мд„, )еец Маец+ЗМ(М вЂ” 1) Х2ц и т.д, (7.22) Для воспроизведения плотностей вероятности р (и) случайных величин и с математичесними ожиданиями рз н дисперсиями рзц по этим и другим моментам используют разложения Коэффициенты ряда Грама — Шарлье находятся путем умножения (23) на О„[(и — и)/о) и интегрирования по и/о на бесконечном интервале и — и 1 (/и )„-( — () (,()- ) р(,) з„~ и ~ и После подстановки полиномов (27) имеем Ьз = 1 Ьс = О, Ьз = О, Ьз = — рзц/бпз, Ьз =- (рзц/24оз) — 1/8, Ьз = (рзц/120оз) + ()сзц/12о'), (7.28) (41)-з (/4 (»4+се е — х)/((»4 (х > 0), [ 0 (»с 0) [ (7.29) Функция 4 = 0 описывает плотность вероятности гамма-распределения, осталь- ные функции — ее производные. Все функции (29) при х > 0 )Ра (х) = ( — 1) х е Еа (х) связаны с полиномами Лагерра 5~!а)(х)=( — 1)" (4!) — зехх "((4(ха+ма х)/д»4, к числу которых относятся 5(а)(х)=-1, 5!"1(х)= — (а+! — х), 7 (а) (х) =- О, 5 (а+ 1) (се+ 2) — (а+ 2) х+ О, 5х', Полиномы Лагерра с неодинаковыми индексами 4 взаимоортогональны на полу- бесконечном интервале от 0 до со с весом хае ".
Коэффициенты разложения (24) находятся путем умножения (24) на ь!и)(и/т) и интегрирования по и/ст Центрированные моменты р „суммарного напряжения, входящие в (28); связаны с центрированными моментами слагаемых Х ц соотношениями (22). Чтобы уменьшить потребное число членов ряда Грама — Шарлье, их компонуют в виде аеимптотичегни» приближении" Эдагворта. В нулевом приближении Эджворта (очень большие М) используется один нулевой член 4 = 0 ряда Грама — Шарлье, соответствующий нормальному закону распределения. В первом приближении удерживается дополнительно третий член ряда Грама — Шарлье 4 = 3 порядка малости 1/1/М по отношению к нулевому. Во втором приближении дополнительно удерживаются четвертый и шестой члены порядка малости (1/1/М)з по отношению к нулевому.
В третьем приближении удерживаются пятый, седьмой и девятый члены порядка малости (1/1/М)з по отношению к нулевому. Чем меньше слагаемых М в сумме их, тем большее число членов ряда Грама — Шарлье удерживается в асимптотическом приближении Эджворта. Необходимость увеличения числа членов связана с заметным отличием функций (25) от плотностей вероятности р (и) слагаемых их, име(ощих нулевые значения при и с О. Поэтому часто переходят к разложениям (24) по функциям Подставляя значения полнномов Лагерра, козффициевты Ь„выражают через Нецентрированиые моменты Ь, = 1/тГ(и+ 1), Ь» = — (и+ 1 — р»/т)/тГ(а+ 2), Ьз = [(и+ 1) (со+ 2)— — 2р (а+ 2)/т+ р /чз)/тГ (и+ 3).
В некоторых случаях возможна аппроксимация р (и) тремя членами ряда (24). Она облегчается в случае подбора неопределенных параметров а, т из условий Ь, = Ьо = О. Подбирая «о =! ро/(рз — ро)) — 1, т = (рз — ро)/р»,' имеем, что т, е. Р (и) ж Ьо»Р« (и/т), (7.30) р(и) =(и/т)" е и/ч/чГ(«о+ !), (7.3!) 7А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
