Osnovi_teorii(прост учебник) (1021136), страница 90
Текст из файла (страница 90)
Φ Т (t, s) = Φ∗ (s, t) Это свойство КМП – см. формулу (8.60) – необходимо учитывать в случае разработки (моделирования)плоской АФАР.53418Глава 9. Обнаружение и измерение параметров РЛ сигналов …1GG G dA,Φ п = Sp ∫ Φ п LаA0(9.19)1G ∗Т G GG G dA.ln l = 1 D LD − Sp ∫ Φ п Lа2A0(9.20)Gln Φ сп()GGGгде Lа = Ф п− 1 − Ф а− 1 .Отношение правдоподобия (9.17) с учетом (9.19) преобразуется к видуGПереходя к многоканальному приему непрерывных колебаний Y ( t ) ,имея в виду возможность предварительной дискретизации этих колебанийи устремляя к нулю интервал временнóй дискретизации, выражение (9.20)логарифма отношения правдоподобия, являющегося достаточной статиGстикой для принятия оптимального решения о значении вектора α и , приведем к окончательному виду:TT G1TTGGGG1dA∗T, (9.21)ln l = ∫ ∫ D ( t ) ⋅ L ( t , s ) ⋅ D ( s ) dtds − Sp ∫t,sLΦ⋅()а ( s , t ) dtds∫∫ п200A000Gгде Т – интервал наблюдения случайного процесса Y ( t ) .GGРешающая матрица L ( t , s ) = Lа ( t , s ) А =1 определяется из обобщённогоинтегрально-матричного уравнения Фредгольма, являющегося развитиемматричного уравнения (9.18):GGGGΦt,s⋅Ls,θ⋅Φθ,τdsdθ=A⋅Φ()()()аапс (t, τ) .∫∫TT(9.22)00GGGGЗдесь Φ а ( t , s ) = Φ (t , s ) = Φ п ( t , s ) + А ⋅Φ с ( t , s ) .GПри записи матрицы Φ п (t, s, λ1) учтено наличие в ней внутреннихшумов элементов ФАР1.
Достаточная статистика для матричного когерентного сигналас равновероятной начальной фазой и релеевской амплитудой.Известно, что случайный процесс считается детерминированным(с известными параметрами), если задан закон его распределения. Поэтомусигнал с равновероятной случайной начальной фазой и релеевской амплитудой далее будем называть детерминированным РЛ сигналом54.54К детерминированному принято относить и сигнал со случайной начальной фазой.Полная достаточная статистика (логарифм отношения правдоподобия l) такого сигнала (приq2 = 2Э / N0 1) имеет следующий вид: lnl = |Z| – q2 / 2, где |Z| – модуль весового (корреляци-419Раздел III. Теоретические основы радиолокационной системотехникиВначале выведем достаточную статистику рассматриваемой моделисигнала для одномерного варианта его обнаружения на фоне белого шума.ЗадаваясьскалярнымикорреляционнымифункциямисигналаФс (t, s) = 1/2X (t) · X*(s) и помехи (белого шума) Фп (t, s) = N0δ (t – s), одномерный вариант уравнения (9.22) приведем к следующему виду:∞⎡⎤ AAN0 ⎢ N0 Lа (t , τ) + X (t ) ∫ X ∗ ( s) Lа ( s, τ)ds ⎥ = X (t ) X ∗ (τ) ,2−∞⎣⎢⎦⎥ 2(9.23)где X (t) – комплексная амплитуда ожидаемого сигнала.
При этом интегралв левой части уравнения (9.23) принимает значение∞∫X∗(s) Lа (s, τ)ds = AЭ0 X ∗ (τ)/ N0 ( N0 + AЭ0 ) .(9.24)−∞∞21Здесь Э 0 = ∫ X ( t ) dt – энергия ожидаемого сигнала.2 −∞(9.25)При подстановке соотношения (9.24) в (9.23) получаем искомое значение La (t, τ):(9.26)Lа ( t , τ ) = A X ( t ) X ∗ ( τ ) / 2 N 0 ( N 0 + AЭ 0 ) .Подставляя уравнение (9.26) в (9.21), вводя параметр обнаруженияq = 2Э0 / N0 и нормированный к N0 комплексный весовой интеграл (8.51)2∞Z=∫ Y (t ) X∗(t ) dt N 0 , получаем достаточную статистику для детермини-−∞рованного сигнала [7, c. 83–89]:ln l = ⎡ Z⎣2()()4 1+ q2 2 ⎤ − ln 1+ q 2 2 .⎦(9.27)Рассмотрим особенности вывода достаточной статистики для матричного когерентного сигнала плоской ФАР – (соотношение (9.15).При известной функциональной связи между сигналами, принимаемыми отдельными элементами антенной системы, КМ сигнала представимв видеG G GGG GGΦ с t , s , α , λ 2 = 1 K ( t , α ) ⋅ K ∗T ( s , α ) ,2()онного) интеграла (8.51).
В некоторых случаях эта статистика также используется для синтезаадаптивных РЛ обнаружителей-измерителей, однако класс решаемых ею задач ограничен. Поэтой причине она в учебнике не рассматривается.420Глава 9. Обнаружение и измерение параметров РЛ сигналов …GG Gгде K ( t , α ) , по аналогии с вектором D ( t ), – блочный вектор-столбец раз-Gмера m1×1 с элементами в виде простых вектор-столбцов Ki = ( Ki ) k разG Gмера m2×1, сформированных из столбцов матрицы сигнала G (t , α )(рис. 9.3):GGX 11X 12K1 ( t , α )GGG GGGX 21X 22K2 (t, α )GGK (t, α ) =; K1 ( t , α ) =; K2 (t, α ) =; ...
;.........GGX m2 1X m2 2K m1 ( t , α )X 1m1GX 2 m1GK m1 ( t , α ) =;...X m2m1X 11X 12...X 1m1G GGGX 21G (t , α ) = X (t , β) X Т (t , ε) =...X 22...X 2m1.........X m21.X m2 2 ... X m2m1GВ свою очередь, X (t, β) – вектор-столбец ожидаемого амплитуднофазового распределения (АФР) сигнала в азимутальной плоскости размераmG1×1 с параметром β при фиксированном (истинном) значении параметра ε;X (t, ε) – вектор-столбец ожидаемого АФР сигнала в вертикальной плоскости размера m2×1 с параметром ε при фиксированном (истинном) значении параметра β:X β (t )e− jβ1X ε (t )e − jε1GX β (t )e− jβ2GX ε (t )e − jε 2− jε− jβX ( t ,β ) =, X (t, ε ) =, X m2m1 = X ε (t )e m2 ⋅ X β (t )e m1 .......X β (t )e− jβm2X ε (t )e− jε m2В этом случае решение интегрального уравнения (9.22) примет вид∞ ∞GGGA G G ∗ТA G G ∗Т[t,sK(t)K(s)]Ls,,dsdK (t ) K (τ) .Φ+⋅θ⋅Φθτθ=()()()ап∫∫ п22−∞ −∞(9.28)G GВведем блочный весовой вектор R ( t , α ) размера m1 с подблокамиразмера m2, определяемый интегрально-матричным уравнением (8.67):∞GG1 GФ(t,s)R(s)dsX(t ).=∫2 −∞421Раздел III.
Теоретические основы радиолокационной системотехникиДля случая плоской АФАР это уравнение преобразуется к виду∞GG G1 G −1t,sRt,sdsKΦ=()()(t, α ) .∫ п2 −∞(9.29)Введем также выражение для параметра обнаружения (отношениесигнал/(помеха + шум)):∞G 1 G Т G G∗ Gq ( α ) = ∫ K ( t , α ) R ( t , α ) dt .2 −∞(9.30)GУмножим обе части исходного уравнения (9.28) на R∗Т (t) / 2 слеваи проинтегрируем по t. Учитывая уравнения (9.30), (9.29), получим выражение(21+ Aq 2)∞ ∞G ∗ТGGA 2 G ∗ТK(s)Ls,,dsdq K (τ) .⋅θ⋅Φθτθ=) п( )а(∫∫2−∞ −∞Подставляя его в формулу (9.28), получаем равенство∞ ∞GGGA G G ∗Тt,sLs,,dsdK (t ) K ( τ) 1 + Aq 2 2 ,Φ⋅θ⋅Φθτθ=()()()пап∫∫2−∞ −∞()в правую часть которого подставим выражение (9.29). После преобразований получим уравнение∞ ∞G G ∗Т ⎤ GG⎡G1At,sLs,R( s) R (θ) ⎥ ⋅Φ п ( θ, τ ) dsd θ = 0 .Φ⋅θ−()()⎢ а2∫∫ п81Aq/2+⎣⎦−∞ −∞Это уравнение имеет решение:()Lа ( s, θ) = AR( s) R∗Т (θ) 8 1+ Aq 2 2 .(9.30а)В соответствии с равенством (9.21) оно распространяет отношение правдоподобия (9.27) на многомерный матричный сигнал и случай произвольно коррелированной и нестационарной гауссовой помехи.
Входящий в соотношение (9.27) комплексный весовой интеграл Z определяется выражением∞ GG∗GG GG1Z ( t , α ) = ∫ D T ( t , α ) ⋅Φ п− 1 ( t ) ⋅ K ( t , α ) dt .(9.31)2 −∞422Глава 9. Обнаружение и измерение параметров РЛ сигналов …В целом для рассматриваемого случая логарифм отношения правдоподобияG G 2Ζ t , α, λG G2ln l =ln1qt,,λ 2 .−+α(9.32)GG2 1 + q 2 t , α, λ 2(()(() )) )(Следует заметить, что в выражении (9.32) учтена зависимость велиG Gчины энергетического отношения сигнал/(помеха + шум) q 2 t , α , λ от век-()тора информативных и мешающих параметров. Это указывает на возможный энергетический характер измеряемых параметров сигнала.
Сходствовыражения (9.32) с достаточной статистикой (9.27) является внешним. Вопервых, логарифм отношения правдоподобия (9.32) является функцией одGновременно двух информативных параметров ( α T = β ε ), что проявляетсяпри синтезе соответствующих измерителей. Во-вторых, составляющие вектора информативных параметров оказываются статистически взаимосвязанными между собой. Эта зависимость проявляется как в процессе адаптациик внешним помехам, так и в процессе адаптации к неинформативным параметрам (в рассматриваемом случае – к энергии ожидаемого сигнала).При Gразделениии временнýюG обработки на пространственнуюGGвекторы(t,β),(t,ε)преобразуютсяквиду(t,β)=XXXXβ (t) X (β),GGX (t, ε) = Xε (t) X (ε). В этом случае соотношение (9.30), при условииXβ (t) = Xε (t), примет следующий вид:G T G G −1 G а G ∗ G ∞ 2G GаGq t , α, λ1 = K ( α ) Ф п s, λ1 K ( α ) ∫ X ( t ) dt = 2Э 0ν ( α ) ,2()()(9.33)−∞где по аналогии с уравнением (9.25) Э0 – энергия ожидаемого сигнала;G G GG G GGν ( α ) = K T ( α ) Ф п−1 s , λ1а K ∗ ( α ) – пространственная составляющая отноше-()ния сигнал/помеха.При согласованной обработке (случай отсутствия внешних помех) матG G G GG −1Gрица Фп является единичной и произведение K T ( α ) K ∗ ( α ) =ν(α) = m1m2 .Учитывая далее, что |Z|2 = ZZ*, комплексный весовой интеграл (9.31)G G 2G G 2преобразуется к виду Ζ t , α, λ1а = Э0 Ζ α, λ1а , а выражение для полной()()достаточной статистики (9.32) примет окончательный вид:G G 2Э0 Ζ α, λ1аG Gаln l =−ln1+Эνα, λ1G0G2 1+ Э0ν α, λ1а((()))(()) .(9.34)423Раздел III.
Теоретические основы радиолокационной системотехникиСтруктурная схема адаптивного обнаружителя на базе плоскойAФАР, обеспечивающего вычисление комплексного весового (корреляциG G 2онного) интеграла Ζ α, λ1A , приведена на рис. 9.3. Величина Y∑ является()результатом пространственной обработки. СФ реализует этап временнóйобработки сигналов. Задача обнаружения сигнала на фоне АП здесь своGlдится: а) к вычислению блочной КМ сигнала и помех Ф ; б) к ее обращеG −1lнию или непосредственному вычислению ОКМП Ф ; в) компенсации АПG G Gза счет векторно-матричной операции η = D T Ф − 1 ; г) когерентному суммированию сигналов по элементам AФАР за счет операции векторного пеG G GGремножения ηТ K ∗ ( α ) = YΣ ( α ) ; д) согласованной фильтрации и квадратичному детектированию сигналов на фоне остатков компенсации помехи внутренних шумов приемного устройства; е) сравнению полученногоG Gрезультата с порогом Z0.
Элементы вектора η = D T Ф − 1 представляют собой выходные сигналы элементов АФАР, очищенные от АП, поэтому веGаGсовой интеграл Z ( α )не зависит от мешающего параметра λ1 .2. Достаточная статистика квазидетерминированного (некогерентного во времени) РЛ сигнала.Некогерентными называют импульсные сигналы со случайными начальными фазами высокочастотного заполнения в каждом импульсе. В отличие от когерентного сигнала статистические свойства некогерентногосигнала, отраженного от цели, являются весьма сложными.
Функционалраспределения вероятностей флюктуирующего некогерентного сигналав общем случае вычислить не удается. Не удается синтезировать и схемыоптимальных измерителей параметров некогерентных РЛ сигналов. Поэтому при разработке и анализе измерителей параметров такой моделисигнала вводятся некоторые ограничения на его априорную структуру.Квазидетерминированным будем называть полезный сигнал, представляющий собой совокупность s статистически независимых элементарных сигналов с детерминированной временно́й структурой, что можетиметь место, например, при приеме некогерентной импульсной последовательности неперекрывающихся во времени сигналов (некогерентной пачкирадиоимпульсов).GВведя указанные ограничения, запишем КМ Φ с (t, l) квазидетерминированного сигнала плоской AФАР в видеsGGG GGΦс ( t , l ) = ∑Эsi Ksi (t , α) ⋅ Ks∗iТ (l, α),i =1424(9.35)Глава 9.
Обнаружение и измерение параметров РЛ сигналов …гдеи в случае с рассмотренным ранее детерминированным сигналом)G (какGK si (t , α ) – блочный вектор-столбец размера m2×1 комплексных законовмодуляции i-го (i = 1,…, s) элементарного сигнала с элементами в видеGпростых вектор-столбцов K si = ( K si ) k , k = 1 … m1, составленный из знаGGGчений матрицы Gsi (t , α ) = X si (t , ε) ⋅ X si (t , β) ожидаемого АФР i-го элементарного сигнала; Э si – энергия i-го элементарного сигнала.В явном виде логарифм отношения правдоподобия для рассматриваемой модели сигнала находят из соотношения (9.21). Для этого введемGGGпрямоугольную блочную (размером m2×s) матрицу K п (t ) = K s1 (t )...K ss (t )Gи квадратную диагональную матрицу Эs порядка s с элементами Э si . Тогда, представляя выражение для КМ (9.35) в видеG GGGΦ с (t , l ) = K п ( t ) ⋅ Эs ⋅ Kп∗Т ( l )(4.36)и находя из обобщенногоинтегрально-матричного уравнения (9.22) реGшающую матрицу L а (t, s), от соотношения (9.21) приходим к выражениюдля логарифма отношения правдоподобия квазидетерминированного сигнала:G G G1 G G G G G −1 G G Gln l = Ζ∗sТ ( α ) ⋅ ⎡⎣ I + qs2 ( α) ⎤⎦ ⋅ Эs ⋅Ζs ( α) − ln ⎡det I + qs2 ( α) ⎤ .⎣⎦2()(9.37)G GЗдесь Z s ( α ) – s-мерный вектор-столбец комплексных корреляционныхинтегралов, соответствующих оптимальному обнаружению элементарныхдетерминированных сигналов с элементамиGZ si ( t , α ) =∞∫(−∞GGG GGDsTi ( t , α ) ⋅Φ п−1 ( t ) K s*Tt,α() dt ;i)(9.38)GGG GGdet A – определитель матрицы A = I + q s2 .
В свою очередь, q s2 – квад-(( ))ратная матрица порядка s с элементамиqs2i∞ ∞2 = Э si∫∫−∞ −∞GGG GGK sTi (t , α ) ⋅Φ п−1 ( t , l ) K s*i ( l , α ) dt dl .(9.39)В силу условия неперекрываемости во времени элементарных сигнаGлов некогерентной пачки матрица qs2 является диагональной.425Раздел III. Теоретические основы радиолокационной системотехники3. Достаточная статистика для стохастического сигнала.Другим основным видом некогерентных сигналов являются стационарные процессы с нулевым средним значением и неизвестным энергетическим спектром сигнала. Сигналы такого вида еще называют стохастическими. При выводе достаточной статистики будем полагать, что интервалнаблюдения Тн значительно превышает время корреляции и принимаемыхполезных и помеховых колебаний, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
