Учебно-методическое пособие (1019600), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Найти закон движения точки (без учета сопротивлениявоздуха), если заданы положение S0  S (0) и скорость v0  v(0) в начальныймомент времени t=0.Решение. Поскольку ускорение является второй производной отперемещения g  a(t )  S (t ) , то получаем уравнение вида S (t )  g , котороеявляется простейшим дифференциальным уравнением второго порядка.Задача сводится к нахождению функции по заданной второйпроизводной. Проинтегрировав обе части уравнения S (t )  g дважды,получимt2S (t )  g C1t  C2 , где C1 ,C2 - некоторые произвольные постоянные.2Эти постоянные определим из заданных начальных условий: C2  S (0)  S 0 положение точки в начальный момент времени, C1  S (0)  v(0)  v0 начальная скорость.

Окончательно получимt2S (t )  g  v0t  S 0 .2Пример 9. Переходный процесс в линейной электрической цепи.Пусть линейная электрическая цепи, состоящая из последовательносоединенных элементов – сопротивленияrи индуктивности L –присоединяется к источнику э.д.с. E (t )  E . Описать переходный процесс(значение тока в начальный момент времени i (0)  0 ).Решение.

Переходный процесс в данной электрической цепи наосновании второго закона Кирхгофа описывается уравнениемU r  U L  E (t ) .diПоскольку U r  r  i , а U L  L , получаем уравнениеdtdiri  L  E (t ) .dtМы пришли к дифференциальному уравнению первого порядка. Методырешения таких уравнений будут изучаться позднее. Покажем, как этоуравнение можно решить с помощью непосредственного интегрирования.Перепишем уравнение в видеrdi EiLdt LE (t )rm  m(t ) и для удобства обозначим k .

В новыхLLобозначениях79k i di m(t ) .dtktДомножим это уравнение на e :die kt k  i  e kt  m(t )e kt .dtdi ktktktПоскольку e k  i  e  (i  e ) , то приходим к уравнениюdtd(i  e kt )  m(t )e kt .dtИнтегрируя, получимt1kt(i  e )   E (t )  e ks ds  C .L0Поскольку значение тока в начальный момент времени i (0)  0 , тоC  0 и, следовательно,te  kti (t ) E (t )  e ks ds .L 0В случае постоянной э.д.с. E(t )  E  const .e  kti (t ) LE ErEe  kt kt0 E  e ds  Lk (e  1) )  r  r exp( L t ) .tks3. Несобственные интегралыНесобственные интегралы с бесконечными пределами(несобственные интегралы 1-го рода)Определение.

Пусть функция f(x) определена при х ≥ а и интегрируемана любом конечном отрезке[ a , b] ,гдеb  [a,] ..bТогда интеграл  f ( x)dx имеетaсмысл при любом b > a и является функцией аргумента b.Определение. Если существует конечный предел80blimb  f ( x) dx ,aто его называют несобственным интегралом 1-го рода от функции f(x)на интервале [a,) и обозначаютb f ( x)dx = lim  f ( x)dx .b  aaПри этом говорят, что несобственный интеграл существует илисходится. Если же не существует конечного предела, несобственный интегралне существует или расходится.Если f ( x)  0 на интервале [a, +∞), то величина несобственногоинтегралаI f ( x)dx являетсяплощадьюнеограниченнойобласти,aрасположенной между графиком функции y=f(x) , прямой х = а и осью Ох.Аналогично определяется несобственный интеграл 1-го рода отфункции f(x) на интервале (, b] .

Если функция f(x) интегрируема на любомконечном отрезке [a, b] , где    a  b , то полагаютbb f ( x)dx = lim  f ( x)dx .aaЕсли функция f(x) интегрируема на любом конечном отрезке [a, b]числовой оси, то несобственный интеграл 1-го рода с двумя бесконечнымипределами определяется равенством81cc f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx ,где c – произвольное число.По определению интеграл f ( x)dx существует только в том случае,если сходятся оба интеграла, стоящие в правой части равенства.dxПример 1. Вычислить интеграл .1  x2Решение.

Это несобственный интеграл 1-го рода с двумя бесконечными0dxdxпределами, поэтому представим его в виде суммы 1  x 2 1  x 2dx.1  x20Вычислим сначалаbdxdx lim (arctgb  arctg 0)  .20 1  x 2  limb 1  xb20Аналогично00dxdx lim (arctg 0  arctga ) 21  x 2  alim 1  xa2aи, следовательно,dx1  x 2   .Основные свойства несобственных интеграловс бесконечными пределами1. Свойство линейности. Если несобственные интегралы f ( x)dx и  f1aa2( x)dx сходятся, то для любых постоянных C1 и C282 (C f ( x)  C1 1aaf ( x))dx  C1  f1 ( x)dx  C 2  f 2 ( x)dx .2 2a2.

Формула Ньютона – Лейбница. Если f(x) непрерывна при x  a , аF(x) - первообразная, тоf(x)dxF(x) F ()  F (a) ,aaгде по определениюF ()  lim F (b) .b3. Интегрирование по частям.Если функции u(x) и v(x) непрерывны вместе со своими производнымии существуетlim u ( x)  v( x) , тоx udv  uvaa vdu ,aгдеuva lim u ( x)  v( x)  u (a)  v(a) .xПризнаки сходимости несобственных интеграловс бесконечными пределамиВ ряде задач нужно только установить сходимость или расходимостьнесобственного интеграла.Теорема. (Признак сравнения).

Пусть 0  f ( x)  g ( x) при x  [a,) .Тогда:1)2)если интегралесли интегралaa g ( x)dx сходится, то интеграл  f ( x)dx сходится;f ( x)dxрасходится, то интегралa g ( x)dx такжеaрасходится.Этот признак имеет простую геометрическую интерпретацию: есликонечна площадь под графиком большей функции g (x) , то конечна площадьпод графиком меньшей функции f (x) .83Аналогичным образом интерпретируется второе утверждение.Замечание.Признак сравнения остается верным, если неравенства0  f ( x)  g ( x) выполнены не для всех x  [a,) , а начиная лишь снекоторого A  a , т.е. для x  [ A,) .Пример 2.eИсследовать на сходимость интеграл Эйлера - Пуассона2x2dx .0 x1Решение.

Для сравнения выберем функцию g ( x)  e. Поскольку2xx2  x  1 и, следовательно, 0  e 2справедливо неравенство 2 e x 1 , аинтегралe x 1dx  e  x 1e00сходится, то и исходный интеграл Эйлера - Пуассона также сходится.Теорема. (Предельный признак сравнения).Пусть f ( x)  0,  ( x)  0 на [a,∞). Если существует конечныйпредел, не равный нулю,f ( x)k,x   ( x )limто интегралы0  k   ,иf ( x)dx  ( x)dxсходятся и расходятсяaaодновременно.Приk 0из сходимости   ( x)dx следует сходимостьaПриk из расходимости f ( x)dx .a f ( x)dx .a  ( x)dx следует расходимость интегралаa84Приприменениипризнакасравненияудобносравниватьподынтегральную функцию с функцией 1 , α > 0, для которой сходимостьxили расходимость соответствующего несобственного интеграла легкоустановить непосредственно.1Пример 3.

Исследовать на сходимость   dx , a  0, вxaзависимости от параметра  .Решение. Пусть   1, тогдаa.b b11x1 ba1dxlimxdxlimlimb b 1   ab 1  x1a (  1)  1   a(  1)   1При   1bb11dx  lim  ln | x |   lim (ln b  ln a)   .a x dx  blimb a  b xaСледствие. Интеграл1a x  dxсходится при 1и расходится приПример 4. Исследовать на сходимость  1.x02 x  cos x3x 5  3 sin x  5dx .Решение. Поделим числитель и знаменатель на старшую степеньзнаменателя подынтегральной функции.

При больших значениях xподынтегральная функция приблизительно равна2x1 x1252 cos x  x 3 3 sin x  x3 5x3522x1.Поэтому в качестве функции сравнения возьмем функцию2 ( x)  5 2 . Проверим, что при x   подынтегральная функцияx2эквивалентна функции  ( x)  5 2 . В самом деле:xf ( x)(2 x  cos x)  x 5 2lim lim 1.35x  ( x)x( x  x  3 sin x  5)  2Таким образом, данный интеграл сходится.5 1,2и по предельному признаку сравнения85Пример 5. Исследовать на сходимость1 ln x  5 dx .2Решение.

Наводящие соображения: функция y  ln x растетмедленнее, чем функция y  x . Поэтому возьмем в качестве функции1сравнения  ( x ) . Имеем:x221) Интеграл   ( x)dx   1 dx - расходится;2) limxxf ( x)x lim.x ( x)ln x  5Тогда в силу предельного признака сравнения получаем, что исходныйинтеграл также расходится.Абсолютная и условная сходимостьнесобственных интегралов 1-го родаОпределение.Несобственныйинтегралf ( x) dx называютaабсолютно сходящимся, если сходится интеграл|f ( x) | dx иусловноaсходящимся, если интегралf ( x) dx сходится, а интегралa|f ( x) | dxaрасходится.Если интеграл абсолютно сходится, то функцияабсолютно интегрируемой на [a,∞).f(x) называетсяТеорема.

Если интеграл f ( x)dxабсолютно сходится, то он сходитсяaи в обычном смысле.Пример 6. Исследовать на абсолютную сходимостьcos xdx .31x0cos x1 3, а интеграл3x 1x 1сходится (почему?), то исходный интеграл сходится абсолютно.Решение.Посколькуx01dx1386Несобственные интегралы от неограниченных функций(несобственные интегралы 2-го рода)Определение. Пусть функция f(x) определена на полуинтервале [a, b)и интегрируема на любом отрезке [a, b1 ] , где b1  b    [a, b) ,   0 , но неинтегрируемая на отрезке [a, b] (имеет разрыв при x = b).Определение.

Если существует конечный пределb b f ( x)dx  lim f ( x)dx ,0aaто его называют несобственным интегралом 2-го рода.При этом говорят, что несобственный интеграл существует илисходится. Если же не существует конечного предела, несобственныйинтеграл не существует или расходится.Аналогичным образом определяются несобственные интегралы отфункции, имеющей разрыв при х = а:bb f ( x)dx  lim f ( x)dx .0aaЕсли функция f(x) имеет разрыв внутри отрезка [a, b] в некоторойточке с (a<c< b), то по определению полагаютbсaab f ( x)dx  f ( x)dx   f ( x)dx .По определению интегралсbf ( x) dxсуществует только в том случае,aесли сходятся оба интеграла, стоящие в правой части равенства.1dxПример 1.

Вычислить интеграл .21 1  xРешение. Подынтегральная функция на интервале (1,1) имеет дваразрыва при x  1 и при x  1 . Поэтому представим исходный интеграл ввиде суммы двух интегралов, в каждом из которых подынтегральная функцияимеет ровно один разрыв:871dx0dx1dx.2221x1x1x011По определениюb111dxdxdx lim 0 1  x 2  limb1 1 01  x21  x200 lim (arcsin(1   )  arcsin 0)  02.Аналогично00dxdx  lim (arcsin 0  arcsin( 1   ) 1 1  x 2  lim 0 021  x21и, следовательно,1dx1 1  x 2   .1dxПример 2. Вычислить интеграл  2 .x1Решение. Подынтегральная функция на отрезке [1,1] интегрированияимеет один разрыв приx 0.Поскольку функция f(x) имеет разрыв внутри отрезка [1,1] в точкеx  0 , то представим интеграл в виде суммы8810dxdx1 x 2  1 x 2 1dxx2.01По определению интегралdxxсходится только в том случае, если21сходятся оба интеграла, стоящие в правой части равенства.

Характеристики

Список файлов книги