Учебно-методическое пособие (1019600), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Так как11 1dxdxlimlim0 x 2  0 0 x 2  0 x   интеграл также расходится.1расходится,тоиисходныйЗамечание. Для несобственных интегралов 2-го рода справедливы те жесвойства, что и для несобственных интегралов 1-го рода.Признаки сходимости несобственных интеграловот неограниченных функцийТеорема. (Признак сравнения). Пусть функции f(x) и φ(х)непрерывны приa xbи имеют разрыв при x = b. Если0   ( x)  f ( x) при x  [a, b) , то:b1)bесли интеграл  f ( x)dx сходится, то сходится и интеграл   ( x)dx ;a2)если интегралabbaa  ( x)dx расходится, то расходится и f ( x) dx .Пример 3. Исследовать на сходимость интеграл1cos 2 (1 x)dx .0xРешение.

Поскольку при x  (0,1] справедливо неравенствоcos 2 (1 x)10xx1и интеграл1dx  2xсходится, то и исходный интеграл также сходится.0x102Теорема. (Предельный признак сравнения).Пусть f ( x)  0,  ( x)  0 на [a, b) . Если существует конечныйпредел, не равный нулю,f ( x)k,x b  ( x )lim0  k   ,89то интегралыbf ( x)dxиb  ( x)dx сходятся и расходятсяaaодновременно.Приk 0bbиз сходимости   ( x)dx следует сходимость  f ( x)dx .aПриk abиз расходимости   ( x)dx следует расходимость интегралаab f ( x)dx .aПри применении признака сравнения удобно сравниватьподынтегральную функцию с функцией 1 , α > 0, для которой сходимостьxили расходимость соответствующего несобственного интеграла легкоустановить непосредственно.b1Пример 4.

Исследовать на сходимость   dx в зависимости отx0параметра  .Решение. Пусть   1, тогдаb0bb b11x1 1adx  lim  x dx  lim lim  0 0 1   0   0 1  x10При   (  1)  1   b(  1)   1 1bb 11  lim (ln b  ln(0   ))  dxlimdxlimln|x|0 x b 0  xb00b.Следствие.

Интегралbсходится при 101dxxи расходится приПример 5. Исследовать на сходимость  1.1x03dx. 3x 2  5 xРешение. Подынтегральная функция на промежутке (0,1]интегрирования имеет разрыв приприблизительно равнаx  0 . При малыхx подынтегральная90112x( x  3x  5) 5 x .Поэтому в качестве функции сравнения возьмем функцию1 ( x) . Проверим, что при x  0 подынтегральная функция5x1эквивалентна функции  ( x) . В самом деле:5xf ( x) lim 2 5 1.x  0  ( x)x0 x  3 x  5lim1Поскольку   ( x)dx 01dx 5x расходится (  1 ), то по предельному0признаку сравнения исходный интеграл расходится.Пример 6. Исследовать на сходимость1201dx .x ln xРешение.

Возьмем в качестве функции сравнения  ( x) 1.xИмеем:1212001) Интеграл   ( x)dx 1212dx  2 x0x22- сходится;f ( x)x lim 0. ( x) x 0 x ln xТогда в силу предельного признака сравнения получаем, чтоисходный интеграл также сходится.2) limx 0Абсолютная и условная сходимость для несобственных интегралов 2го рода определяется так же как и для несобственных интегралов 1-го рода.Пример 7. Исследовать на абсолютную сходимость10Решение. Поскольку1x031dx xsin 2 xx3  xsin 2 xdx .3 xx1, а интегралx3  xсходится (почему?), то исходный интеграл сходится абсолютно.914. Криволинейные и поверхностные интегралыКриволинейные интегралыПусть на отрезке a, b задана векторная функцияr (t )  x(t )i  y(t ) j  z (t )k ,(1)т.е. каждому t  a, b сопоставляется вектор с началом в точке 0,0,0,имеющий координатыr (t )  x(t ); y(t ); z (t ) (рис.1).Рисунок 1При изменении t отлинию(кривую)Laотдо b конец вектораточкиr (t ) описывает некоторуюA  xa , ya , za доточкиB  xb, yb, zb .

Говорят, что такая пространственная линия L заданауравнением (1). В частности, приz (t )  0 мы получим уравнение плоскойкривой: r (t )  x(t )i  y(t ) j . Задание кривой уравнением (1) определяет нетолько геометрическое место точек с координатами  xt , yt , z t , но и«порядок» точек на кривой: при возрастании t от a до b точкаxt , yt , zt  «пробегает» кривую от точки A до точки B .Определение 1. Кривая L , на которой определен порядок «следования»точек, называется ориентированной, а выбранный порядок - ориентацией. Укривой может быть две ориентации.Определение 2. Касательной к кривой L в точке M OM  r t называется предельное положение секущей MM 1  r (t  Δt )  r (t )Δt  0 , если оно существует (рис.2).при92Рисунок 2Производная от вектор-функцииЛегко показать, чтоr (t ) в точке t :r (t  Δt )  r (t )r (t )  lim.Δt 0Δtr ' (t )  x' (t )i  y' (t ) j  z ' (t )k .Определение 3.

Кривая L называется гладкой, если при любом t  a, bсуществуют и непрерывны производные x' (t ), y' (t ), z ' (t ) .Определение 4. Кривая L называется кусочно-гладкой, если функцииxt , yt , z t  непрерывны, и отрезок a, b можно разбить на конечное числоподотрезков, на каждом из которых эти функции имеют непрерывныепроизводные.В дальнейшем мы будем рассматривать только гладкие или кусочногладкие кривые. Наглядно говоря, кривая, заданная уравнением (1), являетсягладкой при t  a, b , если в каждой её точке существует касательная,«непрерывно» меняющаяся вдоль L .Криволинейный интеграл 1-го рода (по длине дуги)Пусть на кривой L задана функция f M  .

Разобьем кривую L на частиLk , 1  k  n , в каждой части выберем произвольную точку M k . Затемумножим f M k  на ΔS k - длину части Lk , и все такие произведенияпросуммируем:f ( M1 )Δs1    f ( M n )Δsn n f ( M k )Δskk 1Такая сумма называется интегральной суммой.(2)93Определение 5. Криволинейным интегралом 1-го рода (по длине дуги) отфункции f M  называется предел её интегральных сумм (2) приmax Δsk  0 при условии, что этот предел существует и не зависит отkспособа разбиения кривой L на части Lk и выбора на них точек M k :n f ( M k )Δsk   f (M )dslimmax ΔS k 0 k 1(3)LkТеорема существования.

Пусть функция f(M) определена и непрерывнана кривой L. Тогда криволинейный интеграл 1-го рода (по длине дуги) отфункции f M  существует.Основные свойства криволинейного интеграла 1-го рода1) Значение криволинейного интеграла 1-го рода не зависит отвыбора ориентации на кривой L .2) Линейность. с1 f1 (M )  с2 f 2 (M )ds  с1  f1 (M )ds  с2  f 2 (M )ds ,LLLгде с1, с2 – постоянные.3) Аддитивность.

Если кривая L  ABL1  AC и L2  CB , торазбита на две части f (M )ds   f (M )ds   f (M )ds .LL1L24) Если на L выполнено неравенство m1  f ( M )  m2 и l – длиналинии L, тоm1l   f ( M )ds  m2 l .L5) Если f(M) непрерывна на L, то f (M )ds  f (M0)l ,Lгде M0 – некоторая «средняя» точка на L (теорема о среднем).Если f(M) ≡ 1, то ds  l .LПоследнее соотношение позволяет использовать криволинейныйинтеграл 1-го рода для нахождения длины дуги кривой.Если f(M) ≥ 0, то f(M) можно интерпретировать как плотность, аинтеграл f (M )dsкак массу.LОтметим также, что с помощью интеграла 1-го рода можно вычислятьстатические моменты кривой относительно осей координат, а также94координаты ее центра тяжести. Приведем соответствующие формулы дляплоской кривой.Пусть f M   f ( x, y) - линейная плотность плоской кривой L .

Тогда1) масса кривой Lm   f ( M )ds .L2) координаты центра тяжестиx0 11xf ( x, y )ds , y0   yf ( x, y )ds .mLmLOx , Oy3) моменты инерции соответственно относительно осейначала координатиJ x   y 2 f ( x, y)ds , J y   x 2 f ( x, y)ds , J 0   ( x 2  y 2 ) f ( x, y)ds .LLLАналогичные формулы имеют место для случая пространственнойкривой.Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода (по длине дуги)1) Если кривая L задана параметрически: x = x(t), y = y(t),z = z(t), t [a; b], тоb222 f (M )ds   f x(t ), y(t ), z (t ) xt (t )   yt (t )  zt (t ) dtLa(4)2) Если кривая L плоская и y = y(x), α  x  β , тоβ f (M )ds   f x, y( x)(5)αL1   y x ( x)2 dx3) Если кривая L задана в полярных координатах уравнением  ( ) ,      , тоLf ( M )ds   f  ( ) cos  ,  ( ) sin    ( ) 2   ( ) d2(6)Вычисление криволинейного интеграла, как мы видим, сводится квычислению определенного интеграла.95 x  y  z ds , если L: x = cos t , y = sin t, z =Пример 1.

Вычислить I Lt при 0  t π2.Решение. Используем формулу (4):Iπ2222 cos t  sin t  t   sin t   cos t   1 dt 0π2π2 2  cos t  sin t  t dt  2 (2  ).802Пример 2. Вычислить I   x ds , если L: y =ln x при 1  x  2 .LРешение. Используем формулу (5):2I   x21312 312111    dx   1  x 2 2 d (1  x 2 )   5 2  2 2  .213 xПример 3.

Найти длину дуги кривой L: x = cos t , y = sin t, при 0  t  π2.Решение.l   ds   (cos t )  (sin t ) dt 2L20dt 2022sin t 2  cos t 2 dt 02Криволинейный интеграл 2-го рода (по координатам)Пусть L – ориентированная кусочно-гладкая кривая с начальнойточкой А и конечной точкой В. На кривой L задана вектор-функцияa (M ) = P(M )i  Q(M ) j  R(M )k  P( x, y, z)i  Q( x, y, z) j  R( x, y, z)k .Ak , 1  k  n ,Разобьем кривую L на части точкамиA  A0 , A1 ,..., An  B . Координаты точки Ak обозначим через( xk , yk , z k ) .

Положимxk  xk 1  xk , yk  yk 1  yk , z k  z k1 - z k96В каждой части Ak 1 , Ak разбиения кривой L выберем произвольнуюточку M k . Составим интегральную суммуn 1   [ P( M i )xi  Q( M i )yi  R( M i )zi ]k 0xk , yk , z k - проекции дуги Ak 1 , Ak соответственно наоси Ox, Oy, Oz. Пусть l - длина наибольшей из дуг Ak 1 , Ak .Определение. Если при l  0 существует конечный пределОтметим, чтоинтегральных сумм σ, не зависящий ни от способа разбиения кривой L , ниM k на дугах Ak 1 , Ak , то этот предел называетсяот выбора точеккриволинейным интегралом 2-го рода от вектор-функции a (M ) по кривойL и обозначается P( x, y, z )dx  Q( x, y, z )dy  R( x, y, z )dz .LТаким образом, по определению P( x, y, z)dx  Q( x, y, z)dy  R( x, y, z)dz Ln 1 lim  [ P( M i )xi  Q( M i )yi  R( M i )zi ] .l 0 k 0Теорема существования.

Характеристики

Список файлов книги