Учебно-методическое пособие (1019600), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Рассмотрим данный метод на примере цилиндрической исферической поверхностей.222На цилиндре x  y  R введем в качестве координат точекцилиндра координаты ( , z ) , где 0    2 ,    z   . Тогдаx  R  cos y  R  sin z zd  R  d  dz1042222На сфере x  y  z  R введем в качестве координат ее точекуглы ( ,  ) , где 0    2 ,  0     . Тогдаx  R  sin   cos y  R  sin   sin z  R cos d  R 2  sin   d  dПример.Найтиплощадьцилиндрическойповерхностиx  y  R , заключенной между плоскостями z  0 и z  x .222Решение.S  d =R co s22 d  Rdz =  R220Пример.

Вычислить интеграл2cos d = 2R 2 .x 2  y 2 d ,где поверхность  - это полусфера радиуса R при z  0 .Решение.x  y d =222232 2 R3dRsind=. 002Поверхностный интеграл 2-го типа (по координатам)Пусть задана гладкая двусторонняя поверхность  и задана еёориентация, т.е. указано направление нормали (фиксирована какая-либоиз двух сторон поверхности).Предположим, что поверхность  взаимно однозначно проектируетсяна область D плоскости XOY. Пусть  задана функцией z = z(x, y) , гдеz(x, y) – непрерывно дифференцируемая функция.Пусть в точках поверхности  задана некоторая функцияf (M )  f ( x, y, z ) .

Разобьем поверхность сеткой линий на n ячеекσ k , 1  k  n , и спроектируем их на координатную плоскость XOY.Площадь проекции s k берется со знаком «плюс», если выбранаверхняя сторона поверхности. В этом случае нормальn  cos α  i  cos β  j  cos γ  k к выбранной стороне поверхности105составляет с осью Oz острый угол, т.е. cos   0 . Соответственноплощадь проекции s k берется со знаком «минус», если выбрананижняя сторона поверхности.

В каждой ячейке σ k , 1  k  n , выберемточку M k , M k  ( xk , yk , z ( xk , yk )) , и составим интегральную сумму:n f (Mk 1nk)s k   f ( xk , yk , z ( xk , yk ))sk . (16)k 1Определение. Поверхностным интегралом 2-го типа от функцииf(M) (по координатам ( x, y) ) называется предел интегральных сумм(16) при стремлении к нулю наибольшего диаметра ячеекmax diam k   0 , если предел существует и не зависит от способаkразбиения и выбора точек M k .

Он обозначается f ( x, y, z)dxdy .Таким образом, получаемnlim f (Mmax  diam k 0 k 1k)s k   f ( x, y, z )dxdy .kАналогичным образом, если вместо плоскости Oxy проектировать элементыσ k , 1  k  n , поверхности  на плоскости Ozy и Oxz , определяютсяповерхностные интегралы 2-го типа по координатам ( z, y) и ( x, z ) , которыеобозначаются соответственно f ( x, y, z)dzdyи f ( x, y, z)dxdz .Объединяя эти три интеграла, придем к виду, который наиболее частоиспользуется на практике P( x, y, z)dydz  Q( x, y, z)dzdx  R( x, y, z)dxdy ,(17)где ( P, Q, R) есть функции ( x, y, z ) , определенные в точках поверхности .Интеграл (17) можно записать более коротко. Введем вектор-функциюa (M ) = P(M )i  Q(M ) j  R(M )k  P( x, y, z)i  Q( x, y, z) j  R( x, y, z)k .В дальнейшем будем использовать обозначение P( x, y, z)dydz  Q( x, y, z)dzdx  R( x, y, z)dxdy   a (M ), d  .Замечание.

Знак поверхностного интеграла 2-го типа зависит отвыбора ориентации поверхности.106Как и в случае криволинейных интегралов, для поверхностныхинтегралов 1-го и 2-го типа имеется связь, которая задается следующейформулой(18) a (M ), dσ    a (M ), n (M )dσ .σσЗдесьn  cos α  i  cos β  j  cos γ  k - вектор выбранной нормали.5. Элементы теории поляПонятие поля. Скалярное и векторное поляВ физических задачах часто встречаются два типа величин: скаляры ивекторы.

Например, если каждой точке данной области пространствапоставить в соответствие некоторое число (значение физической величины,скажем, температуры), то говорят, что задано скалярное поле (полетемператур). Если же каждой точке данной области пространства поставить всоответствие вектор (например, при движении жидкости или газа каждойточке сопоставлен вектор скорости), то говорят, что задано векторное полеОпределение 1. Скалярным полем u(M) называется числовая функция,заданная в точках пространственной области V.Определение 2.

Векторным полем называется векторная функцияa (M ) , заданная в области V.В декартовой системе координат скалярное поле u(M) задаетсянекоторой функцией трех переменных x, y, z, которая обычно обозначается тойже самой буквой u, что и сама физическая величина:u(M) = u(x, y, z).Аналогично скалярному полю, векторное поле в декартовойсистеме координат задается векторомa (M )  P( x, y, z )  i  Q( x, y, z )  j  R( x, y, z )  k ,где i , j , k - орты декартовой системы координат,P( x, y, z), Q( x, y, z ), R( x, y, z) - координаты вектора a (M ) .Примерами скалярных полей служат поле плотности массы тела,поле распределения температур тела, поле плотности электрического зарядатела.

К векторным полям относятся поле сил тяготения, поле магнитнойнапряженности, поле скоростей частиц движения жидкости или газа.107Поля подразделяются на стационарные и нестационарные. Мы будемизучать только стационарные поля, то есть такие, которые не меняются стечением времени.Перейдем к рассмотрению основных характеристик скалярных ивекторных полей.Скалярное поле.

Производная поля по направлению. ГрадиентГеометрическую характеристику поведения скалярного поля в областиV чаще всего вводят при помощи поверхности уровня.Определение 3. Поверхностью уровня скалярного поля u(M) называетсягеометрическое место точек М области V пространства, в которых значениеполя равно одной и той же постоянной с , т.е. u(M )  c . Различнымзначениям постоянной с соответствуют различные поверхности уровняскалярного поля величины u.

В декартовой системе координат всевозможныеповерхности уровня скалярного поля величины u определяются уравнениямивида:u(x, y, z) = с(1)Пример.Найтиповерхностиуровняскалярногополяu ( M )  x 2  y 2  z 2 , заданного в декартовой системе координат вобласти V , совпадающей со всем пространством.Решение. Для нахождения поверхностей уровня, отвечающих значениювеличины поля с, положимu(M )  x 2  y 2  z 2  cТогда x  y  z  c , то есть поверхностями уровня врассматриваемом случае являются всевозможные сферы радиуса с.Для плоского скалярного поля (соответствующего z = 0) уравнение (1)приобретает вид u(x, y) = с и определяет совокупность линий уровня.Поверхности уровня позволяют судить о скорости измененияскалярного поля u(M) по тому или иному направлению качественно.

Дляколичественной характеристики скорости изменения поля введем понятиепроизводной по направлению l.Пусть u(M) – скалярное поле в некоторой пространственной области V,задаваемое в декартовой системе координат функцией u(x, y, z) трехпеременных, которую будем предполагать дифференцируемой, l - некотороефиксированное направление, задаваемое единичным векторомτ  (cos α, cos β, cos γ) ,а , ,  - углы, образуемые направлением l с осями координат.

Зафиксируемточку М(x, y, z), а точку M ' ( x  Δx, y  Δy, z  Δz ) будем выбирать на луче,выходящем из точки М в направлении вектора  .2222108Определение 4. Производной скалярного поля u(M) по направлению lназывается предел:ullimM 'M 0ΔuM'Mu(M ' )  u(M )M 'M 0M'MЗаметим, что отношениеlimu(M ' )  u(M )- есть средняя скоростьM 'Mизменения поля u(M) при переходе от точки М к точке М’ вдоль направленияl. Предел этого отношения при M ' M  0 дает мгновенную скоростьизменения скалярного поля в точке M по направлению l.

Отсюда, в частности,следует, что приuu 0 поле u(M) возрастает вдоль l в точке М, а при0ll- убывает. Укажем формулу для вычисления производной скалярного поля понаправлению l в декартовой системе координатu uuu cos α   cos β   cos γ .l xyz(2)Определение 5. Градиентом скалярного поля u(M) называется векторgrad u uuui   j  k .xyzФормула (2) может быть записана в следующем виде:u τ , grad u lилиЗдесьu   grad u  cos   grad u  cos  .l(3)(4)между grad u и направляющим векторомτ  (cos α, cos β, cos γ) прямой l. Из последней формулы видно, чтомаксимум-уголuв точке М по всем возможным направлениям l достигается приl109условии совпадения направления l с направлением градиента (  = 0 ).

Такимобразом,maxu grad u .l(5)Отсюда следует, что градиент направлен в сторону наибыстрейшеговозрастания функции u , а его длина равна скорости возрастания (такимобразом, градиент определяется самим полем , а не выбором системыкоординат). Сформулированное утверждение можно рассматривать, какинвариантное (т.е. не зависящее от выбора системы координат) определениеградиента.Пример. Установить характер роста скалярного поля u = xyz понаправлению вектора l  i  2  j  2  k в точке М(1, 1, 1) и найти величинускорости изменения данного поля в указанном направлении.Решение. Вычислим частные производные:uuu y  z, x  z, x y .xyzИх значения в точке М(1, 1, 1):uxM (1,1,1) 1,uyM (1,1,1) 1,uzM (1,1,1) 1.Найдем единичный вектор направления l:li  2 j  2k1 i  2  j  2  k ,l1   22  2 2 3122т.е.

Характеристики

Список файлов книги