Учебно-методическое пособие (1019600), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Поскольку ch 2 t  sh 2 t  1 , положим1 2t  ln( x 3 x  9 ) , dx  3cht  dt и, следовательно,39  x 2 dx   9  9sh2t  3chtdt  9 ch 2t  dt  9x  3sht ,тогдаe 2t  e 2t  2dt4e 2t  e 3t 99 t C 82999919x 1sh(2t )   t  C  sht  cht   t  C  x 9  x 2   ln( x2  9)  C4222223 319 x 9  x 2   ln( x  x 2  9 )  C1 .222. Определенный интегралЗадачи, приводящие к понятию определенного интегралаЗадача о нахождении площади криволинейной трапеции1.Рассмотрим криволинейную трапецию D, ограниченную отрезком[a,b] оси Ox, графиком непрерывной функции y  f x   0 , заданной наотрезке [a,b] , и вертикальными прямыми x = a и x = b.58Задача о нахождении площади криволинейной трапеции D приводит кbпонятию «определенный интеграл», который обозначается f ( x)dx .

Приaэтом площадь криволинейной трапеции D равна S ( D) bf ( x)dx . Числа аaи b называютсяинтегрирования.соответственнонижнимиверхнимпределамиЗадача о нахождении работы переменной силыПусть материальная точка перемещается под действием переменнойсилы F  F (x) вдоль оси Ox. Вычисление работы А переменной силы поперемещению из точки x = a в точку x = b ( aопределенного интеграла b)сводится к вычислениюbA F ( x)dx .aЗадача о нахождении пути материальной точки при движении спеременной скоростью v(t)Путь S материальной точки, пройденный за промежуток времени от t =a до t = b вычисляется с помощью определенного интеграла от абсолютнойвеличины скоростиbS   | v(t ) | dt .a2.4 Задача о нахождении массы неоднородного стержняМасса m неоднородного стержня плотности ρ =ρ(x) на отрезке [a,b]сводится к вычислению определенного интегралаbm  ( x)dx .aСвойства определенного интеграла1.

Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:59bbaa Af ( x)dx  A f ( x)dx .2. Интеграл от суммы конечного числа слагаемых равен суммеинтегралов от каждого слагаемогоbbbaaa ( f1 ( x)  f 2 ( x))dx   f1 ( x)dx   f 2 ( x)dx .Из 1 и 2 следует, что для любых постоянных C1 и C2b (C f ( x)  C1 1bbaaf ( x))dx  C1  f1 ( x)dx  C 2  f 2 ( x)dx .2 2aПоследнее равенство называют свойством линейности определённогоинтеграла.3.

Свойство аддитивности.Для любых трех чисел a,b,c справедливо равенствоbcbaac f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx ,если все эти интегралы существуют.a f ( x)dx  0 .4.aabba f ( x)dx   f ( x)dx. .5.6. Интегрирование неравенств.Если на отрезке [a,b] выполнено неравенство f (x) ≤ g (x), тоbfb( x)dx   g ( x)dx .aaВ частности, если f ( x)  0 ,bf( x)dx  0 .aОтметим еще одно полезное неравенствоbfb( x)dx   | f ( x) | dxaa7. Теорема об оценке.Если т и М – наименьшее и наибольшее значения функции f(x) наотрезке [a,b], тоbm(b  a)   f ( x)dx  M (b  a).a8. Теорема о среднем.Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то на этом отрезкенайдется такая точка ξ, что60b f ( x)dx  (b  a) f ( ).a9. Теорема определу.производной определенного интеграла по верхнемуxЕсли f(x) – непрерывная функция и ( x)   f (t )dt , тоa( x)  f ( x).Отсюда следует,первообразную.чтовсякаянепрерывнаяфункцияимеетНепосредственное интегрированиепо формуле Ньютона-ЛейбницаФормула Ньютона – Лейбница.

Если F(x) является первообразнойнепрерывной функции f(x), то справедлива формулаb f ( x)dx  F (b)  F (a) .aПравая часть обозначаетсяF (b)  F (a)  F ( x)baи формула Ньютона –Лейбница записывается в видеbbf(x)dxF(x) F (b)  F (a) .aax4141 x 2 dx  1 x dx  1 x 2 dx  ln | x |2Пример 1.22 ln 2  2Пример 2.111dxarctgxarctg1  arctg 0   0  .0 1  x 2044Пример 3. sin023xdx 2 (1  cos2x) sin xdx 0cos 3 x  2 2   (1  cos x)d (cos x)  ( cos x ) .033022214x214 4 ln 2  (  )2 161Замена переменной в определенном интегралеТеорема. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b],функция φ(t) непрерывна и имеет непрерывную производную φ΄(t) наотрезке [ ,  ] , где a = φ(α), b = φ(β), а также множество значений функцииφ(t) при t  [ ,  ] принадлежит отрезку [a,b], тоb f ( x)dx   f ( (t )) (t )dt .a2x  51 x  2 dx .2Пример 4.

Вычислить интеграл2Решение. Сделаем замену t  x  2, откуда x  t  2, x  2t . Новые2x  5dx =x212пределы интегрирования    1  2  1,   2  2  2 . Тогда(2t 2  1)2t1 t dt 2344 2 32 4 2 (2t 2  1)dt   t 3  2t     (4  2)  .331 3 312Интегрирование по частям в определенном интегралеТеорема. Если функции u(x) и v(x) непрерывны вместе со своимипроизводными на отрезке [a,b], тоbbb udv  uv a   vdu .aaЭта формула называется формулой интегрирования по частям дляопределенного интеграла. 2Пример 5. Вычислить интеграл x sin xdx .0Решение. Пусть u = x, 20x sin xdx   x cos x 20dv = sinx dx. Тогда du = dx, v = -cosx.. 20cos xdx  sin x 2 1.062Пример16. arctgxdx  xarctgx01012x 1 d (1  x 2 )dx24 2 0 1  x 20 1 x11 1 1 ln(1  x 2 )  ln 2 .

Здесь u = x, v = arctgx.04 24 2Вычисление площадей, ограниченных кривыми, заданными вдекартовых координатахРассмотрим плоскую область D, ограниченную графикаминепрерывных функций y  f1 x  , y  f 2 x  , f1 x   f 2 ( x) , заданными наотрезке [a,b] , и вертикальными прямыми x = a и x = b (см. рис.).Требуется найти площадь области D.yy=f2(x)Day=f1(x)bxЭту площадь можно найти по формулеbS ( D)   [ f 2 ( x)  f1 ( x)]dx .aПример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функцийy   x и y = 2x – x².Решение.Найдем абсциссы точек пересечения указанных графиков, то есть корниуравнения 2x – x² = – x, -x² + 3x = 0.

Эти корни x1 = a = 0, x2 = b = 3определяют пределы интегрирования. Так как на интервале [0,3] прямая2y   x проходит ниже параболы y  2 x  x , то33 3 2 x3  3 922  .S   (2 x  x  ( x))dx   (3x  x )dx  x 230 20063Вычисление площадей, ограниченных кривыми, заданныхпараметрическиРассмотрим криволинейную трапецию D, ограниченную отрезком [a,b]оси Ox, вертикальными прямыми x = a и x = b, графиком неотрицательнойнепрерывной функции, заданной параметрически x  x (t ),при t  [ ,  ] . y  y (t )2. определяются из равенств a = x(α), b = x(β), аЗдесь  иx  x(t ) имеет непрерывную неотрицательную производнуюx(t ) при t  [ ,  ]функция приТогда площадь криволинейной трапеции D находится по формулеS ( D)   y (t )  x(t )dt .x2 y21Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной эллипсом254.Решение.

Перейдем к параметрической записиx  5 cos t , y  2 sin t , t [0,2 ] . Ограничимся вычислением площадиверхней половины. Здесь x меняется от (-5) до 5, следовательно, t меняется отπ до 0 .y2x-55-201S   2 sin t  (5 cos t )dt  5 2 sin 2 tdt  5 (1  cos 2t )dt  5 .200Следовательно,S  10 .Вычисление площадей в полярных координатахНапомним, что полярными координатами точки М является пара чисел(ρ,φ ), где ρ > 0 - длина отрезка МО – полярный радиус, φ ,  [0,2 ] , -угол64между МО и полярной осью.

Положительным направлением полярного угла φбудем считать его изменение против часовой стрелки. Если совместить началодекартовой системы координат с полюсом, а положительную полуось Ох – сполярной осью, то связь между полярными и декартовыми координатамиточки М выражается с помощью формул x = ρcosφ, у=ρsinφ,и, следовательно,  х 2  у 2 , tg   у .хВычисление площади криволинейного сектора.Площадь криволинейного сектора, ограниченного дугой кривой,заданной уравнением в полярных координатах ρ=ρ(φ) и двумя лучами φ = αи φ = β определяется по формуле1S    2 d .2Если область на плоскости ограничена дугами кривых, уравнениякоторых заданы в полярных координатах в виде   1 ( ) и    2 ( ) (1 ( )   2 ( ) ), и двумя лучами φ = α и φ = β, то площадь такой области (какразность площадей криволинейных секторов, ограниченных кривыми   1 ( )и    2 ( ) ) определяется по формуле12S   (  2  12 )d .2Пример 3.

Найти площадь фигуры, ограниченной лемнискатой Бернулли  9 cos 2 ,  [0,2 ] .Решение. Вычислим площадь четверти данной фигуры, лежащей впервой четверти, т.е.   [0, ] .4 49911 4 . Следовательно, S  9 .S   9 cos 2  d  sin 24442 002Вычисление объема тела через площади его сеченийПусть имеется некоторое тело, для которого известна площадь любого егосечения плоскостью, перпендикулярной оси Ох, являющаяся функцией от х: Q= Q(x). Объем рассматриваемого тела в предположении, что Q – непрерывнаяфункция, равен определенному интегралу65bv   Q( x)dx .aПример 1. Найти объем эллипсоидагде a =2, b=3, c=5.Решение.y2 z2x2  1При x = const сечениями будут эллипсы9 254x2 Q(x)151площадью . Тогда объем эллипсоида4x2 1 2V  15  1  dx  15  x  x 3  40 .241222Вычисление объема тела вращенияПусть требуется определить объем тела вращения,с66образованного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции,ограниченной частью графика функции y  f (x) от х = а до x = b ,отрезками прямых х = а, х = b и осью y  0 .

Площадь сечения такого тела22плоскостью x = const равна Q( x)  y   ( f ( x)) , и формула вычисленияобъема в этом случае имеет видbbv    y dx    ( f ( x)) 2 dx .2aaОбъем тела, образованного вращением вокруг оси Оy фигуры,ограниченной кривой x   ( y) , прямыми y = c, y = d ипо формулеx  0 , вычисляетсяddv    x dy    ( ( y )) 2 dy .2сcПример 2. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Охфигуры, ограниченной кривой y  cos x и прямой y  0 на отрезке[  ., ]223ycos x вокруг оси Ох возникает телоРешение. При вращении кривой2вращения67Найдём объём этого тела вращения.v  2 y dx942291(x  s822 x) i2  2 2 (cos x)298dx 2 2 (1  c2 x)dxo29n .82Пример 3.

Характеристики

Список файлов книги