Учебно-методическое пособие (1019600), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

При n  1 dx  x  C .3. В любом интервале, где x  04. Если a  const , a  0 , a  1 , то5. В частности, если a  e , то6.7. В любом интервале, где cos x  0 ,368. В любом интервале, где sin x  0 ,9. На интервале ( | a |, | a |)В частности, на интервале (1,1)10. Если a  const , тоВ частности,11.

Если k  const , топри этом правую часть этого равенства называют иногда «длиннымлогарифмом».12. Если a  const , тоСвойства неопределённого интегралаСвойства неопределённого интеграла вытекают из определения исоответствующих свойств производных.1. Из определения вытекает, что37иЭти равенства показывают, что операции дифференцирования иинтегрирования можно рассматривать как взаимно обратные.2. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:где - произвольная постоянная.3.

Интеграл от суммы конечного числа слагаемых равен сумме интеграловот каждого слагаемого:Из 2 и 3 следует, что для любых постоянных C1 и C2Последнее равенство называют свойством линейности неопределённогоинтеграла.Методы интегрирования1.1 Непосредственное интегрированиеНепосредственным интегрированием будем называть интегрирование спомощью свойства линейности и использования таблицы.Пример 1. Вычислить неопределенный интегралРешение.Пример 2. Вычислить неопределенный интеграл  3x2 7e 2 x dx4x2  9 1Решение.1  2x  3x  7e  4 x 2  9 dx 3 x 2 dx  7  e x dx  1dx 4x2  93811x3dx  3  7e x   24 x  (3 2) 2311| x3 2|lnC  x 3  7e x  4 2  (3 2) | x  3 2 |1| x3 2|3x lnC. x  7e12| x3 2|  3Пример 3. Вычислить интегралxex 16  2 dx2sin x x  7 Решение.16  x x3e dxsin 2 x x 2  7   (3e) x dx  11dx  6 2dx 2sin xx 71(3e) xdx  ctgx  6 2ln(3e)x  ( 7 )21x(3e) xarctgx ( )  C . ctgx  6ln(3e)77Пример 4.

Вычислить интеграл 8x 5  x11  x 3  x 2  3  4  x 2dxРешение. 8x 5  x11  x3x2  34  x252 8 x dx   x dx 2dx1x 32dx  12 x22dx 38x3 2 2 x  ln | x  x 2  3 |  arcsin( x )  C .3321.2 Метод замены переменной (метод подстановки)Формула интегрирования подстановкой (замены переменной).Пусть u   (x) . Тогда39В левой части после вычисления интеграла f (u)du сделанаподстановка u   (x) .Формулу замены переменной можно также представить в виде f ( ( x)) ( x)du   f ( ( x))d ( ( x)) .Этот прием называют также подведением под знак дифференциала.Пример 1. Вычислить интегралx e xdx .22Решение. Обозначим u  x , тогда du  2 xdx , и xdx 1du .

По2формуле интегрирования подстановкой получаем:Решение этой задачи с помощью подведения под знак дифференциалаимеет вид21 x21 x2x2ed(x)e C .exdx22Пример 2. Линейная замена.ПустьВывести формулуРешение. Положим z  ax  b , тогда dz  adx , и dx 1dz . Поaформуле интегрирования подстановкой получаем:Замечание. В справедливости формулы можно также убедиться спомощью непосредственного дифференцирования.Отсюда получаем следующие равенства, которые полезно запомнить.Дополнение к табличным интегралам401 axb11eC ;dx  ln(| ax  b |)  C ;aax  ba1nn 1 (ax  b) dx  n  1 (ax  b)  C , n  1.eaxbdx 1.3 Метод интегрирования по частями v  v(x) дифференцируемы. ТогдаПусть функции u  u (x)(uv)  uv  uv .

Интегрируя это равенство, получаем формулу, котораяназывается формулой интегрирования по частям.Формула интегрирования по частям udv  uv   vduПример 1. Вычислить интеграл 5e2xxdx .Решение. По формуле интегрирования по частямdu  dxuxdv  e dx2x 5e2xxdx   5 e 2 x xdx 1 2 x  5{x  1 e 2 x  1  e 2 x xdx}   5{x  1 e 2 x  1 e 2 x }  C .v e22242Пример 2.

Вычислить интеграл x ln xdx .Решение. По формуле интегрирования по частямu  ln x du  dxx1 2 12 dxx ln xdx 1 2  ln x  2 x  2  x x dv  xdx v  x21 2 x2 ln x  x   C .24Пример 3. Вычислить интегралРешение. По формуле интегрирования по частям41Преобразуем интеграл в правой части:Формулу интегрирования по частям можно применять несколько раз.2Пример 3. Вычислить интеграл x sin xdx .Решение. По формуле интегрирования по частямx2sin xdx uxu  x2du  2 xdxdv  sin xdx v   cos xdu  dxdv  cos xdx v  sin x  x 2 cos x  2 x cos xdx   x 2 cos x  2{x sin x   sin xdx}   x 2 cos x  2x sin x  cos x  C1.4 Прием возвращения к исходному интегралуПример 3.

Вычислить интегралРешение. Применим формулу интегрирования по частям. При этом в правойчасти получается такой же интеграл .42Получаем уравнениеоткудаЗамечание. Этим же приемом вычисляются также интегралы видаeaxиsin(bx)dxeaxcos(bx)dx .Пример 4. Найти интеграл J  e sin xdx .Решение. Применим дважды формулу интегрирования по частям.du  e x dxu  exxxxJ   e sin xdx u  exdv  sin xdxdu  e x dxdv  cos xdx v  sin xxv   cos x e cos x   e cos xdx  e x cos x  e x sin x   e x sin xdxПолучаем уравнениеJ  e x cos x  e x sin x  J ,откудаJ   e x sin xdx 1 xe { cos x  sin x}  C .2Типы интегралов, которые вычисляются по формуле интегрирования почастям1.

Интегралы вида P( x) sin(ax)dx ,  P( x) cos(ax)dx ,  P( x)eaxdx ,43где P(x) - многочлен, a  const .Применяя формулу интегрирования по частям, полагаема) для первого интеграла u  P(x) , dv  sin(ax)dx ;б) для второго интеграла u  P(x) , dv  cos(ax)dx ;axв) для третьего интеграла u  P(x) , dv  e dx .2. Интегралы вида P( x) arcsin xdx ,  P( x) arccos xdx ,  P( x)arctgxdx , P( x)arcctgxdx ,  P( x) ln xdx ,где P(x) - многочлен.dv  P( x)dx , а в качестве u беремоставшуюся функцию, т.е., соответственно, u  arcsin x , u  arccos x ,В таких интегралах полагаемu  arctgx , u  arcctgx , u  ln x .3. Интегралы видаeaxsin(bx)dx,eaxcos(bx)dx , a  const .Здесь полагаем u  e и, дважды применяя формулу интегрирования почастям, приходим к уравнению относительно искомого интеграла (см.

пример,разобранный выше).ax1.5 Методы интегрированиянекоторых типов элементарных функций1.5.1 Интегрирование неправильных рациональных дробейОпределение. Функция R(x) называется рациональной функцией, илирациональной дробью, если она представляет собой отношение двухмногочленов P(x) и Q(x) :R( x) P( x).Q( x)Пусть степень многочлена P(x) равна m, а степень Q(x) равна n.Если m  n , то дробь R(x) называется правильной, а если m  n , тонеправильной.Если дробь неправильная, то её числитель P(x) можно поделить назнаменатель Q(x) и представить в виде суммы многочлена и правильнойдроби:44P( x)r ( x) N ( x) .Q( x )Q( x)R( x) Здесь N (x) - многочлен, называемый целой частью рациональнойдроби R(x) , а r (x) - остаток , степень которого меньше n.Следовательно, интегрирование рациональных дробей сводится кинтегрированию многочленов и правильных дробей.Пример 1.

Вычислить интегралx3  5x 2  2 x  1dx .x2Решение. Подынтегральное выражение является неправильной дробью.Для вычисления интеграла представим эту дробь в виде суммы многочлена иP( x)  x3  5x 2  2 x  1 направильной дроби. Разделим многочленQ( x)  x  2 :2Следовательно, N ( x)  x  7 x  12 , r ( x)  25 . Таким образом,25x3  5x 2  2 x  12R( x)  x  7 x  12 x2x2и искомый интеграл равен25x3  5x 2  2 x  12)dx dx   ( x  7 x  12 x2x2x3x27 12 x  25 ln | x  2 | C .321.5.2 Интегрирование правильных рациональных дробейТеорема (о разложении правильной рациональной дроби).ПустьP( x)- правильная рациональная дробь, и знаменательQ( x)Q(x)представлен в видеQ( x)  ( x  x1 ) k1 ...( x  xr ) kr ( x 2  p1 x  q1 ) m1 ...( x 2  ps x  qs ) ms ,где pi  4qi  0 .Тогда имеет место следующее разложение245(k )r  A (1)Aj jP( x)j ...

kQ( x) j 1  x  x j(x  x j ) j s  B (1) x  C (1)Bi( mi ) x  Ci( mi )i  i... 2 ( x 2  pi x  qi ) mi i 1  x  pi x  qi,где(k j )A(j1) , A(j 2) ,..., A j, j  1,2,..., r; Bi(1) , Bi( 2) ,..., Bi( mi ) ,Ci(1) , Ci( 2) ,..., Ci( mi ) , i  1,2,..., s,- действительные числа.Следствие. Интегрирование правильныхсводится к вычислению интегралов вида:A ( x  a)ndxи (x2рациональныхдробейAx  Bdx , px  q) n2где p  4q  0 , а n –натуральное.Подынтегральные функцииA( x  a) nиAx  Bназываются( x 2  px  q) nпростейшими дробями.Замечание.Вид разложения правильной дробиP( x)Q( x)в суммупростейших зависит только от знаменателя Q(x) .Для иллюстрации теоремы приведем вид разложения для рядаправильных дробей без вычисления коэффициентов.5x  1AB;( x  3)( x  4) x  4 x  34x 1ABCD ;( x  3)( x  4) x( x  2) x  3 x  4 x x  2B3B1B25x 2  1A;( x  3)( x  1) 3 x  3 x  1 ( x  1) 2 ( x  1) 34x 1Ax  BCD 2 ;( x  x  1) x( x  2) x  x  1 x x  22A1 x  B1A2 x  B2 C4x3  3D;( x 2  x  1) 2 x( x  2) x 2  x  1 ( x 2  x  1) x x  2463x  6Ax  BCx  D.( x 2  x  1)( x 2  1) x 2  x  1 x 2  11dx . 7 x  12Решение.

Подынтегральное выражение является правильной дробью.Для вычисления интеграла представим эту дробь в виде суммы простейшихдробей. Для этого сначала найдем корни знаменателя и разложим его налинейные множителиx 2  7 x  12  ( x  3)( x  4) .Тогда существуют такие числа A и B, чтоПример 2. Вычислить интегралx211ABAx  3 A  Bx  4B ( A  B) x  (3 A  4B).( x  4)( x  3)( x  4)( x  3)x  7 x  12 ( x  4)( x  3) x  4 x  32Полученная дробь должна совпадать с исходной при любых х, следовательно,коэффициенты при одинаковых степенях х в числителях обеих дробей A B  0, то есть А = -1,3 A  4 B  1должны быть равными. Отсюда В = 1.

Такимобразом, исходную дробь можно представить в виде111x 2  7 x  12 x  4 x  3и, следовательно,111dxdx x 2  7 x  12 x  4  x  3dx   ln | x  4 |  ln | x  3 | C .1.5.3 Интегрирование простейших дробейИз теоремы о разложении правильной рациональной дроби вытекает,что любую правильную рациональную дробь можно представить в виделинейной комбинации дробей вида:1)Axa,2)A,( x  a) n3)Ax  B,x  px  q24)Ax  B( p 2  4q  0) .n ,( x  px  q)2Эти дроби называются простейшими дробями.Вычислим интегралы от этих дробей.1)A1 x  a dx  A x  a d ( x  a)  A ln | x  a | C.AA( x  a)  n 1ndx A ( x  a) d ( x  a) C2)  n 1( x  a) n47ppA( x  )  B  AAx  BAx  B22 d ( x  p ).dx  222 x 2  px  q dx   22pppp( x  px  )  q (x  )2  q 44243)ptxСделаем замену2 и обозначимp2q L2 .4pB  A  M,2Тогда искомый интеграл перепишется в видеAt  MA 2tdt1A d (t 2  L2 )1dt   2 M 2dt   2M 2dt 22222t L2 t Lt L2t Lt  L2AMtAM2x  pln(t 2  L2 ) arctg  C  ln( x 2  px  q) arctg C.2LL2L2L4) Метод интегрирования простейших дробей последнего типа изложенв лекциях.Пример 3.

Вычислить интегралРешение.Сделаем7 (5 x  12)9 dx .заменуt  5x  12 ,тогдаdt  5dx .Следовательно,77dx (5 x  12)95dt 7 t 871 t 9  5  (8)  C  40  (5x  12)8  CПример 4. Вычислить интеграл3x  5dx .x2  2x  3Решение.3x  5dx 2x  2x  3Сделаем замену3x  53( x  1)  2dx ( x  1)2  2dx ( x 2  2 x  1)  2t  x  1,dt  dx . Тогда искомый интегралперепишется в виде3( x  1)  23t  23t2 ( x  1)2  2dx   t 2  2dt   t 2  2dt   t 2  2dt 4832t32x 1 ln(t 2  2) arctg C  ln( x 2  2 x  3) arctg C.222222Схема интегрирование рациональных дробей1.Определить тип заданной рациональной дроби (неправильная,правильная, простейшая).2.Если дробь неправильная, то представить её в виде суммымногочлена и правильной дроби.3.Если дробь правильная, то представить её в виде суммыпростейших дробей.4.Проинтегрировать полученные выражения.Пример 5.

Характеристики

Список файлов книги