Учебно-методическое пособие (1019600), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Найти градиент скалярного поля u (M ) . Найтидивергенцию и ротор векторного поля a (M ) .№Скалярное полеu(M )  F ( x, y, z)Векторное поле a (M )1u(M )  e xy  2 cos 2 ( z  x)a (M )  (tg 3 x)i  cos 2xy 3 j  ln( xz 2  y 2 z)k2u(M )  xy 3  ln( y  z 2 )a (M )  (arccos 2 x  3z 2 y)i  ln 2 y j  ( z 2 y 2 x  e2 xy )k3u(M )  x 2  y  x sin(3 y  z )a (M )  (tg 5 x  yz )i  arcsin( yx) j  4 z 3 xy 2 k4u(M )  z 2 e x  arcsin( y 2  xz )a (M )  (ln 2 yz  ye x )i  tg 3 y j  (cos 2 yx  sin 2 z)k5u(M )  ln( x 2 y)  x 3  yza (M )  ( x 2 y  ln yz )i  (sin xy  2 z ) j  (5z  z cos x)k6u(M )  cos(2 x 3  y)  xe yza (M )  (arcsin xy  xz )i  (cos 2 xy  tg 2 z) j  (ln( z  x)  y 3 )k7u(M )  arcsin( xy )  z ln 2 ya (M )  ( y ln x  x ln y)i  ( xy  yz ) j  (arctgxz  x ln 2 y)k298u(M )  x 2 yz  ytg 2 ( z  x)a (M )  ( z cos 2 x  x sin y)i  3 x  2 y 2 j  (ln x 3 z  yz )k9u(M )  ln 2 (3 y  z)  sin( x 3 y)a (M )  cos( xy  z)i  y 2 ln( x  z) j  2 x arccos yz k10xu ( M )  3zey 3 yza (M )  e x y z x i  3 xy cos z j  ln 2 xyz k2112u(M )  3xy cos z  ln( x  z 2 )a (M )  (e x y  e y z )i  (arccos xy 2  ln 3 xz ) j  yz 2  x 2 y k3123u(M )  2 y  arccos( x 3 z )a (M )  (ln(cos x)  2 y z )i  (3 yz  tg 3x) j  (cos 2 yz  e x y )k313u(M )  2tg ( xy 3 )  xyz 2a ( M )  (tg yz  x )i  (2 x arcsin y  sin xz ) j  (e31433zyeyzexy)ku(M )  2 x y xz  z  x23a (M )  ( xe y  ye x  ze y )i  (cos xy 2  ln xz 2 ) j  (ln xz  y z )k15u(M )  2 xe yz  4 y 3  z 2a (M )  (ln(sin x)  tg 3 yz )i  (sin 2 xz  3ln y ) j  (arctgz  y ln(1  z 2 ))k16u(M )  ln(2 y  z 2 )  cos 2 3xyx y ya ( M )  (   )i  (sin 2 xy  cos 2 xy ) j  xy  yz 2 ky x z17u(M )  5ln yz  arcsin xya (M )  (cos 2 xy  y 3 z )i  (ln yz  y ) j  ( y arcsin z  x 1  z 2 )k18u(M )  3 xy  yz  xza (M )  ( x 2 y  y 2 x)i  ( y ln yz  y) j  (cos 2 xz  cos 2 xz )k19u(M )  sin(ln yx)  e z y3a (M )  (tg 3xy  tg 3 yz )i  (e yz  ye xz ) j  xz 2  yz k3020u(M )  ln(cos x 2 )  xyza (M )  ( z arcsin x  y 1  x 2 )i  (ln 3 xz  y 2 xz ) j  ( xe y  ye z  ze y )k21u(M )  ( x  y 2 )arctg yza ( M )  (e22xyezxezy)i  (sin 2 xy  3zx ) j  (arctgz  3 xy )ku(M )  x 2 (ln yz  y 2 )a (M )  ( xy  ln xy )i  ( z 2tgx  y 2 cos x) j  (arccos z  xy 1  z 2 )k23u(M )  y 2 (7 cos x zx )a (M )  (5tgy  y x )i  (sin yz  cos xz ) j  y ln( xz  z)k24u(M )  ln 2 ( xy  z 3 )a (M )  (arccos x  2 cos y)i  (tg (ln x)  ln(tgy )) j  3 x 3 y  y 3 x ln z k25u(M )  cos(3x  yz 2 )a ( M )  (3 x  326y)i  ( ye xz  ze xy ) j  (sin 2 3z  cos 2 3x)kxu(M )  ( y  ln 3z )etgxa (M )  (arctgx  yz ln(1  x 2 ))i  ( xy  3 xz ) j  sin( xz 2  y 2 z)k27u(M )  tg 3xy 2  ln 2 3xza (M )  e x y z x y z i  (ln yz  ln xz ) j  (tgz 2  x3 y)k22822u(M )  xy 2 z 3  arcsin 2 yza (M )  (2 xyz  y 4 )i  y(ln xy  2) j  ( z 2 arccos x  x arccos z)kЗадача 2.11.

Найти поток векторного поля a (M ) через замкнутуюповерхность  двумя способами:1) непосредственно, вычисляя потоки через все гладкие кускиповерхности  ;2) по теореме Остроградского-Гаусса.№a (M )1x 2 i  yj  zk2 z  4  x 2  y 2 , x  0, y  0, z  02i  j  z 2kz 2  x 2  y 2 ,0  z  23134xzi  yzj  k1  z xi  yj  kx 2  y 2  1, y  0,0  z  21  z 2 x 2  y 2 ,0  z  15xzi  yzj  xk6xi  yj  z 2kx 2  y 2  z 2  1, x  0, y  0, z  07i  y2j  kx 2  y 2  4, x  0, y  0,1  z  38x 2 i  zj  ykx 2  y 2  z 2  4, x  0, y  1, z  09xyi  j  k10i  j  z 2k2z  9  x2  y 2 , z  0y  4  x 2  z 2 , y  0, z  02  z  x 2  y 2 , z  211xi  yj  zky 2  x 2  z 2 ,0  y  1, z  012xzi  yzj  z 2kx 2  y 2  z 2  4,0  z  113xi  yj  z 2kz 2  x 2  y 2 ,1  z  0, x  014xi  j  xzk15x 2 j  zkx 2  y 2  9, y  0,0  z  22z  2  x2  y 2 , z  016i  j  x2  z k17yi  xj  z 2kx 2  y 2  z 2  4, x  0, y  0, z  018x 2 i  yj  zkz  x 2  y 2 , x  0, z  419yzi  x 2 j  z 2kx 2  2 y  y 2  0,0  z  4202 xyi  y 2 j  z 2kx  y  z  1, x  0, y  0, z  021x 2 i  yj  xk2 z  8  x 2  y 2 , z  2, y  0222 xyzi  3xyj  z 2 ykx  y  2, x  0, y  0,0  z  4232 xi  y 2 j  xzkx 2  2 z  z 2  0,0  y  224xi  y 2 j  z 2k2 y  3  x 2  z 2 , y  2, z  025xyi  x 2 j  2 yzkx 2  y 2  z 2 , x  0, y  0, z  12  z 2 x 2  y 2 , y  0, z  026yi  2 xj  zkz  1  x 2  y 2 , x  0, y  0, z  027xi  yj  z 2kx 2  y 2  z 2  4,0  x  y, z  028xi  yj  zk2 z  4  x 2  y 2 , x  0, y  0, z  0Задача 2.12.

Найти циркуляцию векторного поля a (M ) по контуру Гдвумя способами:1) непосредственно, вычисляя линейный интеграл векторного поля поконтуру Г2) по теореме Стокса.32№a (M )Г1yi  xj  x k22 yi  x 2 j  3xk3xyi  z j45xi  xzj  ykxyi  xj  yzk6xyi  j  zk7i  xzj  y 2k8yi  z 2 j  xkx  2 y  2 z  4, x  0, y  0, z  09z 2 i  xj  ykx 2  z 2  4, y  z  110y 2 i  x 2 j  zk11y 2i  j  k12zi  xj  y 2k13z 2 i  x 2 j  zk14yi  zj  x 2k15zi  y 2 j  x 2ky 2  1  x  z, x  0, y  0, z  0(1 октант)22x  y  1, x  y  z  316yi  x 2 j  xkx 2  y 2  4, z  y  222x 2  z 2  4  y, x  0, y  0, z  0 (1октант)x 2  y 2  1, x  y  z  3y 2  1  x  z, x  0, y  0, z  0(1 октант)x  y  z  1, x  0, y  0, z  0x 2  y 2  4, y  zx 2  z 2  1  y, x  0, y  0, z  0(1 октант)x 2  y 2  1, x  z  13x  y  2 z  6, x  0, y  0, z  0z 2  1  x  y, x  0, y  0, z  0(1 октант)22x  y  9, x  y  z  52 x  y  z  2, x  0, y  0, z  017xyi  j  k x  2 y  z  4, x  0, y  0, z  018zi  yj  xk1920yzi  xj  ykxzi  zj  ykx 2  z 2  1  y, x  0, y  0, z  0(1 октант)2x  y 2  9, z  x  121zi  yj  xk22zi  zxj  ykx 2  y 2  z 2  4, x  0, y  0, z  0(1 октант)z  x2  y2 , z  4232 yi  z 2 j  xkx 2  y 2  4, y  z24xi  xzj  yky 2  z 2  1, x  y  z  32 x  y  2 z  2, x  0, y  0, z  03325 2 xzi  2 xj  y 2k26zi  2 yj  xk27xj  k28zi  x 2 j  xkx 2  y 2  1  z, x  0, y  0, z  0(1 октант)x 2  y 2  z 2  4, x  0, y  0, z  0(1 октант)2x  y 2  z 2  1, z  yx 2  y 2  1  z, x  0, y  0, z  0(1 октант)Для успешного усвоения курса математического анализа второгосеместра требуются знания и умения по курсам математического анализа иалгебры первого семестра:- вычисление производных функций одной и нескольких переменных;- кривые и поверхности второго порядка.В дальнейшем полученные знания по математическому анализу второгосеместра будут использоваться в курсах: Математический анализ (III семестр, IV семестр); Дифференциальные уравнения; Теория вероятностей; Численные методы; Методы математической физики.34ПРИЛОЖЕНИЕАвторы: Малыгина О.А., Игонина Т.Р., Шухов А.Г.В данном приложении излагается краткая теория и методика решениятиповых задач по курсу математического анализа 2-го семестра.

Материал,относящийся к темам «Неопределенный интеграл», «Определенныйинтеграл», «Несобственные интегралы», «Криволинейные интегралы»,написан Малыгиной О.А., Шуховым А.Г.Материал, относящийся к темам «Поверхностные интегралы»,«Элементы теории поля», написан Малыгиной О.А., Игониной Т.Р., ШуховымА.Г.Содержание «Приложения»1. Неопределенный интеграл. Методы интегрирования.2. Определенный интеграл и его приложения.3.

Несобственные интегралы.4. Двойные и тройные интегралы, приложения.5. Криволинейные интегралы.6. Поверхностные интегралы.7. Скалярное и векторное поля, их характеристики.8. Поток векторного поля и его вычисление.9. Циркуляция векторного поля и ее вычисление.1. Неопределенный интегралОпределение. Пусть функция f (x) задана на некотором интервале(a, b)  R . Если найдётся такая функция F (x) , что при всех x  (a, b) имеетместо равенството функция F (x) называется первообразной для функции f (x) .Нахождение первообразной - операция, обратная к операциивычисления производной.

Найти первообразную по данной функции f (x)означает восстановить функцию F (x) по её производной.F (x) по её производнойневозможно: если F (x) первообразная функции f (x) , то для произвольнойконстанты C  R функция F ( x)  С также является первообразной функцииf (x) , и любая первообразная представима в этом виде.Однозначновосстановитьфункцию35Теорема. Пусть F (x) -- первообразная функции f (x) на (a, b)  R ифункции (x) -- некоторая другая первообразная. Тогда этипервообразные отличаются на константу, т.е.

( x)  F ( x)  С принекоторой постоянной С .Определение. Совокупность всех первообразных функции f (x)называется неопределённым интегралом от f (x) и обозначаетсяпри этомf (x) называется подынтегральной функцией,подынтегральным выражением, f ( x)dx ,f ( x)dx -x - переменной интегрирования,-f ( x)dx  F ( x)  С .знаком интеграла. Таким образом,Таблица неопределённых интегралов для часто встречающихся функцийсразу следует из таблицы производных.Таблица основных неопределённых интегралов1.2.

Характеристики

Список файлов книги