Учебно-методическое пособие (1019600), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Пусть L ориентированная кусочно-гладкаякривая, функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) определены и непрерывны на L.Тогда существует криволинейный интеграл 2-го рода (по координатам) Pdx  Qdy  Rdz .LЗамечание. В случае плоской кривой L криволинейный интеграл 2-города (по координатам) имеет вид Pdx  Qdy .LОбозначим через r (M ) = xi  yj  zkdrdxidyjdzkM(x,y,z)радиус-вектор точки. Тогда.Используя скалярное произведение, приходим к более краткой записикриволинейного интеграла 2-го рода97 Pdx  Qdy  Rdz  L (a , dr ) .LПусть τ (M ) - единичный касательный вектор к линии L в точке M,направленный в соответствии с ориентацией L. Будем считать, что ориентированная кривая L задана уравнениемr  r (l ) , где параметр l - длина кривой, отсчитываемая от начальной точкиA. Тогдаdr   , dr    dl ,dl где    (l ) единичный вектор касательной в точке M  M (l ) .Теорема (связь с криволинейным интегралом 1-го рода). (a , dr )   (a , τ )ds ,LLгде интеграл справа – криволинейный интеграл по длине дуги L от скалярногопроизведения (a , τ ) .Свойства аддитивности и линейности, приведенные выше длякриволинейного интеграла 1-го рода, справедливы и для криволинейногоинтеграла 2-го рода.

При изменении ориентации кривой знак криволинейногоинтеграла по координатам меняется на противоположный(a,dr)(a,dr)ds .ABBAВычисление криволинейного интеграла 2-го рода (по координатам)1) Пусть кривая L задана параметрическим уравнениемr (t )  x(t )i  y(t ) j  z (t )k , a  t  b .Тогда98b (a , dr )   Px't Qy 't  Rz 't dtL(7)aгде P = P(x(t), y(t), z(t)), аналогично определены Q и R.2) Если кривая L плоская и y = y(x), α  x  β , то (a , dr )   P( x, y)  Q( x, y) y ( x))dx (8)LПример. Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода от функцииa  zi  xj  yk вдоль кривой L: r (t )  ti  t 2 j  t 3 k , 0  t  1 .Решение.

По формуле (7)1322 Pdx  Qdy  Rdz   t  1  t  2t  t  3t dt L091.60Пример. Вычислить криволинейный интеграл 2-го родаABвдоль отрезка АВ, где А(0,0), В(1, 1).Решение.Уравнение прямой АВ: x = yПо формуле (8)xAB21dx  xydy  02 x dx  xydy1 2x3 22  2.x  x dx   3 0 3Формула ГринаФормула Грина устанавливает связь между криволинейным интегралом 2го рода по границе L некоторой плоской области D с двойным интеграломпо этой области.Теорема. Если функции P( x, y) и Q( x, y) непрерывны вместе со своимиQPчастными производнымиив замкнутой области D , ограниченнойxyкусочно-гладким контуром L , то имеет место равенство99 Pdx  Qdy   (LСимволDQ P )dxdy .x y(9)обозначает интегрирование по замкнутому контуру L - границеLобласти D .

Ориентация на L выбирается таким образом, что приинтегрировании по L область D остается слева (положительная ориентация).При этом граница области D может состоять, вообще говоря, из несколькихзамкнутых кривых (в этом случае область называется многосвязной).Поверхностные интегралыПусть задана вектор – функция двух аргументов u и v, изменяющихсяв некоторой области D(u, v):r (u, v)  x(u, v)i  y(u, v) j  z (u, v)k .(10)При этом будем предполагать, что при разных значениях аргумента(u, v)  (u1 , v1 ) значения вектор-функции также различны: r (u, v)  r (u1 , v1 ) .Вектор r (u, v) откладывается из точки 0 (начало декартовой системыкоординат), т.е.

он является радиус – вектором точки M(u, v).Геометрическое место всех точек M(u, v) образует некоторую поверхность в пространстве (рис. 3).Рисунок 3При фиксированом v рассмотрим линию, заданную уравнениемu  r (u, v) (линия u на рисунке). Через ru обозначим касательныйвектор к линии u в точке M(u, v). Аналогичноrv - вектор, направленный по касательной к линии v в точке M(u, v).100Теорема. Касательные в точке М ко всевозможным линиям,проведенным через эту точку на поверхности  , располагаются в однойплоскости.Такая плоскость называется касательной плоскостью кповерхности в точке М. Она определяется векторами ru и rv .Определение 1.

Прямая, проведенная через точку Мперпендикулярно касательной плоскости, называется нормалью кповерхности в точке М (рис. 4). Вектор на этой прямой будем называтьвектором нормали.Рисунок 4Вектор нормалиNможно вычислить как векторное произведениеN  ru , rv  касательных векторов ru и rv .Определение 2. Поверхность  называется гладкой, если в каждой еёточке существует касательная плоскость, непрерывно меняющаяся вдольповерхности (т.е.

при изменении точки М ).Отметим, что это равносильно тому, что функция r (u, v)дифференцируема и имеет непрерывные частные производные.Если поверхность  задана уравнением z = f(x, y) (точка (x, y )принадлежат области D), то она будет гладкой тогда и только тогда, когдафункция f(x, y) имеет непрерывные частные производные в области D.Определение 3. Поверхность  называется кусочно-гладкой, если онасостоит из конечного числа гладких частей, примыкающих друг к друг покусочно-гладким или просто гладким линиям.Гладкими поверхностями являются, например, плоскость, сфера,эллипсоид, кусочно-гладкими – куб, конус.Определение 4.

Поверхность  называется двусторонней, если какова быни была её точка М и каков бы ни был на ней замкнутый контур С, проходящийчерез точку М и не пересекающий границы , после его обхода мывозвращаемся в точку М с исходным направлением нормали.101Определение 5. Поверхность  называется односторонней, если на нейсуществует хотя бы один замкнутый контур, обходя который, мы придем вначальную точку с противоположным направлением нормали.Примерами двусторонних поверхностей являются плоскость, сфера,эллипсоид, односторонней поверхности – лист Мебиуса.Фиксировать определенную сторону гладкой двустороннейповерхности – это значит из двух возможных векторов нормали N в каждойточке М выбрать такой, чтобы любые два выбранных вектора можно было быперевести друг в друга непрерывным образом.

Тем самым, выбор направлениянормали в одной точке однозначно определяет выбор направления нормали вовсех точках. Стороной поверхности будем называть совокупность точекповерхности с нормалями.В случае незамкнутой двусторонней поверхности мы не будем каклибо заранее предопределять выбор той или другой стороны. Всякаязамкнутая поверхность, является, очевидно, двусторонней и мы будем всюдувыбирать на ней внешнюю сторону, т.е. в каждой её точке будем указыватьвнешнюю нормаль.Поверхностные интегралы 1-го типа (по площади поверхности)Пусть задана некоторая гладкая двусторонняя поверхность  и наней функция f(M).

Разобьем поверхность сеткой линий на n ячеекσ k , 1  k  n , с площадями Δσ k . В каждой ячейке выберем точку M kи составим интегральную сумму:n f (M k )Δσ k .(11)k 1Определение. Поверхностным интегралом 1-го типа от функцииf(M) по поверхности  называется предел интегральных сумм (11) при стремлении к нулю наибольшего диаметра ячеекmax diamΔδk   0 , если предел существует и не зависит от способаkразбиения и выбора точек M k . Он обозначается f (M )d . Такимобразом, получаемnlim f (M k )Δδk   f (M )dσ .max diamΔδk 0 k 1k(12)σСвойства аддитивности и линейности, приведенные выше длякриволинейных интегралов, справедливы и для поверхностногоинтеграла 1-го типа. Свойство аддитивности формулируется в данном102случае следующим образом. Для кусочно-гладкой поверхности ,состоящей из частей δ1 δq , имеем f (M )dσ   f (M )dσ     f (M )dσσδ1(13)δqПри изменении ориентации поверхности знак поверхностногоинтеграла 1-го типа не меняется.Для поверхностного интеграла 1-го типа также выполненытеоремы об оценке и о среднем.Теорема существования.

Если функция f(M) непрерывна наповерхности , то поверхностный интеграл 1-го типа существует.Замечание. Если функция f(M)=1, то получаем формулу длявычисления площади поверхностиS   d .Вычисление поверхностного интеграла 1-го типаВычисление методом проектирования на координатные плоскостиПусть гладкая поверхность  взаимно однозначно проектируетсяна область D плоскости XOY. В этом случае справедлива формулаf ( M )dσ σf  x, y , z ( x , y ) Dxydxdy,cos γ(14)где z = z(x, y) – уравнение поверхности  (z(x, y) – непрерывнодифференцируемая функция),cos  - направляющий косинус единичного вектора нормали кповерхности в точке ( x, y, z ( x, y) ),n  cos α  i  cos β  j  cos γ  k .Формула (14) может быть записана в виде:2 f (M )dσ  σDxy2 z   z f  x, y, z ( x, y )  1       dxdy x   y (15)103Пример.Вычислить 1  x  z dσ ,если - плоскостьσтреугольника x + y+ z = 1, x  0, y  0, z  0 .Решение.

Выразим z из уравнения плоскости : z = 1 – x – y. Вычислимчастные производные и значение выраженияzz 1, 1xy22 z  z 1        3 x  y По формуле (15) имеем: (1  x  z )dσ   1  x  1  x  y σ3dxdy Dxy11 y00 3  (2  y )dy  dx 5 36Вычисление поверхностного интеграла с помощью координат наповерхностиИногда вычисляют поверхностный интеграл путем введения координат насамой поверхности.

Характеристики

Список файлов книги