Учебно-методическое пособие (1019600), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Найти поток векторного поля a  x  i  x  j  xz  k через2часть поверхности параболоида вращения y  x  z , лежащую в первомоктанте и ограниченную плоскостью y  1(0  y  1), по направлению внешней нормали.Решение. Запишем уравнение поверхности в виде22F(x, y, z) = 0, т.е. x  z  y  0 .Вектор единичной нормали к поверхности параболоида определяется сточностью до знака равенством2n 2grad u2x  i  j  2z  k.grad u4x 2  1  4z 2118При этом вектору внешней нормали отвечает знак «плюс» и, следовательно,cos β  14x  1  4z22 0.В самом деле, из рисунка, приведенного ниже, видно, что внешняя нормальобразует острые углы с положительным направлением осей OX и OY и тупойугол с положительным направлением оси OY (угол ).Поток в этом случае удобно считать, проектируя на плоскость XOZ, тоесть по формулеΠa , n Dxz cos βdxdz .y  y ( x, z )2 x 3  x  2 xz 2Вычислимa , n cos βy  y ( x, z )4x 2  1  4z 21  x  2 x2  z 2 14x 2  1  4z 2Таким образом x  2x2  z 2  1 dxdz .DxzПереходяккоординатамx    cos  , z    sin  , получим2 cos 0полярнымd 2104  2 d наплоскостиXOZ:1.15Рассмотрим вычисление потока с помощью введения координат наповерхности (для цилиндрической или сферической поверхностей).119Пример.

Найти поток векторного поля a  ( x  y)  i  ( x  y)  j  kчерез часть цилиндрической поверхности x  y  R , заключеннуюмежду плоскостями z = 0 и z = x.Решение. Найдем внешнюю нормаль:2n2grad u x  i  y  j x  i  y  j,22grad uRx y2где F  x  y  R .222Вычислим( x  y)  x  ( x  y)  y x 2  y 2 R 2(a , n ) RRRRВведем координаты на цилиндреx  R  cos  , y  R  sin  , z  z, d  R  d  dzУгол  изменяется от  π до π , а z - от 0 до z = x, или22z  R  cos  (см.

рисунок).Таким образом,   a , n d 2R cos2 d  R dz  R  cos 2302d  2 R 32Ответ: Π  2 R 3Пример. Найти поток векторного поля a  z  i  j  x  k через частьсферической поверхности x  y  z  R , расположенную в первомоктанте.Решение. Запишем уравнение сферической поверхности в виде F(x, y,2222z) = 0: x  y  z  R  0 . Найдем внешнюю нормаль2n222grad ( x 2  y 2  z 2  R 2 )grad ( x 2  y 2  z 2  R 2 )Вычислимx i  y  j  z kx2  y2  z 2x i  y  j  z k.R120(a , n ) Вxz  y  zx y .RRкоординатахна(a , n )  sin   sin  ,сферегде0     , 0     (первый октант).22Тогда   a , n d   sin   sin   R 2  sin   dd 2  sin  d02222 R sin d  R01  cos R 2d0 242πR 2Ответ.

Π 4Теорема Остроградского - ГауссаТеорема Остроградского - Гаусса. Пусть  - замкнутая кусочно-гладкаяповерхность, ограничивающая тело V. n  cos α  i  cos β  j  cos γ  k единичный вектор внешней нормали в точках поверхности , тогда потоквекторного поля a ( M )  P, Q, R  (P, Q, R имеют непрерывные частныепроизводные) через поверхность  равен интегралу по объему, ограниченномуэтой поверхностью от дивергенции поля a (M ) a , n dσ   div a dv .σVВ координатной форме формула Остроградского - Гаусса имеет видP Q RPcosαQcosβRcosγdσ    dxdydz .σV xyz Пример.

Вычислить поток векторного поляa (M )  ( x  2 z )  i  (3z  4 x)  j  (5x  y)  kчерез полную поверхность пирамиды с вершинами A (1,0,0),121B(0,1, 0), C(0, 0, 1), O(0, 0, 0) (через внешнюю сторону поверхности)Решение. Поверхность  состоит из четырех плоских треугольниковABC, BOC, COA, AOB.Используя свойство аддитивности, запишемΠ   a , n dσ σ a , n1 dσ   a , n2 dσ   a , n3 dσ   a , n4 dσΔABCΔAOCΔAOBΔCOBВычислим поток через поверхность ABC , уравнение которой x + y+ z= 1. Внешняя нормаль к данной поверхностиn1 grad F1 i  j  k, где F1  x  y  z  1 .grad F13Следовательно, cos  13.

Вычисляем поток проектированием на плоскостьXOYΠ1 a , n1 dxdy   cos γDxyDxyz  z ( x, y )( x  2 z )  (3z  4 x)  (5 x  y )3131dxdy z 1 x  y2 2 x  y  (1  x  y)dxdy   x  1dx  dy   1  x dx  3Dxy11 x10002Вычислим поток через поверхность BOC, лежащей в плоскости YOZ.

Вэтом случае вектор нормали к внешней стороне n4  i , уравнениеплоскости BOC: x = 0. Поток векторного поля a (M ) вычисляем, проектируяна плоскость YOZ.122Π4 ΔCOBa , n4 cos α1dydz x x( y, z )1 z ( x  2 z)1ΔCOBdydz x 01 1 1 12zdydz2zdzdy2z1zdz2   2 3 3ΔCOB000Аналогично вычисляются потоки через поверхности COA и  AOB:1 a , n2 dσ  6Π2 ΔCOAΠ3  a , n3 dσ  1ΔAOBВ результате Π 2 1 11  1 3 3 66Теперь решим данную задачу с помощью теоремы Остроградского Гаусса.

Найдемx  2 z    3z  4 x    5x  y   1  0  0  1xyz1 11Вычислим Π   div a dv   dv   1  (объем пирамиды).3 26VVdiv a Таким образом, двумя способами мы получили, что поток векторногополя a (M ) через полную поверхность пирамиды равен1. При этом6использование теоремы Остроградского – Гаусса существенно облегчаетпроцесс вычисления потока.Поясним физический смысл понятия дивергенции. Для данной точки Мвозьмем замкнутую двустороннюю поверхность , ограничивающую объем V, содержащий эту точку.123Для данного векторного поля a (M ) мы можем написать формулуОстроградского – ГауссаΠ   a , dσ    div a dvΣVПри сформулированных выше условиях на a (M ) мы можем применитьтеорему о среднем для интегралаΠ  V  div a M ср ,где M ср - некоторая точка, содержащаяся в V, откудаΠ.Vdiv a M ср к точке М.

При этом M ср  M , и изнепрерывности div a следует, что div a M ср  div a M  . ПоэтомуСтянем поверхность div a M   lim a , dσ ΣΣMV.Выражение в правой части естественно называть плотностью потокавекторного поля a в точке М.Поэтому мы получаем, что дивергенция векторного поля равнаплотности потока этого поля. Одновременно нами доказана инвариантностьдивергенции, поскольку она определена через инвариантные величины.Циркуляция векторного поляОпределение 11. Циркуляцией векторного поля a (M ) вдоль замкнутогоконтура С называется криволинейный интеграл 2-го типа от векторного поляa (M ) по контуру СЦ   (a , τ )ds   (a , dτ ) .CСимволCобозначает интегрирование по замкнутому контуру С.CЕслиa (M )  P( x, y, z )  i  Q( x, y, z )  j  R( x, y, z )  k ,то циркуляция записывается в видеЦ   Pdx  Qdy  Rdz .C124Если контур С расположен в силовом поле a (M ) , то циркуляция это работа силы a (M ) при перемещении материальной точки вдоль С.Замечание.

Криволинейный интеграл 2-го типа от векторного поляa (M ) по контуру L называется иначе линейным интегралом векторного поляa (M ) вдоль линии L.Теорема СтоксаТеорема Стокса. Пусть в области V задано векторное полеa (M )  P( x, y, z )  i  Q( x, y, z )  j  R( x, y, z )  k ,где P, Q, R –непрерывно дифференцируемые в рассматриваемой области функции; -кусочно-гладкая поверхность, лежащая в этой области и ограниченнаяконтуром С. Единичный вектор нормали n к поверхности  выбирается так,чтобы направление обхода по контуру С было видно с конца вектора nсовершающимся против часовой стрелки (правый винт). Тогда поток роторачерез поверхность  равен циркуляции поля a (M ) по границе С этойповерхности, т.е.

справедлива формула Стокса (rot a , n ) dσ   (a , dτ ) .σCВ декартовой системе координат эта формула имеет вид R  y Q P Q  P R   cos α    cos γ  dσ   cos β  z  z x  x y   Pdx  Qdy  RdzσCЗдесь n  cos α  i  cos β  j  cos γ  k - единичный вектор нормали в точкахповерхности .Ещё одна форма записи теоремы Стоксаij Pdx  Qdy  Rdz   xCσPyQkdσ .zRДля плоского векторного поля a ( M )  P( x, y)  i  Q( x, y)  j ,предполагая, что контур С лежит в плоскости XOY, имеем формулу Грина Q P   x  y dxdy   Pdx  Qdy .DC125Таким образом, формула Грина есть частный случай формулы Стокса.Ориентация на C выбирается таким образом, что при интегрировании по Cобласть D остается слева (положительная ориентация).Пример.Найтициркуляциювекторногополяa (M )   y 2  i  x 2  j  k вдоль контура С, образованного пересечениемсферы x  y  z  R с координатными плоскостями.Решение.

Данная задача может быть решена двумя способами:непосредственным вычислением циркуляции, либо по теореме Стокса.2222Вычислим циркуляцию непосредственно.Контур С является кусочно-гладким и состоит из трех частей: C1 , C2 , C3 .ПоэтомупосвойствуаддитивностиЦ  Ц1  Ц 2  Ц 3   a dτ   a dτ   a dτ .C1C2На линии C1 : z= 0, x  y  R22C32Ц1   a dτ    y 2 dx  x 2 dy  dz C1C1(замена: x  R  cos t , y  R  sin t , z  0, 0  t  ππ2)2222  R sin t   R sin t   R cos t  R cos t dt 20π2 R3sin 3 t  R 3 cos 3 t dt 04 3R3222На линии C2 : x = 0, y  z  RЦ2 1 a dτ    y dx  x dy  dz   dz   dz  12C2C22C20126На линии C3 : y = 0, x  z  R222Ц 3   a dτ    y dx  x dy  dz 2C3Поэтому Ц 2C31 dz   dz  1C304 3R .3Теперь воспользуемся формулой Стокса для нахождения циркуляции.Найдем внешнюю нормаль к сфере x  y  z  R .2222Положим F ( x, y, z )  x  y  z  R .

Характеристики

Список файлов книги