Учебно-методическое пособие (1019600), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

cos α  , cos β   , cos γ  .333τИспользуя формулу (2) имеем:ul12 1 2 1  1     1  .33 3 3u 1  0 , то скалярное поле u(М) в направлении l возрастает.Посколькуl 3M (1,1,1)Наибольшая скорость изменения поля определяется по формуле (5)gradulM (1,1,1) grad uM (1,1,1) 111  3 .Теорема 1. Градиент скалярного поля u(М) в точке М направлен понормали к поверхности уровня скалярного поля u(М), проходящей через точкуМ.Доказательство. По определению вектор перпендикулярен поверхностив данной точке, если он перпендикулярен касательной плоскости к110поверхности в этой точке. Возьмем касательную l в точке M 0 и проведем вповерхности  кривую L, касающуюся в точке M 0 прямой l.

Кривая L можетбыть задана вектор – функцией r (t )  x(t )  i  y(t )  j  z (t )  k . , тоux(t ), y(t ), z (t )  ux0 , y0 , z 0   cПоскольку L лежит на поверхности(6)Продифференцируем обе части (6) по t:u x u y u z      0,x t y t z tdr или, записывая по другому:  grad u,  0,dt drтак как векторпараллелен l, то grad u перпендикулярен l и, следовательно,dtон ортогонален  . Теорема доказана.Покажем, как с помощью градиента можно найти единичныйвектор n нормали к поверхности, заданной уравнениемF(x, y, z) = c.(7)Так как формула (7) определяет одну из поверхностей уровня скалярногополя u = F(x, y, z), то из теоремы 1 следует, что grad u ортогонален кповерхности (7). Поэтому, чтобы найти единичный вектор нормали, нужноgrad u разделить на его длину:FFFi  jkgrad uxyzn 2(8)22grad u F   F   F      x   y   z Сопоставляя формулу (8) с другим выражением единичного векторанормалиn  cos α  i  cos β  j  cos γ  k ,111имеем формулы для нахождения направляющих косинусов нормали кповерхности (7):cos   Fx F F   y x Fy2cos    F F   y x Fz2cos    F F   y x 2,2222 F    z , F    z 2 F    z (9).2Пример.

Найти единичный вектор нормали к сфере x  y  z  Rв произвольной её точке.Решение. Сфера является одной из поверхностей уровня поля2222u  x2  y2  z 2  R2 .Тогда, используя (8), имеем:n 2x  i  2 y  j  2z  k4x2  4 y 2  4z 2x i  y  j  z  k.RНаправляющие косинусы нормали ( знак «плюс» соответствует внешнейнормали)cos   xyz, cos    , cos    .RRRОсновными свойствами градиента являются:1. Линейностьgrad c1u1  c2u 2   c1 grad u1  c2 grad u 2 ,c1 , c 2 - постоянные, u1 (M ), u 2 ( M ) - скалярные поля.2. Градиент произведенияgrad uv   vgrad u  ugrad v3. Градиент частного u  vgrad u  ugrad vgrad   vv21124. Градиент сложной функцииgrad F (u)  F ' (u)  grad u , где F(u) – сложная функция.Векторное поле.

Дивергенция. РоторТак как всякий вектор определяется длиной и направлением впространстве, то векторное поле представляет собой «одновременно» поледлин и поле направлений. Для поля направлений геометрическойхарактеристикой может служить совокупность векторных линий.Определение 6. Векторной линией данного векторного поля a (M )называется всякая линия в области V пространства, которая в каждой своейточке касается вектора поля a (M )  P(M ), Q(M ), R(M ) , заданного в этойточке.Вывод и решение дифференциальных уравнений, которые определяютвекторную линию, рассматриваются в третьем семестре в курсе«Дифференциальные уравнения».Важными характеристиками векторного поля являются дивергенция иротор.Определение 7. Дивергенцией векторного поляa (M )  P( x, y, z )  i  Q( x, y, z )  j  R( x, y, z )  k ,гдеP, Q, R – непрерывно - дифференцируемые функции, называетсяскалярная величинаdiv a P Q R.x y z(10)Свойства дивергенции1) div c1  a1  c2  a2   c1  div a1  c2  div a2 .2) div a  0 , еслиa - постоянное векторное поле.3) div u  a   (a , grad u)  u  div a , где u - скалярное полеВ частности, если a - постоянное векторное поле, тоdiv u  a   (a , grad u) .Определение 8.

Ротором векторного поляaназывается вектор: R Q  Q P  P R rot a    i    k  j   z x  y z  x y или в форме, удобной для запоминанияirot a jx yP QkzR(11)113Свойства ротора1) rot c1  a1  c2  a2   c1  rot a1  c2  rot a2 .2) rot a  0 , если a - постоянное векторное поле.3)rot u  a   grad u , a   u  rot a , если u - скалярное поле.Пример.

Найти дивергенцию и ротор поля a  2 y  i  x  j  z  k .Решение.div a irot a (2 y ) x z   1,xy zjx y2y xk x  (2 y )   z x  z  (2 y )      i     k   j   z  y z z xy xz 0  0  (1  2)  k  kВведем полезное понятие.Определение 9. Оператором  («набла») или символическим векторомГамильтона, называется выражениеi  jk  ,xyzправила обращения с которым следующие.1) Если u – скалярное поле, то uuuu   i   j   k  u  i  jk  grad uxyzxyz.2) Еслиa  P  i  Q  j  R  k - векторное поле, то(; a ) P Q R div a ;x y z114ijk i  yzQR; a    x yP Q z  j  x z  k  x y  rot a .P RRP QПользуясь оператором , легко доказать, например, первое свойстворотора:irot c1  a1  c 2  a 2  jxc1  P1  c 2  P2yc1  Q1  c 2  Q2kzc1  R1  c 2  R2 (по свойству определите лей) i c1 jx yP1 Q1ki c2 zxR1P2jkyQ2zR2 c1  rot a1  c 2  rot a 2Пользуясь известной формулой из механики для поля скоростейV (M ) движущегося твердого тела в каждый фиксированный момент времениt, можно установить физический смысл ротора.

Имеем:V ( M )  V0  ω , r  ,где V0  a  i  b  j  c  k - мгновенная скорость какой-либо точки тела(например, центра тяжести), ω - мгновенная угловая скорость движения тела,r  x  i  y  j  z  k . Для нахождения ротора векторного поля V (M )выберем систему координат, связанную с телом, так, чтобы ось OZ быланаправлена по вектору ω . Тогда ω  ω  k ,i j kV ( M )  a  i  b  j  c  k  0 0 ω  (a  ωy )  i  (b  ωx)  j  c  kx y zи, следовательно,115irot V ( M ) xa  ωyjk 2ω  k  2ω .yzb  ωx cТаким образом, ротор поля скоростей точек движущегося твердого теларавен удвоенной угловой скорости вращения тела.Поток векторного поля и его вычислениеРассмотрим гидродинамическую задачу о потоке жидкости черезповерхность.

Пусть объем V пронизывается стационарным потоком жидкостис полем скоростей v(M) и внутрь этого потока поставлена некотораяпроницаемая гладкая, двусторонняя поверхность . Требуется определитьколичество жидкости, протекающей через поверхность  за единицу времени.Зафиксируем одну из сторон поверхности , задав направление нормалиn (M ) .

Разобьем  сеткой линий (см. рисунок) на ячейки площадиΔσ i , 1  i  k , выберем в каждой ячейке точкунормали n ( M i ) .M i и проведем векторЕсли ячейки достаточно мелкие, то можно считать, что σ i - плоскаяповерхность, и вектор скорости протекания жидкости vi постоянен в пределахσ i . Тогда за единицу времени t через ячейку σ i пройдет количество жидкости,равное объему наклонного параллелепипеда i  v (M i ), n (M i )   i .Весь поток жидкости через поверхность  будет приближенно равенkΠ i   v ( M i ), n ( M i )   Δσ ii 1Переходя к пределу, когда наибольший диаметр ячейки разбиения max d (σ i )iстремится к нулю, имеем116klim v (M ), n (M )  imax d ( i ) 0 i 1ii  v ( M ), n ( M ) d .iТаким образом, величина  представляет собой поверхностный интеграл поповерхности  от функции F (M )  v (M ), n (M ) .По аналогии с этой задачей вводится определение потока произвольноговекторного поля a (M ) через поверхность .

Пусть  – двусторонняя гладкаяповерхность. Фиксируем выбором нормали одну из двух её сторон. Напомним,что в случае замкнутой поверхности выбирается, как правило, внешняянормаль.Определение 10. Потоком векторного поля a (M ) через поверхность называется поверхностный интеграл от скалярного произведения векторовa (M ) и n (M ) , где М – произвольная точка поверхности Π   a ( M ), n ( M ) dσ .σЕсли поверхность  кусочно-гладкая, то поток векторного поля a (M )определяется как сумма потоков через каждую её гладкую часть.Понятие потока векторного поля a (M ) применяется для решенияразличных задач физики, электротехники, гидродинамики, например, привычислении количества жидкости, протекающей через поверхность  заединицу времени.Свойства потока1) Свойство линейности. c1a1  c2 a2 , n dσ  c1   a1 , n dσ  c2   a2 , n dσ ,σσσесли c1 , c2 - постоянные.2)Свойство аддитивности.

Для кусочно-гладкой поверхности , состоящейиз частей  1 ,  2 , имеемa , n d   a , n d . a , n d  123)При изменении выбранной стороны поверхности поток Π меняет знак,так как переход от данной стороны поверхности к другой состоит в том, что вкаждой точке М вектор n (M ) заменяется на противоположный вектор n (M ) .Вычисление потока векторного поля a (M ) через поверхность  можетбыть осуществлено несколькими методами: проектированием на одну изкоординатных плоскостей, проектированием на три координатные плоскости117и посредством введения специальной системы координат на поверхности .Рассмотрим более подробно метод проектирования на одну из координатныхплоскостей, состоящий в следующем. Если  – кусочно-гладкая поверхность,и она делится на части, взаимно однозначно проектирующиеся на какую-либокоординатную плоскость, то подсчитываются потоки через каждую из частейповерхности и результаты суммируются.Пусть поверхность  задана уравнением F(x, y, z) = 0.

Предположим,что поверхность  взаимно однозначно проектируется на плоскость XOY, ивыбрана сторона поверхности (т.е. определенное направление нормали). ТогдапотокΠ   a , n dσ σa , n Dxy cos γdxdy ,(12)z  z ( x, y )где D xy - проекция поверхности  на плоскость XOY,  -угол, составленныйнормалью с осью OZ.Таким образом, вычисление потока сводится к вычислений двойногоинтеграла по плоской области Dxy . Аналогично подсчитываются потоки черезповерхности, взаимно однозначно проектирующиеся на другие координатныеплоскости:ΠΠa , n D yz cos αdydz ;x x( y, z )a , n Dxz cos βdxdz .y  y ( x, z )Здесь предполагается, что единичный вектор нормали имеет видn  cos α  i  cos β  j  cos γ  k .Пример.

Характеристики

Список файлов книги