Игошин Математическая логика и теория алгоритмов (1019110), страница 60

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 60)

В самом деле, допустим, что некоторая абсолютно полная теория не полна в узком смысле. Значит, найдется такое утверждение А этой теории, недоказуемое в ней, что новая теория, построенная на основе прежних аксиом и утверждения А в качестве новой аксиомы, непротиворечива. Ясно, что А принадлежит новой теории. Кроме того„ввиду абсолютной полноты исходной теории и недоказуемости в ней утверждения А заключаем, что в ней доказуемо 4. Но все аксиомы, из которых выведено 4, вошли в состав системы аксиом новой теории.

Поэтому А принадлежит и новой теории. Получаем противоречие с тем, что новая теория непротиворечива. П Смысл требования (абсолютной) полноты непротиворечивой системы аксиом заключается в том, чтобы она давала возможность без всяких добавочных предпосылок, без какого бы то ни было обращения к наглядным представлениям и опыту исключительно логическим путем доказать всякое предложение, сформулированное в терминах данной теории, либо его опровергнуть. Классическим примером неполной системы аксиом является система аксиом и постулатов «Начал» Евклида. Уже при доказательстве первых теорем Евклид вынужден молчаливо прибегать к наглядности и очевидности.

Так, для обоснования наличия точки пересечения у двух прямых, у двух окружностей, у прямой и окружности требуется аксиома непрерывности, что было осознано математиками лишь в Х)Х в. Понятие равенства фигур Евклид определяет через движение: «И совмещающиеся равны между собой». Но свойства движения, которые Евклид, несомненно, почерпнул из эмпирических представлений о механическом движении твердых тел и которыми он широко пользуется при доказательстве теорем, никак не выражены в его аксиомах. Нет среди евклндовых аксиом и аксиом порядка или расположения (поэтому тот факт, что прямая делит плоскость на две 244 ~асти, очевиден для Евклида), как и аксиом, связанных с измерением длин, плошадей и объемов. (Последнюю задачу блестяще решил великий геометр, механик и инженер древности Архимед, живший непосредственно после Евклида (287 — 212 гг, до н.э.), который в своем сочинении «О сфере и цилиндре» развил теорию измерения плошадей и объемов, получив, в частности, формулы площади поверхности и объема шара, ввел аксиому, носящую и поныне его имя.) Другим примером неполной системы аксиом может служить система аксиом абсолютной геометрии (аксиомы 1 — !Ч групп системы аксиом Гильберта).

В этой системе не может быть ни доказано, ни опровергнуто ни одно предложение, опирающееся на аксиому параллельности Евклида (Ч.!) или аксиому параллельности Лобачевского — (Ч.1) (а также, конечно, и сами эти аксиомы). Вернемся к анализу понятия полноты. Сопоставим его с понятием непротиворечивости. Если непротиворечивость гарантирует, что из данной системы аксиом з, не могут быть выведены два противоречащих друг другу утверждения А и -А, то полнота гарантирует доказуемость одного из них. Так что оба требования вместе дают гарантию разрешимости всякого вопроса теории и притом только в одном смысле. Обсуждая выше проблему независимости системы аксиом, мы доказали, что утверждение А (не входящее в ь) не зависит от системы аксиом ь, если существует модель системы аксиом ь () ( А) (в некоторой непротиворечивой аксиоматической теории).

В то же время, как известно, утверждение А не противоречит системе аксиом ь, т.е. система аксиом Х 0 (А) непротиворечива, если существует модель этой системы аксиом в непротиворечивой аксиоматической теории. Нетрудно понять, что как модель системы аксиом у 0 ( 4), так и модель системы аксиом у 0 (А) являются моделями системы аксиом ь. Причем эти модели конечно же неизоморфны, так как в одной из них выполняется утверждение А, а в другой выполняется его отрицание 4 (т.е. А не выполняется).

Итак, соединим вместе эти два направления настоящего абзаца. (Мы имели два утверждения Р— > )1 и Д -» 11; их конъюнкция равносильна утверждению (Р л Д) — > )1.) Непротиворечащее системе аксиом ь утверждение А не будет зависеть от этой системы аксиом, если существуют две такие неизоморфные модели системы аксиом Х, в одной из которых А выполняется, а в другой — нет. Снова вернемся к анализу понятия полноты системы аксиом и попытаемся связать его с понятием модели данной системы аксиом. Снова, как и в случае с требованием непротиворечивости, мы пытаемся уйти от выражения этого понятия на языке выводимости к выражению его на языке моделей, т.е. пытаемся уйти от синтаксиса к семантике, от формализма к содержанию.

Но здесь эта попытка не окажется столь успешной, как в случае с непротиворечивостью. (Хотя и там ее успех был относителен.) Все это 245 свидетельствует о том, что к этим проблемам предстоит вернуться и именно на языке синтаксиса, на языке формализма, что и будет выполнено в гл. 6, и результаты окажутся поразительными. Нетрудно уяснить тот факт, что чем меньшее количество аксиом содержит система аксиом Х, т.е.

чем меньше требований предъявляет система аксиом к первоначальным понятиям, тем большее количество объектов ей удовлетворяет, т.е. тем большее количество моделей имеет эта система аксиом. И наоборот, чем больше аксиом содержит система г., т.е. чем больше требований предъявляет она к первоначальным понятиям, тем меньше объектов ей удовлетворяют, т.е. тем меньше моделей имеет эта система аксиом. (Чем больше аксиом содержит система, тем богаче содержанием основанная на ней теория, но и тем уже область ее применения, т.е.

тем меньшей общностью отличаются ее теоремы.) Но что же требует от системы аксиом Х условие ее полноты? Относительно каждого утверждения А можно решить, выводимо А из Х или нет, т.е. нет утверждений, сформулированных в терминах данной теории, которые не зависели бы от системы аксиом Е. Но независимость некоторого утверждения от системы аксиом Е, как было установлено ранее, вытекает из наличия у Е двух неизоморфных моделей.

Поэтому, если у системы Е нет не зависящих от нее предложений, т.е. если Х полна, у нее не существует двух неизоморфных моделей. Учитывая, что Е конечно же непротиворечива, т.е. имеет хотя бы одну модель, в итоге заключаем, что все модели системы Е изоморфны, т.е. Х имеет единственную с точностью до изоморфизма модель. Такая система аксиом (и построенная на ее базе аксиоматическая теория) называется категоричной. Таким образом, мы установили, что всякая полная и непротиворечивая аксиоматическая теория категорична.

Руководствуясь этим соображением, в ряде учебников по основаниям геометрии понятие полноты аксиоматической теории отождествлено с ее категоричностью. Тем не менее это не так: не всякая категоричная аксиоматическая теория полна. Таковой является, например, аксиоматическая теория натуральных чисел, построенная на базе системы аксиом Пеано (см. гл. 6, Э 30).

Тем не менее всестороннее решение проблем, связанных с полнотой аксиоматических теорий, удается получить только в рамках формальных аксиоматических теорий, когда будут уточнены понятия выводимости, доказуемости, правил вывода, когда сама аксиоматическая теория станет точно определяемым математическим понятием (до сих пор она рассматривалась лишь в описательном плане), подвергаемым изучению методами математической логики. Это выполнено в 5 30 гл.

6, а здесь ограничимся замечанием, что для многих важных математических теорий задача сочетания обоих рассмотренных качеств — непротиворечивости и полноты — оказывается невыполнимой. Глава Ч1 ФОРМАЛЬНЫЕ АКСИОМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ Вспоминая рассмотренные ранее аксиоматические теории (натуральных чисел, геометрии, множеств) и еще раз анализируя их, мы должны отметить, что при всей их строгости они все же не являются вполне абстрактными, или, как говорят, формальными.

Все они абстрактны в том смысле, что предметами их изучения могут быть объекты абсолютно произвольной природы (числа, точки, прямые, множества и т.д.). И это несомненно значительный шаг на пути формализации математической теории. Но возможен и следующий шаг на пути абстрагирования от привычного нам неформального (или, как говорят, содержательного) понимания компонентов математической теории. Имея дело с формальными (произвольной природы) объектами, мы применяли к ним не формальную, а содержательную логику, рассуждали не формальным, а неким общечеловеческим образом, считая всем известным и понятным смысл слов: «из утверждения А следует угверждение В» или «утверждение А противоречит (несовместимо, исключает) утверждению В», Так вот, следующий шаг на пути формализации математических теорий состоит в формализации мыслительных процессов, процессов построения умозаключений при построении математической теории, т.е.

в слиянии математической теории и математической логики. Этот шаг впервые был сделан в работах Д. Гильберта и его школы, когда был разработан так называемый метод формализма в основаниях математики. В рамках этого направления была достигнута следующая стадия уточнения понятия аксиоматической теории, а именно выработано понятие формальной аксиоматической теории или формальной системы. В результате этого уточнения оказалось возможным представлять сами математические теории как точные математические объекты и строить общую теорию, или метатеорию, таких теорий.

Характеристики

Список файлов книги