Игошин Математическая логика и теория алгоритмов (1019110), страница 55

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 55)

Можно сказать, что математическая наука достигает совершенства лишь тогда, когда ей удается пользоваться аксиоматическим методом, т.е. когда наука принимает характер аксиоматической теории. Более того, развитие наук в ХХ в. показало, что математика вьшеляется в системе наук тем, что в ней чрезвычайно широко используется аксиоматический метод, который в значительной мере и обусловливает поразительную эффективность математики в процессе познания окружающего мира и преобразующего воздействия на него.

В настоящей главе рассматривается аксиоматический или дедуктивный метод построения математических теорий. Это рассмотрение проводится на неформальном (содержательном) уровне. В 5 26 изложены основные сведения об аксиоматическом методе и аксиоматических теориях, приведены примеры таких теорий, возникших в разных областях математики.

В 5 27 дана характеристика свойств аксиоматических теорий — непротиворечивость, категоричность, полнота, независимость системы аксиом. 5 26. Аксиоматический метод в математике и аксиоматические теории Понятие аксиоматнческой теории. Аксиома (от греч. ахюта)— положение, принимаемое без логического доказательства в силу непосредственной убедительности, является истинным исходным положением теории. Такой способ построения научной теории в 226 виде системы аксиом (постулатов) и правил вывода (аксиоматики) позволяет путем дедукции, т.е.

по правилам логики, получать утверждения данной теории. Аксиоматический метод не является достижением только двадцатого столетия. В начале ХХ в. благодаря главным образом работам немецкого математика Д.Гильберта (1862 — 1943) окончательно сформировались принципиальные положения данного метода и было осознано его значение для математики. Первые идеи, связанные с этим методом, восходят к титанам античной мысли Платону и Аристотелю (Гч' в. до н.э.).

Первый практический шаг на этом пути был сделан более двух тысяч лет назад древнегреческим математиком Евклидом (около 300 г. до н.э.). Его труд «Начала» (15 книг) как энциклопедия геометрических знаний служил образцом написания математических работ на протяжении более двадцати веков. Именно благодаря этому авторитетнейшему произведению сформировалось общечеловеческое представление об аксиоме как об утверждении, не требующем доказательства, обоснования, являюшем собой некую абсолютную истину.

Тем не менее внутри математической науки этот взгляд на аксиомы претерпевал самые решительные изменения. Такой процесс шел постепенно, но качественный скачок в нем произошел после того, как в 20 — 30-е гг. Х(Х в. великим русским математиком Н. И.Лобачевским (1792 — 1856) и независимо от него молодым венгром Яношем Боян (1802 — 1860), а также великим немецким ученым К.Ф.

Гауссом (1777 — 1855) бьии внесены изменения в представления о природе пространства, т.е. возникает неевклидова геометрия. Суть открытия состояла в том, что вместо пятого постулата Евклида о параллельных в систему аксиом было включено утверждение, являюшееся его отрицанием, и затем на базе полученной системы аксиом была построена непротиворечивая геометрическая теория, названная Н. И.Лобачевским «воображаемой геометрией». Важным этапом в процессе эволюции взглядов на аксиомы явилось построение во второй половине Х1Х в. нескольких моделей геометрии Лобачевского.

Оказалось, что терминам, входящим в аксиомы, и самим аксиомам можно придавать разный смысл, а не только тот наглядный, который имел в виду Евклид. Такое развитие взглядов на природу аксиом и аксиоматический метод привело к следующей концепции аксиоматической теории. Выбирается ряд первоначальных понягпий, которые не определяются и используются без обьяснения их смысла. Вместе с тем все другие понятия, которые будут использоваться, должны быть строго определены через первоначальные неопределяемые понятия и через понятия, смысл которых был определен ранее.

Высказывание, определяюшее таким способом значение понятия, называется определением, а само понятие, смысл которого определен, носит название определяемого понятия. Евклид сделал попытку строго определить все первоначальные понятия геометрии: точки, прямые, 227 плоскости и т.д.

Но эти понятия также должны определяться через свои понятия, которые, в свою очередь, опираются на следующие понятия, и так до бесконечности. Таким образом, первоначальные понятия аксиоматической теории не определяются. Аналогична ситуация и с утверждениями о первоначальных и об определяемых понятиях. Невозможно доказать все истинные утверждения об этих понятиях, потому что при доказательстве нужно опираться на какие-то предыдущие утверждения, а при их доказательстве, в свою очередь, — на следующие, и так без конца.

Поэтому и здесь необходимо выделить некоторые утверждения и объявить их истинными. Такие утверждения, принимаемые без доказательства, называются аксиомами аксиоматической теории. Совокупность аксиом обозначим буквой ь. Вопрос о том, какие утверждения о первоначальных понятиях выбираются в качестве аксиом, заслуживает специального рассмотрения. Отметим только, что Евклид в качестве пяти своих аксиом (постулатов) выбрал наиболее, на его взгляд, очевидные утверждения о точках и прямых, т.е.

такие утверждения, которые многократно подтверждались практическим опытом человечества. Итак, после того как система аксиом аксиоматической теории выбрана, приступают к развитию самой аксиоматической теории. Для этого, исходя из выбранной системы аксиом и пользуясь правилами логического умозаключения, выводят новые утверждения о первоначальных понятиях, а также об определяемых понятиях. Получаемые утверждения называются теоремами данной аксиоматической теории. Можно более точно сформулировать понятия теоремы аксиоматической теории и ее доказательства. Доказательством утверждения С, сформулированного в терминах данной теории, называется конечная последовательность Вь Въ ..., В, высказываний теории, в которой каждое высказывание есть либо аксиома, либо оно получено из одного или большего числа предыдуших высказываний данной последовательности по логическим правилам вывода, а последнее высказывание В, есть утверждение С.

При этом С называется теоремой или доказуемым утверждением аксиоматической теории. Обозначение: ь- С. Отметим, что каждая аксиома аксиоматической теории является ее теоремой: доказательство аксиомы есть одно- элементная последовательность, состоящая из нее самой. Важным является следующее обобщение понятия теоремы. Пусть à — конечное множество высказываний некоторой аксиоматической теории. Утверждение Створни называется выводимым из Г (обозначается: Г ~- С), если существует конечная последовательность высказываний В„В,, ..., В„называемая выводом С из Г, каждое высказывание которой является либо аксиомой, либо высказыванием из Г, либо получено из одного или большего числа предыдущих высказываний этой последовательности по какому- 228 либо из правил вывода рассматриваемой теории, а последнее высказывание В, есть утверждение С.

Утверждения из множества Г называются гилотезами (или посылками, или допущениями). В частном случае, когда Г = О, вывод С из Г превращается в доказательство утверждения С, а С становится теоремой аксиоматической теории. Итак, под аксиоматической теорией, построенной на основе системы аксиом Е, понимается совокупность всех теорем, доказываемых на основе этой системы аксиом.

Такую совокупность теорем обозначают ТЬ(Х). Изложенный метод построения математической теории носит название аксиоматического или дедуктивного метода. Выбор системы аксиом есть дело условия: одно и то же утверждение теории может быть аксиомой, если оно так выбрано, а может выступать в качестве теоремы, если выбор аксиом осуществлен по-иному. Итак, если в обыденной жизни за термином «аксиома» утвердился его изначальный смысл (в переводе с греческого «аксиома» означает «достойный признания») — именно смысл самоочевидной, безусловной истины, то в математике при построении аксиоматических теорий аксиомы условны.

Они «достойны признания» не сами по себе, не ввиду их самоочевидной истинности, а потому, что на их основе строится та или иная аксиоматическая теория. При новом выборе системы аксиом прежние аксиомы становятся теоремами. Иначе говоря, аксиомы — это то, из чего выводятся теоремы, а теоремы — то, что выводится из аксиом. Как возникают аксиоматические теории. Можно проследить два пути, по которым происходило становление тех или иных аксиоматических теорий, известных в математике. Первый путь можно охарактеризовать тем, что та или иная математическая теория, достигнув достаточно высокого уровня развития, принимает характер аксиоматической теории.

Подобным образом произошла аксиоматизация таких математических теорий, как арифметика (на основе системы аксиом Дж. Пеано), геометрия (на основе систем аксиом Д. Гильберта, Г.Вейля, М.Пиери и др.), теория вероятностей (аксиоматика А.Н.Колмогорова) и т.д. В т о р о й путь возникновения аксиоматических теорий связан с процессом постепенного осознания глубокого внутреннего сходства основных черт, казалось бы, совершенно разных математических теорий, с попыткой выделить общие черты, с тем чтобы, Руководствуясь ими, построить аксиоматическую теорию. (Может быть, именно поэтому Д.

Гильберт считал математику искусством называть разные вещи одним и тем же именем.) На этом пути возникли, по-видимому, все алгебраические (аксиоматические) теории, прежде всего теории групп, колец, полей и других алгебраических систем, общая или универсальная алгебра и т.д. 229 Именно на этом пути появляется прекрасная возможность взаимопроникновения методов одних математических наук в другие, а также возможность свободно интерпретировать первоначальные понятия и аксиомы аксиоматической теории, что раскрывает широкие перспективы для приложений таких теорий и является одним из мощных источников действенной силы математики как науки вообще.

Характеристики

Список файлов книги