Игошин Математическая логика и теория алгоритмов (1019110), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Рассмотрим еще один силлогизм Резгшее «Никакое Р не есть М», «Некоторые Ю суть М» «Некоторые 5 не суть Р». 208 Приведем пример рассуждения, основанного на этой схеме. «Никакая окружность не является квадратом», «Некоторые параллелограммы являются квадратами». Следовательно, «Некоторые параллелограммы не являются окружностями», Запишем данный силлогизм на языке логики предикатов: (~ух)(Р(х) -» — М(х)), (Зх)(Ях) л М(х)) (Зх)(Ю(х) л †,Р(х)). Покажем, что третья формула является логическим следствием первых двух. Из истинности первого высказывания вытекает истинность высказывания Р(а) -+ — М(а) для любого предмета а. Следовательно, на основе равносильностей теоремы 4.4, а, б, истинно высказывание М(а) — » — Р(а) для любого а.
Докажем, далее, истинность следующего высказывания: (Зх)(Я(х) л М(х)) -+ (Зх)(Я(х) л -Р(х)). (1) Допустим, что посылка (Зх)(Ю(х) л М(х)) истинна. Это означает, что существует такой объект а, что высказывание 5(а) л М(а) истинно. Следовательно, истинны оба высказывания Я(а) и М(а). Из истинности высказываний М(а) и М(а) — > -Р(а) вытекает истинность высказывания — Р(а), что вместе с истинностью Я(а) дает истинность конъюнкции Х(а) л -Р(а) для некоторого объекта а. Последнее означает истинность высказывания (3 х)(Х(х) л- Р(х)).
Таким образом, истинность импликации (1) установлена. Итак„показано, что из первой посылки рассматриваемого силлогизма следует формула (1). Символически это можно выразить так: Г м 6-» Н, где Г, 6 — посылки, а Н вЂ” следствие рассматриваемого силлогизма. Тогда, на основании теоремы 6.3, заключаем, что Г, 6 ~ Н, т.е. формула Н является логическим следствием формул Г и 6. Рассматриваемый силлогизм действительно справедлив.
Пример 24.9. Приведем пример неверного силлогизма. «Некоторые В суть С», «Некоторые А суть В», следовательно, «Некоторые А суть С». Действительно, эта схема умозаключения неверна, потому что на основании ее, например, из истинных утверждений «Некоторые выпуклые фигуры — круги» и «Некоторые многоугольники — выпуклые фигуры1 приходим к ложному выводу «Некоторые многоугольники являются кругами». Этому силлогизму соответствует формула логики предикатов: ((Зх)(В(х) л С(х)) л (Зх)(А(х) л В(х))) -+ (Зх)(А(х) л С(х)), не являющаяся общезначимой (примеры соответствующих пре- дикатов только что указаны). 209 Аристотелева силлогистика и логика предикатов.
В предыдущем пункте показано как аристотелевы силлогизмы переводятся на язык логики предикатов: каждому силлогизму сопоставляется формула логики предикатов, при этом правильным силлогизмам соответствуют тавтологии (общезначимые формулы) логики предикатов, а неправильным силлогизмам — формулы, не являющиеся тавтологиями. Тем не менее при более пристальном рассмотрении этих формул выясняется, что так происходит не для всех правильных аристотелевых силлогизмов: тавтологии соответствуют лишь пятнадцати из них. Остальным четырем правильным силлогизмам Вагарг(, Ге!аргоп, Вгагпапг(р и Резаро соответствуют формулы логики предикатов, не являющиеся общезначимыми, т.е. тавтологиями. Пример 34.10.
Рассмотрим формулу, отвечающую силлогизму Рагаргй (('Фх)(М(х) — > Р(х)) л ('Фх)(М(х) -+ Ю(х))) — > (Зх)(5(х) л Р(х)). Покажем, что эта формула не является общезначимой. Для этого нужно указать такие конкретные предикаты А(х), В(х), С(х), заданные над некоторым множеством М, что посылка силлогизма превратится в истинное высказывание ('Фх)(В(х) -+ С(х) л л (чх)(В(х) — > А(х)), а следствие — в ложное (Зх)(А(х) л С(х)). Для этого достаточно, чтобы предикат В(х) был тождественно ложен, а предикаты А(х) и С(х) обладали бы тем свойством, что для любого предмета а е М одно из высказываний А(а) или С(а) было бы ложным.
Последнее возможно, если, например, один из предикатов А(х) или С(х) является отрицанием другого. Укажите самостоятельно примеры таких предикатов, например, на множестве натуральных чисел Ф. Выпишите самостоятельно формулы логики предикатов для оставшихся трех «плохих» силлогизмов и докажите, что они не общезначимы. Выпишите также формулы логики предикатов для пятнадцати «хороших» аристотелевых силлогизмов и докажите их общезначимость.
(См. также Задачник, М» 9.68 — 9.71.) Какой же вывод можно сделать после анализа результатов перевода аристотелевых силлогизмов на язык логики предикатов? Вывод таков, что логика предикатов, как и алгебра высказываний, далеко не является совершенной математической теорией, отражающей (описываюшей) процесс человеческого мышления. И эта теория допускает изъяны, приводит к выводам, не сопоставимым с результатами реальных процессов, которые теория призвана описать. Это же обстоятельство приводит, с одной стороны, к задаче создания аксиоматической теории аристотелевых силлогизмов, в которой каждый верный силлогизм по каким-то 210 правилам выводился бы из аксиом, а с другой — к задаче построения такой логической системы, которая все же вписывала бы всю традиционную силлогистику в общий ансамбль современной формальной логики. Эти вопросы будут рассмотрены в 5 30. Теоретико-множественная интерпретация арнстотелевой силлогистики.
Данная интерпретация, в частности, поможет лучше понять причину того, что не все верные силлогизмы выражаются на языке логики предикатов общезначимой формулой. Обозначим множества истинности предикатов Х(х), М(х), Р(х) через 5, М, Р соответственно. Тогда утверждения об истинности категорических суждений А, Е, 1, О могут быть следующим образом выражены на теоретико-множественном языке (учитывайте запись этих утверждений на языке логики предикатов, мы говорили уже об этом выше): А: Я~ Р(ЮП Р= Я), Е: ХП Р= О, 1: ЮП Рв 0„ О: 5 ф Р (Б",Р в О ). Нетрудно изобразить с помощью диаграмм Эйлера — Венна взаимоотношения между множествами Ю и Р в каждом случае: Я, О Теперь каждый аристотелев силлогизм будет представлять собой угверждение о том, что из каких-то двух соотношений между множествами Я, М, Р непременно следует третье соотношение между множествами Ю и Р. Пример 34.
11. Например, силлогизм ВосаЫо на теоретико-множественном языке запишется так: МоР МфР, МаЯ Мг- Я ЗоР Бф Р. Используя свойства отношения включения а, нетрудно установить справедливость данного силлогизма. В самом деле, допустим, что он несправедлив, т.е.
М )г. Р, М а 5, но Я ~ Р. Тогда из второго и третьего условий, в силу транзитивности отношения <-, заключаем, что М <- Р, а это противоречит первому условию. 211 ПРимер 24. 12. Пример верного силлогизма Ргезиоп. Его запись: РеМ Р ПМ=И, Мгу МП о'~ И БоР 5ф Р. Предположим, что Ю ~ Р. Тогда ХП Р = Х Учитывая это, находим: Ю П (Р П М) = (о' П Р) П М = о' П М ~ Я (неравенство на основании второго условия). Следовательно, Р П М~ И, что противоречит первому условию.
Пример 24.13. Приведем пример неправильного силлогизма: М1Р МПР~И, оеМ ЯП М=И ХОР ЮФР Диаграмма показывает, что для трех множеств Я, М, Р возможна ситуация, когда условия выполнены: М П Р -,«Я, о П М = Я, а заключение — нет: о <- Р. Следовательно, данный силлогизм неверен, т.е. рассуждения по данной схеме неправильны. Наконец обратимся к четырем «плохим» с точки зрения логики предикатов правильным силлогизмам Рагарг1, Ге1арйол, Вгаталйр и Резаро и постараемся понять, почему выражающие их формулы логики предикатов оказались необщезначимыми. Пример 24.14. Силлогизм 0агарв имеет вид: МаР МПР=М, Мао МП Я= М БР о"ПРхИ. Из условий вытекает„что М П (Х П Р) = М, т.е. М ~ о" П Р, Если М~ Я, то о П Р ~ И, и заключение силлогизма выполняется. Если же М = И, то при выполнении условий силлогизма заключение может и не выполниться: ХП Р= И.
(Вспомните здесь, что соответствующая формула логики предикатов превращалась в ложное высказывание, если вместо предикатной переменной М(х) подставить тождественно ложный предикат.) 212 Пример 24.15. Силлогизм Вгатапйр имеет вид: РаМ Р ~ М (Р П М= Р'), Ма5 Ма Я (МП 5= М) ЯПРеИ. Из условий получаем (Р П М) П (МП Я) = Р П М, т.е. 5 П (Р П П М) = Р, откуда Я П Р = Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
