Игошин Математическая логика и теория алгоритмов (1019110), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Эта равносильность показывает, что общеугвердительное суждение А и частноотрицательное суждение О являются взаимными отрицаниями. Частноотрицательное суждение О следующим образом выражается на теоретико-множественном языке: Ю Д Р ~ И, где Ю— множество объектов х, удовлетворяющих предикату (свойству) Х(х), а Р— дополнение множества Р, состоящего из всех объектов х, удовлетворяющих предикату Р(х).
В заключение отметим, что общеотрицательное суждение Е и частноугвердительное суждение 1 допускают обращение. Такой вывод можно сделать, если вспомнить выражения для этих суждений на языке логики предикатов с использованием квантора общности и закона коммутативности конъюнкции: Е: -з(Эх)(Ях) л Р(х)): — -з(Эх)(Р(х) л 5(х)); 1: (Зх)(5(х) л Р(х)) в (Зх)(Р(х) л Ю(х)).
Это означает, что «Никакое Я не есть Р» тогда и только тогда, когда «Никакое Р не есть Ю» и соответственно «Некоторые 5 суть Р» истинно тогда и только тогда, когда истинно суждение «Некоторые Р суть З>. Соответствующая запись с кванторами существования для суждений А и О показывает, что в них буквы 5 и Р переставить нельзя, эти суждения обращения не допускают. 204 И еще одно важное замечание. Необходимо отчетливо осознавать, что значит доказать теорему того или иного типа.
Так, доказательство обшеутвердительных (А) и общеотрицательных (Е) теорем должно состоять в построении строгой цепочки логических умозаключений, начинающейся с условий теоремы и заканчивающейся ее заключением. Например, при доказательстве теоремы «Все дифференцируемые функции непрерывны» нужно исходя из определения дифференцируемой (в точке) функции построить строгую цепочку логических заключений, завершающуюся определением непрерывной (в точке) функции. При доказательстве общеотрицательной теоремы «Никакая осевая симметрия плоскости не является движением первого рода» нужно исходя из определения осевой симметрии построить неопровержимую цепь рассуждений, завершающуюся отрицанием определения движения первого рода. При этом, конечно, нужно знать последнее определение и уметь сформулировать его отрицание (возможно, и на языке логики предикатов).
Напротив, при доказательстве утверждений частноутвердительных (1) и частноотрицательных (0) цепочек логических рассуждений строить не требуется. Здесь нужно находить или строить примеры. Так, для доказательства частноутвердительного суждения «Некоторые параллелограммы могут быть вписаны в окружность» следует указать конкретный пример такого параллелограмма, который можно вписать в окружность (например, прямоугольник). Аналогично, для доказательства частноотрицательного суждения «Некоторые функции не являются периодическими> достаточно привести пример хотя бы одной непериодической функции. Методы рассуждений: аристотелева силлогнстнка.
Наиболее часто употребляемые приемы логических рассуждений были впервые охарактеризованы еще аристотелевой логикой и получили название аристотелевых силлогизмов. Создатели известной методической концепции укрупнения дидактических единиц в обучении математике П. М. Эрдниев и Б. П. Эрдниев так характеризуют роль аристотелевской силлогистики в школьном математическом образовании: «В настоящее время образцом логической строгости в школе выступает аристотелева силлогистика: незыблемым считается порядок, когда из двух посылок (большой и малой) выводится одно заключение»'.
Итак, расклассифицировав описанным в предыдущем пункте образом простые высказывания на типы А, Е, 1, О, Аристотель приступает к анализу умозаключений, которые можно осуществить на их основе. Он выделяет важнейший вил дедуктивных умозаключений — так называемые силлогистические умозаклю.Ар Ю р ' Эрдииев П.М., Эрдниеа Б. П. Укрупнение дидактических единиц в обучении математике. М., 1936. С. 176. 205 Фигура !! Фигура !Н Фигура !Ч РхМ МхР РхМ БуМ МуБ МуБ Фигура ! МхР БуМ БгР БгР Бгр БгР Здесь х, у, г и (а, е, г, о) и запись БгР (как и МхР и БуМ и т.п.) обозначает в зависимости от значения г одно из четырех суждений видов А, Е, У, О, включающих соответствующие предикаты Б и Р. Поскольку каждое из трех суждений фигуры независимо одно от другого может иметь один из четырех видов, то каждая фигура доставляет следующее количество силлогизмов (схем): 4 .
4 . 4 = 64. Поскольку фигур 4, то получаем 4 64 = 256 силлогизмов. (Выпишите самостоятельно все силлогизмы каждой из четырех фигур.) Задача аристотелевой силлогистики, блестяще решенная самим Аристотелем, состоит в том, чтобы обнаружить все те силлогизмы (схемы умозаключений), которые справедливы, т.е. представляют собой логические следования. Таких силлогизмов, как установил Аристотель, имеется ровно 19, остальные — неверны. При этом 4 из !9 правильных силлогизмов оказываются условно правильными. Для облегчения запоминания всех правильных силлогизмов (или модусов, как их называют) в ХП1 в. было составлено особое мнемоническое латинское стихотворение.
При этом название силлогизма само по себе непереводимо, но дано так, чтобы из гласных букв в него входили лишь те три буквы из а, е, г', о, которые указы- 206 собой схему логического вывода (умозаключения), состоящую из трех простых высказываний одного из четырех указанных видов А, Е, 1, О: два первых высказывания — посылки, третье— заключение. Более точно, умозаключения аристотелевой силлогистики имеют следующее строение. В них рассматриваются три свойства (Аристотель называет их терминами): Б, М, Р. Первая посылка (называемая большая) представляет собой простое высказывание, связываюшее М и Р; вторая посылка (называемая малая) связывает Ми Б; следствие связывает Би Р, причем в следствии всегда Б выступает в качестве субъекта, а Р— в качестве предиката. Фактически аристотелевский силлогизм есть установление соотношения между двумя свойствами Б и Р посредством «связуюшего» свойства М.
В зависимости от расположения «связуюшего» свойства М может быть четыре вида силлогизмов (по Аристотелю— четыре фигуры модусов силлогизмов), которые схематически представляются следующим образом (запись в столбец означает, что суждение, записанное под чертой, является следствием суждений, записанных над чертой): вают на характер посылок и следствия данного силлогизма. Выпи- шем все верные модусы с их латинскими названиями: Фигура ! 0аг!! МаР Б1М Вагьага Се!агеп! МеР Бом Ее по МеР Б!М МаР БаР Б1Р БеР БоР Фигура Н Вагосо Саги«иге» С«гаге Ееаппо РаМ РаМ РеМ РеМ БоМ БеМ БаМ Б1М Бор БеР БеР Бор Фигура !и Рагарг! МаР МаБ !За!!а! МаР !у!»аппа Ее!ар!оп МеР МоБ Еспаоп МеР МгБ Восагг!о Мор М1Р МаБ Б1Р Б!Р БоР БоР БоР Фигура !У Сагпепеа РоМ МеБ Вгагпапг! р РаМ Р1пгаг!а Ргм МаБ Ег«5!аоп Ееааро РеМ РеМ М1Б Б1Р Б1Р БеР БоР БоР «Все Мсуть Р», «Все Б суть М» «Все Б суть Р».
207 В предыдущем пункте было показано, как на языке логики предикатов каждое из категорических суждений А, Е, 1, О может быть представлено формулой логики предикатов (см. записи (1), (2), (3), (4)). Тогда каждый из 19 правильных аристотелевых силлогизмов также может быть представлен некоторой формулой логики предикатов. Рассмотрим примеры некоторых силлогизмов и дадим их обоснование методами логики предикатов.
Пример 34.б. Самый распространенный и простой силлогизм ВагЬага: Здесь как обе посылки, так и заключение являются общеугвердительными суждениями. Вот пример такого рассуждения. «Все квадраты суть ромбы», «Все ромбы суть параллелограммы». Следовательно, «Все квадраты суть параллелограммы». Обоснуем справедливость такого рассуждения, для чего представим данный силлогизм на языке логики предикатов: ('Фх)(М(х) -э Р(х)), ('Фх)(5(х) -э М(х)) («х)(5(х) -+ Р(х)). Нужно проверить, что третья (нижняя) формула является логическим следствием первых двух, т.е. нужно показать, что она превращается в истинное высказывание при всякой такой подстановке вместо ее предикатных переменных Х(х) и Р(х) таких конкретных предикатов, при которой обе первые формулы превращаются в истинные высказывания.
В самом деле, на основании равносильности (получаемой из тавтологии) теоремы 21.11, а, для конъюнкции посылок имеем (Чх)(5(х) -э М(х)) л ('Фх)(М(х) -э Р(х)) сч =- ('Фх)((5(х) -+ М(х)) л (М(х) -э Р(х))]. Истинность обеих посылок означает истинность их конъюнкции и, следовательно, ввиду приведенной равносильности — тождественную истинность предиката (Я(х) — > М(х)) л (М(х) — » Р(х)), т.е. истинность высказывания (Я(а) — э М(а)) л (М(а) -+ Р(а)) для любого а. Но тогда, на основании закона силлогизма (тавтология теоремы 3.1, е), для любого а будет истинно высказывание 5(а) — » Р(а), т.
е. будет тождественно истинным предикат Я(х) -э — » Р(х). Последнее означает, что будет истинно высказывание (Чх)(5(х) — » Р(х)), являющееся заключением рассматриваемого силлогизма. ПРымер 24. 7. Совершенно аналогично обосновывается (предлагается проделать самостоятельно) справедливость силлогизма Сс!агелп «Все М суть не Р», «Все Юсуть М» «Все 5 суть не Р». Пример 24.8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
