Игошин Математическая логика и теория алгоритмов (1019110), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Таким образом, по Аристотелю, все простые высказывания делятся на следующие шесть типов: единичноутвердительные, единичноотрицательные, общеутвердительные„общеотрицательные, частноутвердительные, частноотрицательные. Первые два типа высказываний есть высказывания о конкретных предметах, последние четыре — о классах предметов. По традиции, также восходящей к Аристотелю, типы простых высказываний, относящихся к классам предметов, обозначаются гласными буквами латинского алфавита: А — общеутвердительные, Š— общеотрицательные, 1 — частноугвердительные, Π— частноотрицательные. (Эти буквы соответствуют латинским словам: аКйто — «утверждаю», лево — «отрицаю».) Далее класс предметов обозначается буквой Я„свойство — буквой Р.
При этом Ю называется субъектом, а Р— предикатом. Таким образом, указанные выше четыре типа простых высказываний, относящихся к классам предметов, имеют следующую общелогическую форму: 200 А (обшеутвердительное суждение): «Все предметы класса 5обладают свойством Р», («Все 5 суть Р».) Символически: 5аР; Е (общеотрицательное суждение): «Ни один предмет класса 5 не обладает свойством Р», («Ни один 5 не есть Р»,) Символически: 5еР; 1 (частноутвердительное суждение): «Некоторые предметы класса 5 обладают свойством Р». («Некоторые 5 суть Р».) Символически: ЯР; О (частноотрицательное суждение): «Некоторые предметы класса 5 не обладают свойством Р» («Некоторые 5 не суть Р»,) Символически: 5оР, Исходя из описанного подхода к простым высказываниям анализ их строения состоит в выявлении их субъектно-предикатной структуры, т.
е. в выявлении в высказывании субъекта и предиката и фиксировании способа связи между ними (по типу А, Е,1, 0). Рассмотрим более подробно эти виды суждений. О б щ е у т в е р д и т е л ь н о е с у ж д е н и е: «Все 5 суть Р». Примерами математических теорем, имеющих такое строение, являются следующие: «Все прямоугольники — параллелограммы», «Все гомотетии суть преобразования подобия», «Все дифференцируемые функции непрерывны», «Все поля суть кольца», «Все сферы — тела вращения». Можно указать немало суждений нематематического характера, имеющих такое строение: «Все люди смертны», «Все змеи — пресмыкающиеся», «Все планеты — спутники Солнца». Суждение «Все 5 суть Р» в терминах логики предикатов понимается так: каков бы ни был объект х, если он обладает свойством 5 (т.е.
5(х) истинно), то он обладает также свойством Р (т.е. Р(х) истинно). Это утверждение на языке логики предикатов выглядит следующим образом: (»х)(5(х) -+ Р(х)). (Напомним, что утверждения такого типа рассматривались в з 20, в материале об ограниченных кванторах: утверждение представляло собой развернутую запись ограниченного квантора общности.) Логика предикатов дает возможность представить суждение А в несколько ином виде с использованием квантора существования. Для этого преобразуем формулу (1) равносильным образом, используя равносильности (получаюшиеся на основе тавтологий) теоремы 21.9, б и теоремы 4.4 а, с, у: (~х)(5(х) -+ Р(х)) ц ('Фх)(- (-5(х) м Р(х))) в —,(Зх)(-( 5(х) ч ~ Р(х))) я (Эх)(- 5(х) л — Р(х)) в -(Зх)(5(х) л -Р(х)). 201 В этом виде суждение А можно сформулировать так: «Неверно, что некоторые 5 не суть Р».
Отметим, что, как правило, не говорят: «Все 5 суть Р», если известно, что объектов, удовлетворяющих свойству 5, не существует. Обычно под этим суждением мы понимаем следующее: «Существует объект, удовлетворяющий 5, и все 5 суть Р», или в переводе на язык логики предикатов оно выглядит так: (Вх)(5(х)) л (чх)(5(х) -+ Р(х)). При этом возможно и иное понимание исходного суждения, а именно: «Если существует объект, удовлетворяющий свойству 5, то все 5 суть Р, переводимое на язык логики предикатов следующим образом: (Эх)(5(х) -«(Чх)(5(х) -э Р(х)).
(1") (Проверьте самостоятельно, что формула (!") равносильна формуле (1), и поэтому данное толкование общеутвердительного суждения совпадает с первоначальным его пониманием.) Всем этим вариантам предпочтем (1) по той главной причине, что данный перевод, во-первых, проще, чем (1') и (1"), а вовторых, при теоретико-множественном толковании суждения «Все 5суть Р» он позволяет заключить, что множество 5 всех обьектов х, удовлетворяющих свойству 5(х), является подмножеством множества Р объектов, удовлетворяющих свойству Р(х), т.е. 5 ~ Р. Отметим также, что в повседневной речи слово «все» в обще- утвердительных суждениях порой опускают, так что, например, эквивалентом фразы «Все люди смертны» является вариант «Люди смертны».
Общеотрицательное суждение:«Никакое5неестьР». Вот примеры математических теорем, имеющих такое строение: «Никакой эллипс не есть алгебраическая линия первого порядка», «Никакая осевая симметрия на плоскости не есть движение первого рода», «Никакой треугольник не является окружностью», «Никакой числовой ряд, у которого предел общего члена не равен нулю, не сходится». Вот примеры нематематических суждений такого типа: «Никакие змеи не есть птицы», «Никакие камни не разговаривают». Смысл общеотрицательного суждения: каков бы ни был объект х, если он обладает свойством 5 (т.е. 5(х) истинно), он не обладает свойством Р (т.е.
Р(х) ложно). На языке логики предикатов это выражается так: Е: (чх)(5(х) -+ — Р(х)). (2) Другими словами, общеотрицательное утверждение читается: «Все 5 суть не Р», Можно записать выражение (2) и в виде ограниченного квантора общности: ('Ф5(х))(- Р(х)). 202 Логика предикатов дает возможность представить суждение Е в несколько ином виде, с использованием квантора существования. Для этого формулу Е необходимо преобразовать равносильным образом, используя те же равносильности, что и в случае преобразования общеутвердительного суждения: (»х)(5(х) — э — Р(х)) =- (Ъх)( - (-Я(х) ч —,Р(х))) сч и -(Эх)(-(-Ю(х)» -Р(х))) =- -(Бх)(Х(х) л Р(х)).
В этом виде суждение Е формулируется так: «Неверно, что некоторые 5 суть Р». Отметим, что при теоретико-множественном толковании обшеотрицательного суждения «Все Я суть не Р» запись (2) позволяет заключить, что множество Ю всех объектов х, удовлетворяющих свойству Ю(х), включается в множество Р всех объектов, не удовлетворяющих свойству Р(х), являющееся дополнением множества Р, т.е.
Я~ Р. Частноутвердительное суждение: «НекоторыеЯсугь Р». Примерами математических утверждений с такими строениями служат следующие: «Некоторые гомотетии суть движения», «Некоторые функции — периодические», «Некоторые параллелограммы могут быть вписаны в окружность», «Некоторые простые числа четны». Приведем примеры нематематических суждений, имеющих такое строение: «Некоторые люди взошли на Эверест», «Некоторые змеи ядовиты» и т.д. Частноутвердительному суждению придается следующий смысл: существует такой объект х, обладающий свойством 5(х), который также обладает и свойством Р(х). Тогда ему соответствует следующая формула логики предикатов: 1: (Эх)(5(х) л Р(х)).
(3) (Напомним, что зто утверждение представляет собой развернутую запись ограниченного квантора существования, см. 5 20.) Снова, используя технику логики предикатов, можем представить данное суждение в несколько ином виде с использованием квантора общности: (Бх)(5(х) л Р(х)) ж (Эх)(-(- Я(х) ~ Р(х))) га = (Эх)( (Я(х) — э Р(х))) =- (Чх)((Я(х) -+ Р(х)). Сравнив теперь общеотрицательное суждение Е и частноутвердительное суждение !, видим, что каждое из них является отрицанием другого. Частноутвердительное суждение можно выразить на теоретико- множественном языке следующим образом: Я П Р ~ И, где Я и Р— множества таких объектов х, которые удовлетворяют предикатам о(х) и Р(х) соответственно.
203 Отметим, что в повседневной речи слово «некоторые» в частноутвердительных суждениях порой опускают, так что, например, фраза «Люди взошли на Эверест» обозначает «Некоторые люди взошли на Эверест». Частноотрицательное суждение: «Некоторые 5 не суть Р». Укажем примеры математических утверждений такого вила: «Некоторые треугольники — неравнобедренные», «Некоторые функции — непериодические», «Некоторые преобразования подобия не являются движениями», «Некоторые ромбы нельзя вписать в окружность», «Некоторые группы не абелевы».
Вот примеры нематематических суждений, имеющих частноотрицательный характер; «Некоторые грибы не съедобны», «Некоторые реки не впадают в моря» и т.д. Частноотрицательное суждение «Некоторые 5 не суть Р» понимается так: существует такой объект х, который обладает свойством Ю (Я(х) истинно) и не обладает свойством Р (Р(х) ложно, т.е.
истинно — Р(х)). На языке логики предикатов это записывается следующим образом: (Бх)(5(х) л — Р(х)). (4) Выражение (4) можно записать в виде ограниченного квантора существования (ЭЯ(х))(- Р(х)). Преобразовав его равносильным образом (проделайте самостоятельно), получаем (Эх)(5(х) л — Р(х)) в -(Чх)(Я(х) — » Р(х)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
