Игошин Математическая логика и теория алгоритмов (1019110), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Примеры аксиоматических теорий. Приведем примеры аксиоматических теорий, возникших различными путями. Пример 36.1. Теория групп — одна из теорий, возникших на втором пути. Было известно немало объектов, обладающих многими общими чертами. Среди них, в частности: множество Р;,(М) всех взаимно-однозначных отображений множества М на себя, рассматриваемое вместе с операцией суперпозиции отображений; множество г. всех целых чисел, рассматриваемое вместе с операцией сложения целых чисел; множество Р; всех векторов плоскости, рассматриваемое вместе с операцией сложения векторов по правилу треугольника или параллелограмма. Обозначив каждое из этих множеств через 6, а каждую из операций через * (и называя ее композицией элементов из 6), обнаруживаем, что все три указанных объекта обладают следующими свойствами: (6а): Для любых а и Ь из 6 композиция а ч Ь есть однозначно определенный элемент из 6; (6,): Для любых а, Ь и с из 6 (а * Ь) * с = а * (Ь * с); (6з): В 6имеется такой элементе, чтодля любого а из ба я е = =е" а=а; (6,): Для любого а из 6 имеется такой а' из 6, что а я а'= а'* а = е.
Например, элемент е, существование которого утверждается в свойстве 6„ в случае Г, ,(М) есть тождественное отображение М на М, в случае г, — целое число О, в случае Р~ — нуль-вектор О. В свойстве бз элемент а' есть обратное преобразование1' ' (противоположное число -т, противоположный вектор ВА ) для преобразования1(целого числа т и вектора АВ соответственно). Утверждения 6о — 6з и составляют систему аксиом теории групп.
Из этих аксиом можно выводить разнообразные теоремы и тем самым строить аксиоматическую теорию групп. Докажем несколько теорем этой теории. (64): В группе имеется точно один единичный элемент. До ка з а тел ьс та о. Ввиду 6з нужно доказать лишь единственность. Допустим, что в 6 имеются два единичных элемента: е, и ен т.е. на основании 6з для любого а справедливы равенства е, * а = а и а ч ез = а. Тогда, в частности, е~ я ез = ез и е| " ез = еь Следовательно, в силу 6о и свойств равенства е, = е,. П (6з): Для каждого элемента группы имеется точно один обратный.
230 Доказательство. Ввиду С,остаетсядоказатьлишьегоединственность. Допустим, что в С для элемента а имеются два обратных а' и а", т.е. таких элементов, что а" * а = е и а «а' = е. Тогда в силу 6, (а" * а) * а' = а", а следовательно, е «а' = а" * е.
Отсюда следует, согласно 6н что а' = а". (3 В мультипликативной терминологии обратный элемент для а обозначается через а ', так что а ' * а = а «а-' = е, где е — единственный единичный элемент из 6. (6»): Для любых элементов а, Ь, сгруппы Сиз а» Ь= а» с следует Ь=с, иизЬ*а=с» аследует Ь=с. Доказательство. Пусть а* Ь= а* с. Тогда а ' *(а * Ь) =(а-' * «а) «Ь = е «Ь = Ь. С другой стороны, а ' » (а «Ь) = а ' » (а «с) = = (а ' * а)» с= е* с= с. Следовательно, Ь = с. Второе утверждение доказывается аналогично. Следующие две теоремы докажите самостоятельно. (67): Для любых элементов а и Ь из 6 каждое из уравнений а «х = = Ь и у «а = Ь имеет в С единственное решение. (Сз): Дея любых элементов а и Ь из 6 (а * Ь) ' = Ь-' * а-'.
Пример 2б.2. Как отмечалось в предыдущем пункте, примером аксиоматической теории, возникшей на первом пути, является геометрия. Здесь рассматривается ее маленький фрагмент — теория конгрузнтности (равенства) отрезков. Условимся, что первичными терминами являются Ю вЂ” множество всех отрезков и = — отношение, называемое отношением конгрузнтности, так что выражение х = у читается так: отрезок х конгруэнтен отрезку у. Выберем в качестве аксиом следующие утверждения: (К,): Для всякого х из о справедливо х = х (другими словами, каждый отрезок конгруэнтен самому себе).
(Кз): Для любых элементов х, у, г из Ю, если х и г и у =- г, то х и ге у (другими словами, два отрезка, порознь конгруэнтные третьему, конгруэнтны между собой). Докажем некоторые теоремы. (Кз): Для любых элементов у и г из Я, если у и г, то г и у. Доказател ьств о. По аксиоме Кг, подставив г вместо х, получим, что если г я г и у гг г, то г = у. Поскольку член конъюнкции г и г истинен на основании аксиомы К„то из конъюнкции его можно убрать.
Получим, что если у = г, то г и у. (3 (К4): Для любых элементов х„у, г из Я, если х га у и у ге г, то х=- г. Докажите самостоятельно. (См. также Задачник, Ж 1б.3 — 1б.б.) Пример 2б.З. Аксиоматическая теория натуральных чисел построена итальянским математиком Дж. Пеано (1858 — 1932) на рубеже Х1Х вЂ” ХХ вв. Ее первоначальными понятияии являютсгк непустое множество Ф, бинарное отношение «'» (называемое отношением следования) и выделенный элемент!. Аксиомы выбираются следующие: 231 (Р,): (чх)(х' ~ 1); (Р,); (Ъ' х, у)(х = у-+ х' = у'); (Р); (Ъ'х, у)(х'=у'-+ х=у); (Р4); (Аксиома индукции) (1 е Мл ( гх)(х а М вЂ” э х' е М)) -+ М= Ф.
Правилами вывода служат обычные логические правила МР и правило подстановки. Приведем доказательства двух теорем, непосредственно вытекаюших из этих аксиом. (Рз) («х)(х'~ х). Доказательство. Рассмотрим множество: М=(хе 1!Г: х'~х). Покажем, используя аксиому индукции (Р,), что М= Ф. 1 е М, так как !';с ! по аксиоме Рь Пусть хе М, т.е. х'~ х. Тогда, по аксиоме Рз (х')' ~х'. Следовательно, по определению х' е М.
Условия аксиомы Р, выполнены. Тогда, по аксиоме Р, М= )У. Это и означает, что (чх)(х' ~ х). П (Р6): (Ъх)(х = 1 ч (Зу)(х = у )). Доказательство. Рассмотрим множество: М=(1) 0 [хе Ф: (Зу) (х = у')) и покажем, используя аксиому индукции Р«, что М= М 1 е М по определению множества. Пустьхе Ми хи 1. Тогда хе (хе й!; (Зу)(х=у )), т.е. х=у'для некоторого уе Ф. Отсюда, ввиду аксиомы Р,, х'= (у')', т.е. х' следует за элементом у'.
Тогда, по определению М элемент х' е М. Условия аксиомы Р, выполнены. Тогда, по аксиоме Р, М= )У. П Аксиоматической теории натуральных чисел, построенной на основе приведенной системы аксиом„много времени уделяется в курсе «Числовые системы», изучаемом после курса математической логики. Пример 2б.4 (построение евклидовой геометрии на основе системы аксиом Гильберта). Эта система аксиом представлена Гиль- бертом в его книге «Основания геометрии», вышедшей в !899 г. и ставшей с того момента вечным фундаментом этой науки.
Гиль- берт так начинает свое сочинение: «Геометрия, так же как и арифметика, требует для своего построения только немногих простых основных положений. Эти основные положения называются «аксиомами геометрии», Установление аксиом геометрии и исследование их взаимоотношений — это задача, которая со времен Евклида являлась темой многочисленных прекрасных произведений математической литературы. Задача эта сводится к логическому анализу нашего пространственного представления.» [3.5, с.
55]. В системе Гильберта первоначальными (неопределяемыми) понятиями являкпся понятия трех объектов — «точки», «прямые» и «плоскости» и трех сортов отношений между ними, выражаемых словами «принадлежнг» (точка принадлежит прямой или плоскости), «между (точка лежит между двумя другими точками) и «конгруэнтен» (кон- 232 груэнтны лва отрезка или два угла). При этом точки обозначаются А, В, С, ..., прямые — а, Ь, с, ..., плоскости — а, )3, у, ...
Эти объекты и эти отношения между ними удовлетворяют двадцати аксиомам, разделенным на пять групп: 1. Аксиомы принадлежности (или инцидентности); П. Аксиомы порядка;!П. Аксиомы конгруэнтности; Гч*. Аксиомы непрерывности; Ч. Аксиома параллельности Евклида.
Пратер 26.5 (построение евклидовой геометрии на основе системы аксиом Вейля). Эта система предложена немецким математиком Германом Вейлем в !916 г., и путь построения геометрии, основанный, на этой системе аксиом, возможно, является самым коротким и динамичным путем аксиоматизации геометрии. К тому же на этом пути в элементарную геометрию входит одно из фундаментальнейших понятий современной математики — понятие векторного пространства, чрезвычайно важное и для многочисленных ее приложений (к физике, химии, экономике и т.д.).
Идея Вейля состоит в том, чтобы принять в качестве первоначальных, неопределяемых понятий понятия «точка», «вектор» (в частности, понятия «прямая» и «плоскость» определяются),«сумма векторов»,«произведение вектора на число», «скалярное произведение векторов», «откладывание вектора от точки», а в качестве аксиом — свойства этих операций над векторами и некоторые свойства, связывающие точки и векторы.
С логической точки зрения вейлевский путь аксиоматизации эквивалентен гильбертовскому: он позволяет доказать все те же самые теоремы. Но с методологической точки зрения вейлевский путь имеет рял преимуществ. Вместо скрупулезных и утомительных рассуждений по гильбертовской схеме путь Вейля дает ясное и краткое изложение, насыщенное современными идеями и мощными методами решения геометрических задач. Система аксиом Вейля включает 16 аксиом, которые отчетливо делятся на две части: аксиомы векторного (евклидова) пространства и аксиомы точечного пространства в его связи с векторным пространством.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
