Игошин Математическая логика и теория алгоритмов (1019110), страница 57

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 57)

Здесь важно отметить, что понятие векторного пространства размерности и без преувеличения играет фундаментальную роль во всех областях современной математики и сопредельных с ней наук. Оно изучалось также в курсе алгебры и в курсе математического анализа. Исключительно важна его роль и в геометрии. Геометрия изучает точки и фигуры — множества точек (но не векторы, с которыми имеет дело векторное пространство).

Понятие точки — следующее неопределяемое понятие. Точки и векторы — объекты разной природы, но они очень тесно связаны между собой. Эта связь выражена во второй части аксиом— аксиомах Веаля точечного пространства. Имеется отображение, сопоставляющее любым двум точкам А и В (в указанном порядке) вектор из векторного пространства )г обозначаемый АВ. Это отображение должно удовлетворять следующим аксиомам: 233 (Р;) (оА)(Ъ'аНЛВ)(АВ = а); (к2); (чА, М, Ф)(АМ = АФ -э М= Ф); (у;): (ьА, В, С)(АВ + ВС = АС).

Первая из этих аксиом называется аксиомой откладывания векторов: от каждой точки любой вектор можно отложить. Вторая аксиома утверждает, что это отложение осуществляется единственным образом: заданные начальная точка и вектор однозначно определяют концевую точку. Наконец, третья аксиома называется аксиомой треугольника. Итак, пространство векторов (векторное пространство) и пространство точек (точечное пространство) — разные обьекты, но очень тесно связанные между собой.

Говорят, что точечное пространство рассматривается (или задано) над векторным пространством и что векторное пространство является пространством переносов соответствующего точечного пространства. Если векторное пространство г'„не является евклидовым (т. е. в нем не задано скалярное произведение), то соответствующее точечное пространство обозначается А„и называется аффинным. Если векторное пространство Р„является евклидовым (в нем задано скалярное произведение векторов), то соответствующее точечное пространство обозначается Е„и называется евклидовым точечным пространством.

Таким образом, система аксиом векторного пространства вместе с аксиомами ()~~), ()~2), ($5з) и есть система аксиом евклидовой геометрии по Герману Вейлю. Все дальнейшие понятия (как то: прямая, плоскость и т.д.) вводятся при помощи определений на основе уже введенных первоначальных понятий, т.е. являются определяемыми, вторичными. Все теоремы о первоначальных и вторичных понятиях доказываются на основе сформулированных аксиом (с использованием, конечно, уже доказанных теорем).

При этом фундаментальным с точки зрения логики является тот факт, что всякая аксиома системы аксиом Гильберта оказывается теоремой при вейлевском подходе к обоснованию геометрии. Отсюда следует, что всякая теорема евклидовой геометрии, выводимая из системы аксиом Гиль- берта, может быть выведена и из системы аксиом Вейля (к выводу теоремы из системы аксиом Гильберта нужно добавить вначале выводы необходимых аксиом Гильберта из системы аксиом Вейля). Верно и обратное утверждение. Тот факт, что из системы аксиом Гильберта выводится каждое утверждение о векторах, которое Вейлем принято за аксиому, фактически и доказывается в разных курсах элементарной математики, в которых понятие вектора сделано вторичным.

Отсюда и следует, что всякая теорема евклидовой геометрии, выводимая из системы аксиом Вейля, может быть выведена и из системы аксиом Гильберта. Таким образом, системы аксиом Гильберта и Вейля оказываются эквивалентными: на основе каждой из них могут быть доказаны одни и те же теоремы евклидовой геометрии. 234 Пример 26.6 Геометрия Лобачевского может быть построена, например, на базе системы аксиом Гильберта евклидовой геометрии, о которой говорилось в примере 26.4, если в этой системе аксиому параллельности Евклида заменить аксиомой параллельности Лобачевского, представляющей собой отрицание аксиомы параллельности Евклида. Пример 26.7(аксиоматическое построение канторовской («наивной») теории множеств на основе нескольких систем аксиом).

Читатель, знакомый с основами современной алгебры, узнает в приводимых системах аксиом аксиоматики так называемой «булевой алгебры», так как совокупность всех подмножеств данного множества образует алгебраическую систему, называемую булевой алгеброй. Всего рассмотрим три системы аксиом. Первоначальными понятиями теории Т, являются бинарные операции П, 0 (называемые соответственно пересечением и объединением), унарная операция ' (называемая дополнением) и нульарные операции 0 и 1, фиксирующие два разных элемента — нулевой и единичный.

Система аксиом Е, этой теории симметрична относительно операций й, О, О, ! (или, как говорят, самодвойственна): (А1): х П у = у П х; (А5): хП 1 =х; (А2): х 0 у = у 0 х; (Аб): х00=х; (АЗ): х й (у 0 з) = (х й у) 0 (х П з); (А7): х й х' = 0; (А4): х0 (уйз) = (х0у) й(х0з); (А8): х0х'= 1. Первоначальными понятиями второй теории Т~ являются бинарная операция й и унарная операция ' . Система аксиом Хз этой теории, наоборот, асимметрична, «смещена» в сторону операции й: (В1): хйу=уйх; (ВЗ): х й у' = з й г' =» х П у = х; (В2): (х П у) й з = х П (у й г); (В4): х П у= х ~ х П у' = г П г'.

Наконец, в третьей теории Тм в которой первоначальными понятиями являются бинарное отношение с, бинарные операции П и О, унарная операция ' и нульарные операции 0 и 1, система аксиом Х, следующая: (С1): хсх; (Сб): хс1; (С 2): х с у л у с г =» х с г; (С7): 0 сх; (СЗ): х0усг~хсглусг; (С8): 1сх0х'„' (С4): гсхйу=»гсх».гсу; (С9): хйх'сО.

(С5): х й (у 0 г) с (х й у) 0 (х й г); Можно доказать равносильность всех этих трех систем аксиом. Интерпретации и модели аксиоматической теории. Формулируя аксиомы в примерах предыдущего пункта, мы не обращали никакого внимания на природу элементов тех множеств, которые там встречаются, а также на природу других первоначальных понятий этих аксиоматических теорий. 235 Ощ>еделепие 2б.8. Приписывание значений (смысла) первоначальным понятиям аксиоматической теории называется интерпретацией теории.

Если некоторая совокупность предметов и отношений между ними, выбранных в качестве значений первоначальных понятий аксиоматической теории, т.е. в качестве ее интерпретации, удовлетворяет всем аксиомам теории, то она называется моделью данной аксиоматической теории (или моделью системы аксиом теории).

Другими словами, интерпретация теории — просто функция Т, областью определения которой является множество Т первоначальных понятий этой теории. Если же образ Я Т] удовлетворяет всем аксиомам теории, то это есть модель данной теории. Так, в примере 26.1 каждое из множеств Р1,(М), У и рь рассматриваемое вместе с соответствующей операцией, является моделью аксиоматической теории групп или, проще, группой. Существуют многочисленные другие модели данной теории. Вот в этой-то свободе интерпретаций аксиоматических теорий заключена одна из причин их обширных приложений в других науках и в практике. Но искусство интерпретации поистине одно из высочайших искусств математика-прикладника.

Например, теория групп была с успехом применена в 1890 г. русским кристаллографом Е.С.Федоровым (1853 — 1919) для классификации и описания всевозможных форм кристаллов, существующих в природе, а в самое последнее время эта теория плодотворно работает в теории элементарных частиц. Дадим аксиоматической теории, основанной на аксиомах К, и К (пример 26.2), еще одну интерпретацию.

В качестве первоначальных понятий возьмем множество Я всех действительных чисел и отношение и, определяемое так: х в у тогда и только тогда, когда разность х- у есть целое число. Нетрудно убедиться в том, что при такой интерпретации аксиомы К, и Кз превращаются в истинные утверждения (в теоремы теории действительных чисел). Следовательно, получаем модель аксиоматической теории 7Ъ(Кь К,).

Наконец, укажем две модели теории ТЬ(Р, — Р,) натуральных чисел. Если интерпретировать %как множество (1, 2, 3, ...) натуральных чисел, а отношение ' интерпретировать как функцию следования (т.е. х' = х+ 1), то аксиомы Р, — Р, будут выражать общеизвестные свойства натуральных чисел, т.е.

получим модель рассматриваемой аксиоматической теории. Ранее уже отмечалась возможность взаимопроникновения методов одних математических наук в другие в процессе создания аксиоматической теории. Проиллюстрируем это на и р и м е р а х. Так, доказав в аксиоматической теории групп теорему бм можно интерпретировать ее для конкретных моделей данной теории. В частности, на модели Рьа(М) она превращается в утверждение (8 'Х) ' =У ' ь 8 ', а на модели Рз — в УтвеРждение -(а + Б) = = (-а ) + (-Ь).

Таким образом, природа этих, казалось бы, разнородных свойств одна — теоретико-групповая. Аналогично, без како- 236 го бы то ни было специального рассуждения мы уверены в том, что теоремы Кз и К4 станут истинными утверждениями о действительных числах при интерпретации, рассмотренной в настоящем пункте. Но не только аксиоматическая теория привносит что-то в свои модели. Имеется и обратная связь: порой модели аксиоматической теории могут сослужить ей определенную службу при решении некоторых внутренних проблем теории. Пусть, например, требуется выяснить, является или нет теоремой теории ТЬ(Кн Кз) следующее высказывание: А: Существуют два элемента х и у множества Я, для которых неверно, что х га у (другими словами, существуют два неконгруэнтных отрезка)», То обстоятельство, что не удается получить вывод данного утверждения из аксиом К„Кн приводит к догадке (гипотезе), что это сделать невозможно.

Характеристики

Список файлов книги