Игошин Математическая логика и теория алгоритмов (1019110), страница 58

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 58)

Для ее подтверждения рассуждаем следующим образом. Если бы утверждение А было выводимо из аксиом К„К,, т.е. принадлежало бы аксиоматической теории 7Ъ(Кь Кз), то ему удовлетворяла бы каждая модель этой теории. Поэтому, если удастся построить такую модель системы аксиом (Кь Кз), в которой не выполняется утверждение А, то догадка (гипотеза) будет подтверждена, т.е. А невозможно вывести из К, и Кь В самом деле, рассмотрим, например, множество всех целых чисел и введенное выше отношение и между его элементами: хм у тогда и только тогда, когда х — у е У. На этой структуре, как мы уже отмечали, аксиомы К, и К, выполняются. Но совершенно ясно, что утверждение А на данной модели не выполняется, потому что х и у для любых элементов х и у из У.

$27. Свойства аксиоматических теорий В настоящем параграфе речь пойдет об изучении аксиоматической теории как таковой. Математическую теорию, изучающую данную аксиоматическую теорию как единое целое, устанавливающую свойства данной аксиоматической теории, называют меглаглеорией по отношению к изучаемой теории, и методы математической логики являются основными методами этой науки.

Факты, устанавливаемые в ней относительно изучаемой аксиоматической теории, называют меватеоремами, чтобы отличить их от собственно теорем Рассматриваемой теории. Вопросы, связанные с моделями данной аксиоматической теории, с ее непротиворечивостью, категоричностью, полнотой, со свойством независимости ее системы аксиом,— это и есть важнейшие вопросы, на которые должна дать ответ мета- теория изучаемой аксиоматической теории. Эти понятия вкратце были "зложены в гл.

3 при построении формализованного исчисления высказываний, а также при построении формализованного исчисле"на предикатов. Теперь же рассмотрим их более обстоятельно при"енительно к произвольной аксиоматической теории. 237 Непротиворечивость. Это важнейшее свойство аксиоматических теорий и важнейшее требование, предъявляемое к ним, поскольку, как увидим ниже, противоречивые теории никакой ценности не представляют.

Определение 27.1. Аксиоматическая теория называется непротиворечивой, если ни для какого утверждения А, сформулированного в терминах этой теории, само утверждение А и его отрицание — А не могут быть одновременно теоремами этой теории. Если для некоторого утверждения А теории оба утверждения А и — А являются ее теоремами, то аксиоматическая теория называется противоречивой. Покажем, что если аксиоматическая теория противоречива, а используемая в ней логическая система включает исчисление высказываний с правилом вывода тодиз ропепз (МР), то любое предложение С этой теории является ее теоремой.

Доказательство. В самом деле, ввиду противоречивости теории существует предложение А теории, такое, что А и А — ее теоремы. Рассмотрим следующую последовательность высказываний данной теории: ..., А, ..., —,А, Вь Вн ..., В„А — > ( А — > С), А -ь С, С. Многоточия перед А и — А обозначают их выводы. Следующее з+ 1 высказывание — вывод истинного высказывания А -ь ( А — ь С) (эта формула есть тавтология, что легко проверить, и потому доказуема). Наконец, предпоследняя формула получена из А и А — > ( А -ь С) по правилу МР, а последняя — по тому же правилу из А и 4 — > С.

Таким образом, данная последовательность есть доказательство утверждения С в рассматриваемой аксиоматической теории. 13 Ясно, что обратное утверждение также справедливо: если любое предложение аксиоматической теории является ее теоремой, то теория противоречива. Следовательно, определения противоречивой и непротиворечивой аксиоматической теорий можно сформулировать и следующим равносильным образом.

Аксиоматическая теория называется и р о т и в о р е ч и в о й, если любое утверждение, сформулированное в терминах этой теории, является ее теоремой, и называется непротиворечивой, если существует утверждение, не являющееся ее теоремой. Значит, противоречивая теория никакой ценности не имеет, потому что в ней можно доказать что угодно. В связи со сказанным приобретает первостепенную важность проблема установления непротиворечивости аксиоматической теории. Ясно, что эта проблема имеет две стороны: отсутствие заложенного как бы внутрь системы аксиом противоречия (которое проявится при развитии теории) и истинность логических умозаключений, которые мы используем при построении доказательств. Таким образом, желая установить непротиворечивость той или иной аксиоматической теории, мы должны подвергнуть исследованию как ее математическое содержание (т.е.

систему аксиом, лежащую в ее 238 основе), так и саму логику. Ко второму моменту мы еше вернемся в гл. 6, а сейчас посмотрим, как же решается вопрос о непротиворечивости системы аксиом, положенной в основу аксиоматической теории, об отсутствии противоречия внутри нее. Во многих случаях этот вопрос удается решить с помощью понятия модели. Развивая аксиоматическую теорию на базе той или иной системы аксиом Х, мы не вкладываем в ее основные понятия и отношения между ними никакого содержания сверх того, что сказано о них в аксиомах; в них содержатся все сведения об этих понятиях, необходимые для построения теории путем чисто логических умозаключений. Изменим теперь нашу точку зрения на первоначальные понятия: будем понимать под ними некоторые вполне определенные объекты и соотношения между ними из какой-нибудь области математики (другой аксиоматической теории), которую мы считаем уже установленной и обоснованной (непротиворечивой).

Это придание каждому первоначальному понятию и отношениям между ними конкретного содержания посредством каких-то конкретных предметов и конкретных отношений между ними, как мы говорили в предыдущем параграфе, называется интерпретированием данной системы аксиом Х. Совокупность этих конкретных предметов и отношений между ними называется иитерлреглациейданной системы аксиом. В результате каждая аксиома из у превращается во вполне определенное предложение из той уже обоснованной области математики (непротиворечивой аксиоматической теории), которая используется лля интерпретации.

Каждое из этих предложений может быть как истинным (теоремой), так и ложным в непротиворечивой аксиоматической теории, использованной для интерпретации. Если все аксиомы из ь превращаются в истинные утверждения, то построенная интерпретация называется моделью данной системы аксиом ь. (Если же хотя бы одна аксиома превратилась в ложное утверждение, то можно считать, что интерпретирование не удалось: ведь цель интерпретирования — построить модель системы аксиом!) Если модель системы аксиом х построена, то отсюда следует чрезвычайно важный вывод о непротиворечивости этой системы аксиом.

В самом деле, все теоремы аксиоматической теории 7л(ь ), построенной на базе системы аксиом Х, суть чисто логические следствия аксиом из Х. В результате интерпретирования все аксиомы из Х превратились в истинные предложения; значит, логически следующие из них теоремы также превратятся в истинные предложения (в смысле той аксиоматической теории, которая использована для построения модели). Поэтому, если предположить, что в исследуемой аксиоматической теории (построенной на базе системы аксиом Х) могут быть выведены две теоремы А и А, пРотиворечащие друг другу, то в модели им соответствовали бы два истинных утверждения А* и А*, также друг другу противоречащих (утверждение и его отрицание не могут быть одновременно 239 истинными).

Но это невозможно, так как аксиоматическая теория, в которой мы рассматриваем модель нашей системы аксиом Х, считается свободной от противоречий (непротиворечивой), Итак, предъявляемая модель системы аксиом служит обоснованием непротиворечивости соответствующей аксиоматической теории. Но, поскольку модель исходной системы аксиом ь построена в некоторой другой аксиоматической теории, такое обоснование имеет относительный характер: исходная теория непротиворечива, если непротиворечива аксиоматическая теория, в терминах которой построена ее модель. Таким образом, вопрос о непротиворечивости одной аксиоматической теории сводится к вопросу о непротиворечивости другой аксиоматической теории. Именно такова ситуация с геометрией Н.И.

Лобачевского. Хорошо известны различные модели геометрии Лобачевского, построенные в геометрии Евклида. Наличие такой модели доказывает относительную непротиворечивость геометрии Лобачевского: она непротиворечива, если непротиворечива геометрия Евклида. В свою очередь, непротиворечивость геометрии Евклида также требует обоснования. Далее в курсе геометрии строится модель евклидовой геометрии в теории действительных чисел, чем устанавливается непротиворечивость первой относительно второй.

Наконец, вопрос о непротиворечивости теории действительных чисел может быть сведен путем построения соответствующих моделей к вопросу о непротиворечивости теории натуральных чисел, построенной на основе системы аксиом Пеано. Подробнее об этом речь пойдет в 5 28. К непротиворечивости арифметики аналогичным образом сводится непротиворечивость обширных областей классической математики. Тем не менее «абсолютная» непротиворечивость ни геометрии Лобачевского, ни евклидовой геометрии, ни арифметики натуральных чисел не установлена.

Уверенность в непротиворечивости этих теорий, в их истинности есть своего рода акт веры. В заключение отметим, что если удается построить конечную модель аксиоматической теории„то этим устанавливается «абсолютная» непротиворечивость теории.

Характеристики

Список файлов книги