Игошин Математическая логика и теория алгоритмов (1019110), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Но в то же время при любых значениях Р формула 6(Р) принимает значение О, т. е. является тождественно ложной. Следовательно, ее отрицание — 6(Р) — тождественно истинная формула, а потому, на основании той же теоремы 16.5, есть теорема формализованного исчисления высказываний, т.е, 6(Р) выводима из аксиом (А1) — (АЗ).
Но тогда эта формула выводима и из аксиом (А!) — (А4). Итак, обе формулы 6(Р) и ее отрицание -6(Р) являются теоремами новой формальной аксиоматической теории, построенной на основе системы аксиом (А1) — (А4). Следовательно, данная теория противоречива. Теорема доказана. (З Формализация теории аристотелевых силлогизмов. Это еще один пример формальной аксиоматической теории. Рассматриваемый здесь способ формализации силлогистики был предложен в 1950-е гг. известным польским логиком Я.Лукасевичем [1.17, 1.24]. Пусть строчные латинские буквы а, Ь, с, ... обозначают переменные термины силлогистики, две прописные латинские буквы А и ! — два силлогических бинарных отношения: АаЬ: «Всякое а есть Ь», 1аЬ: «Некоторое а есть Ь».
Понятие формулы или правильно построенного силлогического предложения дается посредством следующего индуктивного определения: 1) АаЬ и 1аЬ вЂ” простые (или атомарные) формулы силлогистики; 2) если а и ]3 — формулы силлогистики, то формулами силлогистики будут также (а л ]3), (а ч ]3), (а -+ ]3), -а; 3) никаких других формул, кроме получающихся по правилам пунктов 1 и 2, нет.
Перейдем теперь к формулировке аксиом. Во-первых, считаем, что имеется некоторое формализованное исчисление высказываний, построенное, например, на базе системы из трех аксиом Ц !5). Так что эти аксиомы открывают список аксиом формальной силлогистики. В качестве специальных аксиом принимаются такие силлогические предложения: (РБ1): Ааа; (РБ2): 1аа; (РБЗ): (АЬс л АаЬ) -+ Аас (силлогизм ВагЬага); (Р84): (АЬс л РЬа) — э 1ас (силлогизм 1)айз!). С помощью следующих определений введем еше два силлогических бинарных отношения Еи 0: ЕаЬ означает 1аЬ, ОаЬ означает 4аЬ.
Для удобства построения выводов на основе этих определений формулируются правила о возможности замены всюду в формулах 1 на Е и наоборот, а также А на 0 и наоборот. Таким 258 образом, в нашей формальной системе, которую будем обозначать РЯ, оказываются выраженными все четыре основных отношения силлогистики. Напомним, что в аристотелевой силлогистике отношение ЕаЬ означает «Никакое а не есть Ь», а ОаЬ— «Некоторые а не есть Ь».
В качестве правил вывода в системе формализованной силлогистики РЯ принимаются два правила подстановки и правило заключения МР: а) подстановка в выводимую формулу исчисления высказываний на место пропозициональной переменной (всюду, где она входит в формулу) одной и той же силлогической формулы дает выводимую формулу системы РБ; б) подстановка в выводимую формулу системы РЯ на место переменного термина (всюду, где он входит в формулу) другого переменного термина дает выводимую формулу системы РБ; в) правило МР: если формулы ц -» !), ц выводимы в РЯ, то в РЯ выводима и формула !3. Обратим внимание на то, что в качестве третьей (РЯЗ) и четвертой (РЯ4) аксиом выбраны правильные аристотелевы силлогизмы ВагЬага и ЮагЫ. Остальные семнадцать правильных силлогизмов нам предстоит доказать на основе данной системы аксиом.
Приступим теперь к доказательству теорем формальной силлогистики. (Р85): (Силлогические законы противоречия): а) — (Ааб л ОаЬ); б) -(1аЬ л ЕаЬ). До к аз а тел ь от в о. Закон а) получается из закона отрицания противоречия исчисления высказываний — (Хл — Х) в результате подстановки Х(АаЬ (вместо Х подставляется силлогическая формула АаЬ) и замены по определению 4аЬ на ОаЬ. Подстановкой Х~1аЬ в тот же закон и заменой по определению - 1аЬ на ЕаЬ доказывается закон б).
П (РБ6): (Силлогические законы исключенного третьего): а) АаЬ 'г ч ОаЬ'„б) 1аЬ» ЕаЬ. До казател ь от в о. Для обоих законов их доказательство вытекает из логического закона исключенного третьего Х ч Х в результате очевидных подстановок и замен. (Р87): (Закон обращения), 1аЬ вЂ” > 1Ьа.
До казател ьств о. В закон разделения посылок исчисления высказываний ((Хл У) — > У) — > (Х вЂ” > (У-э У)) делаем подстановку Х)АЬс, У)1Ьа, У)1ас и из полученной формулы и аксиомы (Р34) по правилу МР выводим: АЬс -э (1Ьа -+ 1ас).
Подстановка Ь|а, с)а, о~ Ь приводит к формуле Ааа -+ (1аЬ -+ 1Ьа), из которой и из аксиомы (РЗ!) по правилу МР следует требуемая формула: 1аЬ -+ 1Ьа. (З (Р88): (Законы подчинения): а) АаЬ -э 1аЬ; б) ЕаЬ -+ ОаЬ. До казател ьств о. а) В закон перестановки посылок исчисления высказываний (Х-+ (г' — > У)) -+ (У-» (Х-+ У)) делаем подстановку Х)АЬс, У) 1Ьа, У! 1ас.
Посылка полученной формулы 259 представляет собой следующую формулу: АЬс — «(1Ьа -+ 1ас), выводимую в РЯ, что установлено в ходе доказательства предыдущей теоремы. Тогда из этих двух формул по правилу МР выводим формулу: 1Ьа -+ (АЬс -«1ас). Подстановка Ь|а, с(Ь в последнюю формулу дает формулу 1аа — «(АаЬ -«1аЬ).
Из нее и аксиомы (РЯ2) по правилу МР выводим требуемый закон. б) В закон контрапозиции исчисления высказываний (Х вЂ” «У) -« — «(-,У-« -Х) делаем подстановку Х)АаЬ, У~1аЬ и из полученной формулы и предыдущего закона подчинения АаЬ -«1аЬ по правилу МР выводим: — 1аЬ вЂ” « -АаЬ. Применяя правила о замене — 1 на Е и 4 на О, получаем: ЕаЬ -«ОаЬ. (2 В следующей теореме формулируются и доказываются в формальной силлогистике РЯ все оставшиеся 17 правильных аристотелевых силлогизмов. Теорема 28.5 (Аристотелевы силлогизмы). Следующие формулы являются теоремами формальной системы Рбк Фигура 1 Фигура П 1) (АЬс г 1аЬ) — «1ас (1)ага); 4) (АсЬ п ОаЬ) -«Оас (Вагосо); 2) (ЕЬс п АаЬ) -+ Еас (Се1агепг)' 5) (АсЬ п ЕаЬ) -«Еас (Сатегоез)' 3) (ЕЬс п 1аЬ) -+ Оас (Гегю); б) (ЕсЬ п АаЬ) — «Еас (Селаге); 7) (ЕсЬ х 1аЬ) -+ Оас (Гетто); Фигура П1 Фигура !Ч 8) (АЬс г АЬа) -+ 1ас (1«агарб)' 13) (1сЬ п АЬа) — «1ас (Вйтат); 9) (,1Ьс и АЬа) -«1ас (1)Вата)' 14) (АсЬ п АЬа) -«1ас (Вгатапнр); 10) (ОЬс г АЬа) -+ Оас (Восап1о); 15) (АсЬ п ЕЬа) -«Еас (Сатепез); 11) (ЕЬс п АЬа) -«Оас (гегаргоп)' 16) (ЕсЬ х АЬа) -+ Оас (Еезаро); 12) (ЕЬс п 1Ьа) -+ Оас (гегГзоп); 17) (ЕсЬ п 1Ьа) -«Оас (Егеязоп).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Приведем доказательства некоторых из этих силлогизмов. 1) Используя теорему о дедукции, нетрудно убедиться в том, что следующая формула ((Хп У) — «У) -+ ИУ вЂ” «У) — «((Хп Р) -+ -«У)) является теоремой формализованного исчисления высказываний. Делаем в нее подстановку: Х)АЬс, У) 1Ьа, У! 1ас. Получаем формулу ((АЬс п 1Ьа) -«1ас) -+ (((г — «1Ьа) -«((АЬс г У) -+ -+ 1ас)). Вместе с аксиомой (РЯ4) она по правилу МР дает формулу (Р -+ 1Ьа) -+ ((АЬс и (г) — «1ас). Делаем сюда подстановку (г~ 1аЬ. Получаем (1аЬ вЂ” «1Ьа) -+ ((АЬс л 1аЬ) — «1ас).
Из этой формулы и формулы теоремы (РЯ7) по правилу МР выводим требуемую формулу. 4) Начинаем со следующей теоремы формализованного исчисления высказываний: ((Х п У) -+ Х) — «((Х и -е,) — « - У). Полстановка Х)АЬс, У~|АаЬ, Х~Аас в нее дает ((АЬс г АаЬ) -« — «Аас) — «((АЬс л -Аас) — «4аЬ). Из этой формулы и аксиомы (РИЗ) по правилу МР выводим формулу (АЬс п Аас) — «АаЬ. 260 Используя правило о замене 4 на О, получаем: (АЬс л Оас) — > — > ОаЬ.
Наконец, подстановка Ь|с, с|Ь приводит нас к требуемой формуле. 8) В ходе доказательства формулы 1) была выведена формула (~' — э 1Ьа) — э ((АЬс л У) — > 1ас). Сделаем в нее подстановку И|АЬа. Получим: (АЬа -~ 1Ьа) -+ ((АЬс л АЬа) — > 1ас). Используя теорему (Е88а) (в которой сделать подстановку а|Ь, Ь|а), по правилу МР получаем требуемую формулу.
9) Подстановка а|с, с|а в аксиому (Р84) дает АЬа л 1Ьс — > 1са, а подстановка а|с, Ь|а в теорему (РЯ7) приводит к формуле 1са — ~ -э 1ас. Наконец, подстановка Х|АЬа л 1Ьс, У|1са, Х|1ас в выводимую формулу исчисления высказываний (закон силлогизма) (Х вЂ” ~ -э У) -+ ((У вЂ” э .2') — э (Х-+ У)) дает формулу ((АЬа л 1Ьс) — э 1ас) -+ -э((1са -э 1ас) -+ ((АЬа л 1Ьс) -+ 1ас)). Используя полученные выше формулы для двукратного применения правила МР и исходя из последней формулы, получаем: (АЬа л 1Ьс) -+ 1ас.
Далее, сделав подстановку Х|1Ьс„У|АЬа в выводимую формулу (Х л У) -+ ( У л Х), получаем формулу (!Ьс л АЬа) -э (АЬа л 1Ьс). В использованный выше закон силлогизма сделаем другую подстановку: Х|1Ьс л АЬа, У|АЬа л 1Ьс, Х|1ас. Получим формулу ((1Ьс л АЬа) — э (АЬа л 1Ьс)) — > ЯАЬа л 1Ьс) -+ 1ас) — э ((1Ьс л АЬа) -+ -+ 1ас)). Теперь применим дважды правило вывода МР: сначала к этой формуле и предыдущей, а затем к полученному результату и последней формуле предыдущего абзаца. В результате получим требуемую формулу. 13) Сделав в доказанную формулу 1) подстановку с|а, а|с, получаем: (АЬа л 1сЬ) — > 1са. Сделав подстановку Х| АЬа л 1сЬ, У| 1са, Х|1ас в закон силлогизма (Х-э У) -+ ((У-э У) — > (Х вЂ” э 2)), получим формулу ((АЬа л 1сЬ) — э 1са) — э ((1са — э 1ас) -э ((АЬа л 1сЬ) — э -~ 1ас)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
