Игошин Математическая логика и теория алгоритмов (1019110), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Существо формального подхода состоит в том, что в символы теории (даже самые привычные) не вкладывается никакого смысла, пока не введена интерпретация этих символов. В то же время никакая интерпретация не относится к числу средств самого исчисления: она позволяет осмыслить формулы исчисления, но не участвует в формальном выводе теорем. О формальных свойствах 254 самого исчисления, его формул и их формальных преобразований принято говорить как о синтаксисе исчисления; свойства исчисления, выражаемые в терминах его интерпретаций, — это семантика исчисления. В частности, если формула г" выводима в формальной теории из множества формул Ф: Ф»- г", то говорят, что Есинтаксически выводима из Ф. Имеется также понятие и семантической выводимости Риз Ф, связанное с интерпретациями.
Семантическая выводимость. Вообще под семантикой в математической логике понимается исследование интерпретаций формальных аксиоматических теорий, изучение смысла и значения конструкций формализованного языка теории, способов понимания его логических связок и формул. Семантика рассматривает возможности точного описания и формального определения таких содержательных понятий, как «истина», «определимость», «обозначение», В несколько более узком смысле под семантикой формализованного языка понимают систему соглашений, определяющих понимание формул языка, задающих условия истинности этих формул.
Построение четкой семантики достаточно сложных формализованных языков (например, типа языков аксиоматической теории множеств) является трудной проблемой. Это связано с тем, что процесс абстрагирования в математике является весьма сложным и многоступенчатым. Построение формальных языков и теорий — абстрагирование весьма высокого уровня. В его ходе используются глубокие и неочевидные абстракции, в результате чего объем объектов исследования, способы обращения с этими объектами и способы доказательства угверждений относительно таких объектов становятся весьма неопределенными.
Часто семантические понятия для некоторого языка могут быть точно сформулированы в рамках более богатого языка, играющего для первого роль метаязыка. Именно такую ситуацию мы имеем для формул языка первого порядка, определяя для них семантические понятия истинности, выводимости и т.п.: мы привлекаем для этого алгебраические системы, описываемые на языке теории множеств. Эгот последний и играет в данном случае роль метаязыка для формальной теории первого порядка.
Будем говорить, что формула Гсемантически выводима из множества формул Ф, и писать Ф ~ г", если в каждой интерпретации, в которой истинны все формулы из Ф, истинна и формула г", т.е, если каждая модель множества формул Ф будет также и моделью формулы Г. Ясно, что понятие семантической выводимости формулы является обобщением понятия общезначимости формулы, и первое превращается во второе при Ф = И (пустое множество). В терминах классов моделей множеств формул Ф и (Г) семантическая выводимость Риз Ф означает, что М(Ф) а М((Г)). Метвматематика (свойства формальных аксиоматических теоРий). Исследование формальных теорий обшепонятными логичес- 255 кими средствами и методами называется метаматематикой.
В круг метаматематических вопросов входят вопросы, связанные прежде всего с непротиворечивостью, полнотой, разрешимостью формальных аксиоматических теорий. Непротиворечивость — важнейшее свойство формальных аксиоматических теорий. В з 16 и з 27 рассматривалась непротиворечивость содержательных аксиоматических теорий и формализованного исчисления высказываний. Сформулированные там определения (16.8 и 27.1) применимы также и для любой формальной аксиоматической теории. Это свойство можно было бы назвать внутренней непротиворечивостью формальной теории. В з 27 отмечалось, что внутренняя непротиворечивость теории следует из наличия у теории (непротиворечивой) модели.
Последнее свойство теории (наличие непротиворечивой модели) можно назвать содержательной непротиворечивостью теории. Таким образом, если теория содержательно непротиворечива, то она внутренне непротиворечива. Значительно труднее получить ответ на вопрос о справедливости обратного утверждения: всякая внутренне непротиворечивая формальная теория имеет модель, т.е. содержательно непротиворечиво. Это еще одна теорема Геделя. Доказательство этой сложной и важной теоремы математической логики будет проведено в следующем параграфе, посвященном свойствам формализованного исчисления предикатов. Еще одним важным метаматематическим понятием является понятие разрешимости формальной аксиоматической теории.
Определение 28.3. Формальная аксиоматическая теория Тназывается разрешимой, если имеется эффективная процедура (алгоритм), позволяющая для каждой данной формулы этой теории узнавать, существует ли ее вывод в Т, т.е. является ли она теоремой теории Т. Если такого алгоритма не существует, то теория называется неразрешимой. Другими словами, разрешимая теория — это такая теория, для которой можно изобрести машину, испытывающую формулы на свойство быть теоремой этой теории. Для выполнения той же задачи в неразрешимой теории такой машины построить нельзя, и для каждой конкретной формулы приходится изобретать свои методы определения того, будет ли она теоремой данной теории. Для разрешимости теории вовсе не требуется алгоритм, позволяющий доказывать (находить доказательство) каждую теорему теории.
Именно таков характер теоремы 16.11 о разрешимости формализованного исчисления высказываний: на основании ее можно для каждой формулы ответить на вопрос, будет ли она доказуема, но построить доказательство нельзя. Что же касается разрешимости формализованного исчисления предикатов, то в начале э 23 отмечалось, что проблема разрешения общезначимости формулы в логике предикатов неразрешима. Этим, в частности, обус- 256 ловливается и неразрешимость формализованного исчисления прели катов.
Дальнейшее рассмотрение свойств формальных аксиоматических теорий приводит нас к необходимости более подробно изучить свойства формализованного (или узкого) исчисления предикатов, являющегося логическим основанием конкретных формальных математических теорий (или формальных теорий первого порядка, или элементарных теорий).
Этому и посвящается следующий в 29. Но прежде чем перейти к нему, обратимся еще раз к формализованному исчислению высказываний и установим еще два его свойства как формальной аксиоматической теории. Формализованное исчисление высказывании как формальная аксиоматическая теория. Итак, формализованное исчисление высказываний представляет собой пример формальной аксиоматической теории. Более того, в В 16 была установлена полнота данной теории относительно алгебры высказываний, ее непротиворечивость и разрешимость. Рассмотрим вопросы внутренней полноты исчисления высказываний, т.е.
выясним, будет ли эта теория абсолютно полной и полной в узком смысле (см. определения 27.5 и 27.6). Если бы формализованное исчисление высказываний было абсолютно полным, т.е. для любой формулы Г этой теории сама Р или ее отрицание Гбыли теоремами, то, на основании теоремы !6.1, для каждой формулы Галгебры высказываний либо Г, либо Рбыла бы тавтологией. Но многочисленные примеры формул Р, таких, что ни Г, ни Гне есть тавтологии, опровергают подобное заключение. (Приведите примеры таких формул.) Итак, формализованное исчисление высказываний не является абсолютно полным. Иначе обстоит дело с его полнотой в узком смысле. Теорема 28.4.
Формализованное исчисление высказываний полно в узком смысле. Доказательство. Пусть Р— некоторая формула формализованного исчисления высказываний, не являющаяся его теоремой. Докажем, что если Гприсоединить в качестве схемы (А4) к трем схемам аксиом (А!) — (АЗ) формализованного исчисления высказываний (см. в 15), то получаемая на основе системы аксиом (А1) — (А4) формальная аксиоматическая теория будет противоречивой. Действительно, поскольку à — не теорема, то она, на основании теоремы 16.5, не является тавтологией. Поэтому в ее таблице истинности найдется такая строка, в которой стоит значение О.
Фиксируем какую-либо одну такую строку. По схеме Г построим новую формулу следующим образом: все простые формулы, входящие в Ри принимающие в фиксированной строке значение 1, заменим формулой Р м — Р, а все простые формулы, ~ходящие в Р и принимающие в фиксированной строке значение О, — формулой Р л -Р, где Р— пропозициональная переменная. В результате получим некоторую формулу 6(Р), завися- зи,„„ 257 шую от одной пропозициональной переменной Р. Формула получена на основе схемы аксиом (А4) и потому является аксиомой новой формальной теории.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
