Партон В.З. - Механика разрушения. От теории к практике (1015817), страница 20
Текст из файла (страница 20)
119 Для соответствующего сочетания высоких уровпойг напряжения, длинных трещин и тонких пластин прообладающей является форма пластических зон в виде Рис. 76. Трехмерная модель пластической зоны при растяжении плоского обрааца (сталь та же, что и на рис. 74): а) область пластического течения на поверхности обравца, б) объемная модель пластической воны Ряс. 77. Фотография растягиваемого в вертикальпом направлении образца из стали Ст. 3 при о/о, = 0,92 (а — напряжение в ослабленном сечении).
Видно, что длина пластичесиой зоны примерно в два рава больше длины раареза наклонных слоев. Переход от плоской деформации к плоскому напряженному состоянию происходит перманентно, вследствие чего граница раздела трудно опреде. 120 лима, Приведенное описание позволяет схематичеЭки изобразить трехмерную модель пластической зоны '(рис. 76).
В начальной ее части преобладает петлеобразная форма, которая затем сменяется одной или двумя наклонными полосами. При растяжении тонкого лкста (из мягкой стали) в экспериментах наблюдались пластические области в виде слоя (рис. 77), продоля«ающего трещину. Численные расчеты с помощью ЭВМ показывают, что пластическая вона развивается по-разному (рис. 78). При плоской деформации пластическая зона вытянута поперек линии трещины, а при плоском напряженном состоянии она простирается вперед по направленшо роста трещины. Рассмотренные экспериментальные и численные результаты подтверждают правомерность неко- 02Х э торых упрощенных теоретических моделей, на основаниикоторых можно получить Рпс.
78. Ферме плестпческап аналитические решения за- е пм, пслучеввея чяслеяпым расчетам: 1 — плоское яепрядач о разрушении элемептов жезяое состояние, 2 — плоская конструкций за пределами об- дефсркецяя ласти применимости линейной механики разрушения. Наиболее известной среди такпх нелинейных моделей является 6„-модель. Суть ее состоит в том, что перед концом существующего разреза вводится зона ослабленных связей в виде тонкого слоя. При этом тело обладает следующими свойствами". а) максимальное растягивающее напряжение нигде не превосходит сопротивления отрыву ое, б) зависимость между деформациями и напрян«ениями подчиняется закону Гука; в) силовое взаимодействие между поверхностями разреза отсутствует; г) противолежащие поверхности слон ослабленных связей притягиваются одна к другой с напряжением, равным ае.
Эту теоретическую схему независимо друг от друга и почти одновременно предлон«или советские ученые М. Я. Леопов и В. В. Панасюк (1959 г.) и американ. ский ученый Д. Дагдойл (1960 г.). Одпако принципиаль ный подход у ппх был разным: Панасюк и Леонов в знаменитой статье «Развитие мельчайших трещин в твердом 121 телее говорили о приблнлгенном учете сил межатом. ного взаизщдевствия для микротрещин, а у Дагдейла зова ослабленных связеп — зто пластпческн-деформированный материал (он отталкивался от зкспериментов, проведенных на топких листах мягкой стали, см. рис. 77).
В то жс время в обеих моделях математическая формализация одинакова; в частности, на линии трещины, свободной от внешних нагрузок, соблюдаются следуюгцпе краевые условня: 2и(х) д- б„прп )х) ч. 1, бч)2и(х)~0 прн 1<!х) (а, и(х) = 0 прн !х1 ) а. о„=О, о„= по, а„оо, Здесь 21 — длина трещины, И = а — 1 — длина слоя ослабленных связей, ось у перпендикулярна линни трещины, а ось х совпадает с ней; начало отсчета — в средней точка трещины (рпс.
79). Слой ослабленных связей заменяется дополнительным разрезом у=О, 1<)х) ~а, на К Рно, 79, Трещина о нлеогнчеояой зоной нлн зоной ослабленных связей: а) пояоднея задаче, б) упругая зздзчз поверхностях которого действуют напряжения о„= оо. Смещение 2и(х, у = 0) в направлении оси у, принимающее в точке х=1 значение бе, называется разрушающим (нли критическим) п полагается постоянной материала. 11редельное состояние равновеспя определяется условием 2и(() = б„ ,(67) 12о которое вводится в модель как критерий развития трещины.
Для определения протяженности слоя ослабленных связей требуется введение еще одного условия, которым может быть плавность смыкания противоположных поверхностей дополнительного разреза на его конце или условие ограниченности напряжений, В качестве примера рассмотрим задачу Гриффитса в постановке 6„-моделн. Пусть плоскость с одиночной трещиной растягивается напряяюепиями р, приложенными в бесконечно удаленных точках. Требуется найти критическое напряжение для заданной длины трещины 2й Граничные условия таковы: т.„(х, 0)=0, п,(х, )=р при — (х< °, о„(х, О) =0 при !х! ( 1, о„(х, О) = оа при ю< !х! <а.
Мы не будем приводить достаточно сложное решение такой простой на впд задачи теории упругости. Выпишем сразу окончательный результат. Условие наступления предельного состояния равновеспя (67) дает следующее выражение для крнтпческого налряягення: 2 / лбк! Р„= — ню агссоз ехр '( яс г ) ° (68) Заметим, что при больших длинах трещин (и, следовательно, при малых р„сравнительно с па) формула (68) переходит в следующую: 1/ 2Еаюаи рк— 1 М (69) которая совпадает с формулой Грнффитса прп соблюдении условия О. = 6.па.
Это условие нетрудно получить в рамках 6;модели, подсчитав удельную работу разрушения. Эксперименты и теоретические решения для более детальных схем учета формы пластической зоны подтверждают зто соотиошение, они уточняют лппгь числовой множитель перед б„оа в правой части последнего выражения. Критическое напряяюевие в функции длины трещины, построенное по формуле (68), показано на рис.
80. Там же приведена критическая диаграмма Гриффитса. 123 Заметное расхон<дение менсду двумя кривыми начинается со значения напряжения р„= О,бое. Прн стремлении длп ны трещины к пулю, получаем ограниченную величину разрушающего напряжения, что соответствует физическому смыслу. Напрянгение ос оказывается разрушающим при стремлении длины трещины к нулю. Позтому Р~ ср 1 йб 0 2 Л б д баю лс ба Рис. 80. Критические диаграммы разру~неиия растянутой плоскости с трещиной 1 — ис усясвиго (68), 2 — яо условию К = К, на основании зксперимеитальных данных можно прннимать ос равным пределу текучести материала а, (во большее соответствие опыту дает равенство ое пределу прочности ов).
в (8. Ивварггавтные интегралы Важное место в современной нелинейной механике разрушения занимает понятие независимого от контура интегрирования интеграла. К настоящему времени таких интегралов изобретено достаточно много, но наиболее широкое распространение получили два из вих, построен. ные практически одновременно и независимо: Г-интезрал Г.
П. Черепанова (1987 г.) и 1-интеграл (Дггсей-интеграл) Дж, Р. Райса (1908 г.). Ввднмо, к отому времени 124 идея ипвариаптпых интегралов, как говорят, уже висела в воздухе е). Черекапов проапализпровал с точки зреяпя закона сохранения энергии состояпие области г), окружающей вершину трещипы, движущейся в сплошном деформируемом теле (рис. 81). Все в соответствии с Гриффитсом: поступающая через контур С механическая работа впешпих сил и тепловая энергия ЬА+ ЬСг (трещипа считается свободной от ввешних воздействий) затрачивается Рис. 81. Контур С, охватывающий вершину движущейся трещины. Система координат зо Ю неподвижна, система х, З связана с 'вершиной трещины, Бзлаис онерпги вычисляется в движущейся системе координат х, З Рис.
82. Интеграл Черепанова — Райса одииаиов для контуров С, Сь Сз иа увеличевие кинетической и внутренней энергии ЬК+ +Ьсг' и па разрушение ЬП. В области Р имеется одна лишь точка, поглощающая энергию,— вершина трещины, извне энергия поступает через контур С вЂ” границу области х). Очевидпо, что поступающее количество эпергии одинаково для любого контура С (ипвариантно относительно выбора С) (рис.
82). С помощью чисто матема.тических преобразований Черекаповым было получено выражение для удельной работы разрушения Г = — = (И'+ К) сов се — р„— + р„— гзл, (10) ип Г(' / ди дз 1!1 с где )'гг — плотность энергии деформаций, К вЂ” плотность кинетической энергии, р = (р„, р„) — вектор усилий, 125 е) Этот результат мог быть получеп гораздо раньше.
Однако работа Дж. Д. Эшелбз (1951 г.), рассчитавшего с помощью инваРиаитиого интеграла силу, действующую иа точечную особенность в упругой среде, осталась иезамеченной. действуютцнх на контур извне, ес — угол между пормалт,со к контуру н осью х (лпопей трещины). Напомним, что означает понятие криволинейного интеграла от функции т' вдоль контура С (см.
рис. 82)с ~/сЬ (,Ьгт + ~гЛвг+... + (нбгтс. (71) с Мы подсчитываем интеграл, разбивая контур С на большое число элементарных участков с длинами Ьгс, Ьгг, ... Ьв, вычисляем значения функции на каждом из участков т>, 1г, ..., т~ и составляем сумму (7>). Так поступают, например, подсчитывая общий электрический заряд на контуре по известной плотности распределения заряда т на этом контуре ()гЬв„— заряд й-го участка). 1-интеграл Райса получится из Г-интеграла Черепанова, если пренебречь в нем кинетической энергией (инерционнымн эффектами) .т = ) ) И' соз а — (р, —" + р„— )1ссг, (72) с Райс доказал независимость такого интеграла от пути интегрирования в нелинейно-упругом теле или >ке в упруго-пластическом теле для случая широко употребляемой в инженерной практике деформационной теории пластичности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
