Основы теории и расчета жидкостных ракетных двигателей. Учебник под ред. В.М.Кудрявцева (1014186), страница 31
Текст из файла (страница 31)
35б) Ръ= ~' Р. !=1 В соответствии с поставленной задачей определения равновесного состава химически реагирующей и ионизируемой смеси компонентов для решения системы уравнений (7.32) — (7.35) в качестве необходимого и достаточного начального условия вводят элементарный состав, задаваемый содержанием химических элементов в топливе или в некоторой исходной смеси промежуточного состояния, т.
е. задаются: ае — содержание грамм-атомов элемента А; Ье — содержание грамм-атомов элемента В и т. д. В качестве граничного условия рассматривают давление р и температуру Т, при которых определяется равновесный состав. Рассмотренная система имеет обыкновенные алгебраические уравнения, часть из которых (уравнения диссоциации и ионизации) может быть н~аннейными. Анализ показывает, что эта система уравнений является устойчивой, т.
е. дающей возможность получения решения относительно искомых неизвестных. Все возможные математические решения, дающие отрицательные значения парциальных давлений, отбрасываются, как не имеющие физического смысла. Относительно положительных значений неизвестных решения получаются однозначными, если исключить мнимые корни. Когда реагирующая смесь представлена небольшим количеством веществ (до четырех-пяти), можно решить систему уравнений (7.32)— — (7.35) исключением переменных и получить аналитические выражения для определения содержания компонентов в зависимости от температуры и давления„ !40 Если же общее число неизвестных, с которыми чаще всего приходится иметь дело в ЖРД, более пяти, то попытка получения окончательного ответа будет связана с необходимостью решения не алгебраического уравнения второй или третьей степени, а более сложных, для которых корни не могут быть выражены точно аналитически в виде известных формул.
Поэтому аналитические решения системы уравнений (7.32) — (7.35) можно использовать только для расчета простейших случаев. В прикладной математике разработан ряд способов приближенного решения всей системы алгебраических уравнений типа (7.32) — (7.35), позволяющих получить ответы с заданной точностью вычислений. К тому же использование приближенных способов оказывается менее сложным и более удобным, так как инженеров всегда интересует лишь получение результатов расчета с заданной точностью. Обычно приближенные способы решения уравнений с математической стороны дают возможность получать более точные вычисления, при этом лишь увеличивается объем вычислительной работы. Однако нужно иметь в виду методический предел точности расчетов, который ограничивается тем, что в систему уравнений (7.32) — (7.35) вводятся значения констант равновесия, достоверная точность определения которых не превышает 0,5%.
Кроме того, ряд допущений, касающихся идеализации свойств рабочих тел, еще больше снижает достоверность результатов расчетов равновесного состава по принятой методике. Поэтому требовать от вычислительных операций точности более 0,5% не имеет никакого смысла. Практика расчетов ЖРД при решении системы уравнений (7.32) — (7.35) основывается на методе последовательных приближений, или методе итераций (от латинского слова 1(ега11о — повторение).
Недостаток этих способов решений — отсутствие единообразия и возможность применения их только для тех композиций топлива, на которых они проверены. В некоторых случаях из-за отсутствия сходимости последовательных приближений при заданных исходных параметрах приходится изменять приемы расчетов. Поэтому использовать электронные счетные машины для таких методик расчетов нецелесообразно.
В последнее время отдают предпочтение общему методу решения уравнений для определения равновесного состава ПС, состоящего в том, что система (7.32) — (7.35) предварительно записывается в логарифмической форме и линеаризуется. Полученная линейная система алгебраических уравнений решается методом последовательных приближений относительно поправок, которые нужно вносить в последующие приближения. При общем методе решения улучшается сходимость приближений, для самых различных композиций топлива и при разных исходных параметрах достигается одинаковый алгоритм нахождения решений. Зго создает основу для программирования вычислений на электронных счетных машинах.
В дал!)нейшем будет рассматриваться только этот способ. !4! й 7.9. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ УРАВНЕНИИ ДЛЯ РАСЧЕТА РАВНОВЕСНОГО СОСТАВА ПРОДУКТОВ СГОРАНИЯ ПРИ ЗАДАННЬ1Х ТЕМПЕРАТУРЕ И ДАВЛЕНИИ Запишем систему уравнений (7.32) — (7.35) в логарифмической форме. Уравнения баланса элементов (7.32) соответственно для атомов АиВ о=2 'Я:Е~" — 'Яа А'. =О 1Я.'~',ЬА,— 1ЯЬой„= О. (7,35) о=-1 Уравнение электрической нейтральности для ионизнрованного газа (7.33) !Я [Аде + ~ейное + 2~е~%е + ' ' '! 1Я [~ейоее + + 2~1У;,++ + ...1= О. (7.37) Уравнение диссоциации и ионизации (7.34) для газов !яр, — а,!я рд — Ь;!яр — с; 1я р — ° — 1я К; = О. (7 38з) Уравнения общего числа молей: для конденсированных веществ — а, !Ярд — Ь1!Яр, — с„1Ярс — ° ° — 1ЯК;„,„, = О; (?.386) для воложительных ионов 1ЯР.++',!ЯР- — 1ЯР, — [ЯК;,+ = О; (7.38в) для отрицательных ионов !яр;; — !яр — — !яр,— !яК,;,— = О; (7.38г) для всех веществ е 1Я 2'„Жо — 1Я ЖЕ = О' о (7.39а) для газо, !Я,')'р, — !Яр, = О.
е (7.39б) 142 Решение системы уравнений методом последовательных приближений начинается с некоторого начального приближения неизвестных, которым обычно задаются. Обозначим условно Хоп Хь~ ..., Хо значения искомых величин при начальном приближении. Для линеаризации уравнений (7.36) — (7.39) в окрестностях начального приближения разложим каждый член этих уравнений в ряд Тейлора по степеням отклонений: р(х~) = р(хо)о + [др(х;)/дХ11оАХ; + нели- нейные члены.
Здесь АХ~ — отклонение велнчн ны Х от значения, принятого при начальном приближении Х,, Хо, В логарифмической о. записи АХ1 —— Хо — Х11 для давлений А1ЯР, = 1ЯР, — 1ЯФ,; д1я концентрации о. А[ЯА1, = [ЯА,— [ЯЬ),; ля темп атуры д ер А!ЯТ= 1ЯТ вЂ” !ЯТ ", для числа молей топлива о А [Я Л1„= [Я А~. — [Я А[„° (7.40) Пренебрегая нелинейными членами разложения, уравнения баланса элементов (7.32) для элемента А можно будет записать так: 1 [ д(аеА1~) 1 д ! [у ае19о 1~ д (19 У» ))о Для сокращения записи введем следующие обозначения: (1Я ~~ а;[у,)о — (1Я ае[о' ), = В,; (2', а;Ж,)о = (.д.
(7.41) Тогда для элемента А уравнение баланса ~ч'„а,й~~ А !я Ф, — Т,л А 1я У„= — 8,7.д . (7.42) Аналогично (7.32) преобразуются остальные уравнения баланса (7,33) и (7.35). Л ризацию группы уравнений диссоциации и ионизации типа инеа ( .34а) ля газов. (7.34) можно рассмотреть на примере уравнения (7.34а) д Разложив (7.34а) в ряд Тейлора, получим (1Я Р1)о+ А[Яро (ае !Ярл)о [д(а~ [ЯРл)[д(!Ярл))о А !Ярл — (Ь;[ЯРо)о — [д(Ь; 1Ярв)[д([ЯРв)!оА[Ярв — ([ЯК1)о— — [дl(1Я К,)!д (1Я Т)), А 1Я Т = О.
(7.43) Для сокращения записи обозначим (!ЯР1 а~ !Ярд Ье !Ярв ". !ЯК1)о = 511 [д(1Я К;)1д(1Я7)1о = 1.К, * Тогда' уравнение диссоциации (7.34а) примет форму А1ЯР— а,А1ЯРд — Ь!1ЯРв — с,б!ЯРс — ...— Т.К,А 1ЯТ= — Во (7.45) А!яр; — а, 143 (7.46) ят не- читан ичным (7.47) (~~~~ ~Ь/о Д 1ее Ато е + 2 ~ о/ееее Д [Я А ~е++ + '" ) ~е+ о + ч; уо [ 2~ч~~~/уо„+ ...); о + 2~У~ -1- „.); (А/о [ ~че',й/о, 1 2Х/Уее--+ ") [йЖ "++ У авнения равновесия при диссоциации и ионизации: ра для газов ЖД[йрх Ь Д[ярв сеД барс — 1 —...— Ек,Д[я Т= — об ЯР о о [Ко.
3~ — [йф,— а~!яров — Ь; [8 ров "' [я К ' Ек,. = [д (1я К~)/д (1я Т)1о = [Д //(КТ))о (7.50а) з ана из условия расчета, то последнее Если температура точно задана ж, нее Т из авнения может ыть искл слагаемое Ек,Д16 из ур использовать систему уравности записи это т член сохраним с целью испо емпература не задана, а поднений в более сложных случаях, когда тем лежит определению. авнения диссоциацни и Аналогично преобразуются остальные ур ~~~жми~ (7846), (784в) Значение величины ЕК, зависит от дис температуры.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
