Основы теории и расчета жидкостных ракетных двигателей. Учебник под ред. В.М.Кудрявцева (1014186), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Это выполняется при условии ! )Р„!он,„, =)Чнгинз+ й!н Рн, + й(нрн+)Узри (7.54) или )У Рн,г, = Рнз Рнг + Рн, Рн, + Рн Рн + Р и Рг ' тогда начальная величина о о о о о й(х = (Риз Рнр+ Ри Рн + Рн Рн + РгР'з)~ Рн,н = 6 25. 10'(20-1- 2-1-1 + 19)/40 = 6 5 10'. Для ведения расчетов при заданной температуре сгорания 4600 К табличные значения констант равновесия для диссоциации молекул до атомов !д Кнз = — 4 884 и !я Кн, = — 6, ! 9.
Для записи системы в общей форме типа(7.52) вычислим свободные члены и коэффициенты уравнений для первого приближения: Ь вЂ” — 8 — (18Ро 16Ро 18Ро ]й Ко ) = — (5,8 — 5,8 — 5,8+ 4,884) = 0,916; Ьо= — йн = — Г1дРо 21дро !иКо ! (58 ( и, Н н,~ — 2 5,8+ 6,19) = — 0,39; !49 (7. 55) Таблица 7.! Х сь х„,ь Диссоции- роввииые молекулы Оствльиые Своаодиые иеиввест- клеим иые Атомериые имдестви Нвимеиоввкие уревиеииа (7.57) лх, л,л„ А!КРнр ы 18 Рн, А !о Рн А 18 Рр А !в А'л Диссоциация НЕ Диссоциация Н, Баланс атомов Н 1 0 0 6,25Х 12,25Х Х 10ь 1О' 6,25х 0 Х!Оь 6,25Х 6,25х Х!Оь Х!Оь — 1 — 2 6,25Х Х10ь 0 0,916 — 0,39 — 7,08 х Х10ь 0,21 Х х 10' 0 — 1 0 0 0 0 — 25х х 10' — 12,5х Х 1О' 0 Баланс атомов Р 6,25х Х10' 6,25х х 10' Общее число молей (уравиеиие Дальтоиа) 6,25х х 10' 1! 0 — 0,916 200 -1- 0,39 100 0 010 0 00! 0 000 1 йн =(Роту+ 2Ро + Ро) (625-1-2 625-1 625),!Оь 25 10ь; Вн 187.н 162!Уо 1я(25.
10ь) 1я(2,65. 10ь) 0 283. Бь= Вн(нвм — 0,283 25. 10'= — 7,08 ° !Оь. Ро + Ро) = (6,25+ 6,25) 10'= !2,5. 10ь р=!67-р !62Л',"=16(125 10) — 16(2 65 !Оь)= — 001-,; Ье = — ЬрУ.р — — 0,017 . ! 2,5 10' = 0,2125 . 10'; ро ро 1„ро ! ро ! ро 25 . 10ь. в  — !д ро 18 р — 1д (25 ° ! 0') — 1я (25 ° 10ь) = 0; Ь,= — В„ро=О. Выпишем всю систему уравнений в форме матрицы коэффнцнентов (7.53) для нахождения поправок (к примеру расчета сгорания фтора н водорода). Первое приближение дано в табл. 7.1.
Рассмотрим решение такой системы матричным способом с помощью методов линейной алгебры. В записанной матрице принятое распределение неизвестных (по столбцам) н уравнений (по строкам) позволяет получить в левом верхнем углу единичную матрицу, что дает возможность по ходу расчетов исключать часть неизвестных. й 7.1!. ОБЩИН МЕТОД РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ ДЛЯ РАСЧЕТА СОСТАВА ПРОДУКТОВ СГОРАНИЯ Общий метод отличается тем, что исходная матрица коэффнпнентов (7.53) предварительно расчленяется по схеме Выделенная единичная матрица (7 имеет порядок, равный числу днссоцннрующнх электрнческн нейтральных молекул газа ль.
Наличке единичной матрицы позволяет исключить т неизвестных, относящихся к днссоцннрующнм молекулам газа (х„х„..., х ), н составить определитель 1а„! для вычисления остальных неизвестных (х „; х,; ...; х„) по формуле !а,(=~аь:а,~ х~ — '~ (7.56) и„ где (7„— единичный определитель с порядком, равным числу столбцов ойределнтеля ! — а,!. К матрице 1а,! применяют способ решения методом обратного замещения вспомогательного определителя, после чего находятся все нензвестные, кроме парцнальнык давлений (концентраций) днссоцннрующнх молекул газов. После нахождения поправок (х, „, х„,ь, ..., х ) первоначально нс.ключенные неизвестные (х„х„..., х ) определяют по формуле В литературе по методике расчетов ЖРД не освещен анализ математических условий, прн которых ПС достигается безусловная сходнмость решений прн последовательных приближениях.
Однако большая практика расчетов по этому способу показывает сходнмость решеннй для всех известных композиций топлива, применяемых в ЯРД. Прн этом отмечается, что в случае большого числа неизвестных (свыше 12 — 15) конечные результаты расчета достнгаюгся с меньшим чнслом приближений, чем прн других известных способах решения такого рода уравнений. Исходная матрица коэФфициентов уравнений для первого прнблнження была получена в предыдущем параграфе. После расчленения этой матрицы по (7.56) запишем выражение промежуточного определителя 1аь! по уравнснню (7.57): 6 25,10ь 12 5 !О 625,10ь 0 — 25 10ь 7 08.!Оь( (а = 6,25 10' 0 0 6,25 10ь — 12 5-10ь 0 21.10ь х 6,25.10' 6,25 !О' 6,25 !О' 6,25 10' 0 0 Чтобы перемножить матрицы ]аь], число столбцов определители ] пз ' аз[ и число строк определителя ] — а,/(/„)] должны быть равны.
Если это не соблюдается, то в единичном определителе (/„может быть добавлена пустая строка, которая заполняется нулями„ Произведение матриц вычисляется поэлементным умножением строки определителя на соответствующий столбец определителя ]аз . 'аз[ и суммированием. Если обозначить произведение матриц через е„еьзе„еьь] ] Е ] = езьеззе„гзь езьФззаззем 1 то умножение первой строки ]аз аз] на первый столбец ] — а,/(/„) дает сц: (6,25 . 10' 1) + (12,5 10' 2) + (6,25 10ь . 1) + (О 10' 0) + + ( — 25 10' 0) + ( — 7,08 10' 0) = 37,5 10' умножение второй строки ]аз; аз[ на первый столбец ] — а,/(/„[ дает Гз6 (625 !Оь !)+(0.2)+(О !)+(625. !Оь.О)+( — 125.10ь 0)+ + (0,21 10' 0) = 6,25.
10'; умножение первой строки [аз; пз] на второй столбец ] — а,/(/„] дает е„: (625 ° 10ь ° 1) +. (!25 ° 10ь ° 0)+ (625 10ь ° 0) + (О ° !) + + ( 25. 10ь 0) + ( 7 08. 10ь ° 0) = 6,25 ° 10ь и т. д. Выпишем промежуточную матрицу; хз х, х, Свободные члены 37,5.! 0' 6,25 !0' — 25 10' — 7,92 !О' 6,25.10' 12,5.10ь — 12,5 10' — 5,5! ° !О' 25,10ь 12 5 !Оь 0 328,!Оь ] аь [ = Таким образом исключается часть неизвестных, относящихся к содержанию диссоциирующих молекул газа (х, и х,). Полученная промежуточная система решается методом обратного замещения. Для этой цели составляется вспомогательный, определитель [аь[ такого же порядка, как и ]аь]: С,С„С ...С,„а, СзьСззСзз ..
Сзьйз (7.58) [аз[= С,„С,„Сьз... С„„д„ 152 Вспомогательный определитель ]аь] по уравнению (7.58) заполняется в следующем порядке: сначала выписывается первый столбец из основной матрицы [аь] без изменений, потом вычисляются элементьв ФР У Сц = ац — (С,заы+ С~зац+ Сьзаз/+ ' ' ' )ь где С; — элементы в /-й строке Шззьз 4 з /ьго столбца матРицы [аз[; ац— элементы в (-й строке 1-го столбца матрицы аь. По формуле (7.59) вычисляют элементы на главной диагонали и вниз от нее (шаги О, 2, 4, 6, 8, ...). Элементы каждой строки вправо от главной диа- гонали (шаги 1, 3, 5, 7, 9, ...) в 1 отличие от уравнений (7.59) по- шпзи.п г 4 г в лучают путем дополнительного деления на значение диагонального элемента этой строки в определителе [аь] так: Сц — — [ац — (Сна„.
+ С1зац+ Сма„+ ° ) ]/С~ „,, „„,. Вспомогательный определитель по формуле (7.59) 37,5 10ь О,!67 — 0,666 — 0,212 [ аь [ = 6,25 10' 11,46 !Оь — 0,728 — 0,366 . 25.10ь 8 33, 10ь 22 75,10ь 0 222 (7.60) В этом определителе: по 1-му шагу С, =- 6,25 ° 10ь/(37,5 ° 1Оь) = 0,167; С, = — 25 10ь/(37,5 10ь) = = — 0,666; С,ь —— — 7,92 ° 10ь/(37,5 ° 10ь) = — 0,212 ," по 2-му шагу Сзз = 12,5 ° !Оь — 6,25 ° 10' ° 0,167 = 11,46 ° 10ь; С„=!2,5 10ь — 25 10'. 0,167=8,33.!О'; по 3-му шагу С, = ( — 12,5 ° 10'+ 6,25 1О' ° 0,666)/(11„46 10') = = — 0,728 и т. д.; С„= [ — 3,28 10'+ (25 10' 0,2!2)+ + (8,33 10' 0,366)]/(22,75 ° 10') = 0,222.
153 первой строки, затем элементы второго столбца, начиная от главной диагонали, которая соединяет все точки пересечения линий вниз, потом вторая строка от главной диагонали вправо, далее третий столбец от диагонали вниз, третья строка вправо и так до заполнения всего определителя (рис. 7.3). Элементы вспомогательного определителя (7.58) вычисляют по о м ле (7.59) «и = к»1 «и <и»а» < С<и ПлХ»! «и-И Зи-а С<л — 2< л «» С<л — 2< <л — <> Хи и-3 йи л С<л-3> л хи С<л-3! <л И хи < — С<л — П <л — П х и (7 6!) Тогда одностолбцовая матрица Здесь х< = — 0,366 — ( — 0,728 0,222) = — 0,205; хз = — 0,212— — ( — 0,666 0,222) — (0,167)( — 0,205) = — 0,029. После нахождения неизвестных хп х< и х, исключенные ранее неизвестные х, и х, определяют по уравнению (7.58): — 0,029 — 0,205 0,222 — ! ~ х, ~ ~ 110 — 0,916 ~ откуда х, = 0,682, х, = — 0,448.
С учетом вычисленных поправок х„х,, хп х< и х, можно определить парциальные давления ПС после первого приблйжения по (7.40): !ЯРнр = !ЯР<<.р+ х, = 5,8+ 0,682 = 6,482; Р„'р — 3040 кПа; 1д рн — — 1и р'„+ х, = 5,8 — 0,448»и 5,352; р' = 2245 кПа; 1дрн — — )дрлн+ х = 5,8 — 0,029 = 5,771; Рн —— 590 кПа; 1д р'„= 1ЕР'„+ «4 — — 5,8 — 0,205 = 5,595; Р„' = 394 кПа; 1Я Л<л = 1ц А', + х, = 0,813 -1- 0,222 = 1,305А<, = 10,83 моля; Ри = Рня+ Рн, + Рн+ Рр 5332 кПа. На этом заканчивается расчет с внесением поправок после первого <54 Из вспомогательного определителя !а,! находят неизвестные от хи„, до хи в виде одностолбцовой матрица<: х +<~ х „ хи Искомые неизвестные в виде одностолбцовой матрицы определяют следующим образом: 1.
Учитывают только элементы вспомогательного определителя !а,1, расположенные справа от главной диагонали. 2. Вычисления производят снизу вверх. 3. Элементы вычисляют так: приближения. Расчеты последующих приближений выполняют ана логично, а именно: при каждом последующем приближении вместо начальных значений в расчетные формулы вводят значения этих непзвестных, найденные с поправками от предыдущих приближений. 4 7.<2. РАСЧЕТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ТЕМПЕРАТУРЫ И РАВНОВЕСНОГО СОСТАВА ПРОДУКТОВ СГОРАНИЯ ПРИ ЗАДАННОМ ПОСТОЯННОМ ДАВЛЕНИИ В КАМЕРЕ СГОРАНИЯ При таких граничных условиях система уравнений для определения состава продуктов (7.36) — (7.39) должна быть дополнена еще одним уравнением для нахождения температуры сгорания, которое можно составить на основе закона сохранения энергии в виде баланса эитальпии. При постоянном давлении должно соблюдаться равенство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
