Основы теории и расчета жидкостных ракетных двигателей. Учебник под ред. В.М.Кудрявцева (1014186), страница 32
Текст из файла (страница 32)
ы. По уравнению Вант-Гоффа Ек, = [д (1и К~) /(д 1и ТИо — — [Ы/(КТ)),. й э ект диссоциации вещества Д,/ может быть- вз н ной температуре Т, или подс о а ии молекул до а мов по табл нно из таблиц при заданно исходя из уравнения диссоциации мо значениям теплосодержаний (энтальпий): (Д/)ге (/! — ае'/А — Ьг/в сг/с †... ) . Запишем теперь всю систе стему уравнений в линеаризованном виде.
Уравнения баланса элементов: для атомов А = — х Е (748 ) ЕЯ=,'Ра;А/о; 3 = 1д~а,й/Π— 1даой/Р ) ь' для атомов В (7 486) Е,=; Ь,А,; Ьв=[й",Р,Ь.Ь/ [йЬЬ/о Уравнения э лектростатической нейтральное р ти п и ионизации: — (ДР, Д[яА.-+ ~й/,„Д[йло,-+ 2~А/,',— + д[йл/„-+ ...)— ~е для конденсированных веществ — аД[йре — ЬгД1йрв сеД[ярс — .. — Ек Д[дТ= — Ь,; а [дро Ь [сро [сК'о ° о Е ° = [д([я К;./д([я Т)) = [Ду/(КТ)),; для положительных ионов Д[йре„+Д[ар,— — Д ар.,— Е, д[|Т= — Ь,„; ее+ Ьое+ = [Крее++ 1йре+ [КРе [Я К~о+1 о о о о ЕКЕ = [д(1а Кее+)/д(1СТН4 = [Д,//(РТ)) для отрицательных ионов Д1йре- — Д1ЯР- — Д,,[яр,— Ек Д[йТ= — 3е;; ее о о о о ~~о" = [Крее- Мре )Яре — 1Я Кее- ~ =- [д([я К,.-)/д([ят))о = [Д7/([(Т))„ Уравнения общего числа молей: для всех веществ (7. 50б) (7.50в) (7.50г) А/ д!дй/ Ьч/у~. /уо~ т, /уо Х 18~РЬ/о~ 1й/уоо .
(7 51а) для тазов ~т~р Д1яр 3 ро~ роо ~, ро~ о 1д~тР р 1яр (7 5!6) В этой системе линейных уравнений в качестве неизвестных фигурируют Поправки ЫдЖ;; Д!йрб ЯдТ; Ый/)/„, которые в дальнейшем используют для уточнения решений по формулам (7.36) для давлений 1дро = 1д роо+ Ыяро для концентраций 1дй/~ — — АЖ';+ Д1дй/о для темпе' ратуры 1яТ = 1дТо + Д[яТ, для числа молей топлива 1яЖ„= [йй/, + + Ыяй„.
Общее число поправок соответствует числу неизвестных, определяющих равновесный состав химически реагирующей смеси. Как правило, рассчитывают состав при заданных температуре и давлении. Когда в качестве начального приближения для температуры используется точно заданное ее значение, то член, содержащий Д[йТ, в уравнениях (7.50) должен быть опущен. Однако для общности записи этот член сохранен с целью использования всей системы в более сложных расчетах, когда температура не задается, а определяется. Почти во всех расчетах, когда температура сгорания ниже 5000 К, ионизацией веществ можно пренебречь и из системы (7.43) — (7.51) выпадают уравнения (7.49) и (7.50в, г). При отсутствии конденсированных веществ выпадают уравнения (7.506) и весь расчет состава компонентов для одних газообразных веществ можно вести по парциальным давлениям.
144 анагйаззааа ".. а,„Ь,; азуаззащан ""(аз Ьз *' дкссоцкврующке алектрическве иейт ралЬиые молекулы газа Конденсированные веще- ства атомарные алектри- чески нейтральные газы Нонизврую- щке вещества Остальньа' неизвестные а„а„а„а„.... а,„Ь,; Нет Нет х хс А 1ЯРн А 1Я Рр ха А 1я А1л хдхз А1ВРнр А1ЙРн, а„а„,а„,акй .... а„„Ь„. (7.53) для атомов, Р ( р,',„х, + р'„х,) — 7. х, = — В„7. 147 Для общности расчетов важно установить единообразие в порядке записи уравнений и единый алгоритм нахождения решений. Система а уравнений первой степени с и неизвестными в общем случае имеет вид анхз + аьчхз + а„х, + а„х, -1- ...
-1 а, „ ащхз + азахз + аззх + а, х -1- + а, аауха + аазх + азаха + а, ха -1- ". + а„х„= Ь,; а„,х, + а„,хо+ а„ха+ а„ах, + ... + а„„х„= Ь„. (7.52) Такая система решений задается в виде матрицы, содержащей столбцы коэффициентов при неизвестных и столбец свободных членов: Столбцы в этой матрице располагаются по порядку номеров неизвестных хо х„х„х, и т. д. Таким образом, третий столбец отводится под коэффициенты уравнений при третьем неизвестном. Свободные члены уравнений записываются в последнем столбце. В рассчитываемойсистеме (7.48) — (7.51) роль неизвестных х„х„ х„х, играют определяемые поправки Ыярь Л1д)уь Гз1дТ, ЫЯУ„, расположение которых по столбцам (по порядковым номерам неизвестных) влияет на удобство расчетов. Поэтому условимся располагать по порядковым номерам неизвестных (по столбцам матрицы) определяемые поправки: а) поправки к диссоциирующим нейтральным молекулам газообразных компонентов; б) поправки к атомарным компонентам; в) поправки к конденсированным веществам; г) поправки к нонизированным компонентам; д) поправки к числу молей топлива Л181у„и температуре А(ЯТ (если она подлежит определению).
Последний столбец отводится для свободных членов уравнений. Матрицы уравнения (7.48) — (7.51) располагают по строкам в следующем порядке: 1) уравнения диссоциации электрически нейтральных молекул газа (7.50а) (в той же последовательности, как эти молекулы разнесены в столбцах); 2) уравнения диссоциации конденсированных веществ (7.50б) (в той же последовательности, как эти вещества разнесены в столбцах); 3) уравнения ионизации (7.50в, г); 4) уравнения баланса элементов (7.48) (в том же порядке, как эти элементы записаны в столбцах); 5) уравнение электрической нейтральности (7.49) и уравнение общего числа молей (7.51), или уравнение Дальтона; 6) уравнение сохранения энтальпии или энтропии, если температура не задана, а подлежит определению. 14б й 7,10, СОСТАВЛЕНИЕ ЛИНЕАРИЗОВАННОИ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ РАВНОВЕСНОГО СОСТАВА ПРОДУКТОВ СГОРАНИЯ ПРИ ЗАДАННЫХ ТЕМПЕРАТУРЕ И ДАВЛЕНИИ Рассмотрим простейший пример определенна равновесного состава ПС стехиометрической смеси фтора Р, и водорода Н, при температуре Т = 4600 К и давлении рк = 2500 кПа.
Эта простая смесь при заданной температуре содержит в газообразных ПС всего лишь четыре составляющих: НР, Н„Н, Р. В этом случае рассчитывают концентрации или парциальные давления этих веществ. Для рассматриваемого двухэлементного исходного топлива условная молекулярная формула А„Вйо = Н,Р„где а, = 2 и Ь„= 2. Определяемые неизвесные распределяются следующим образом: Запишем систему уравнений (7.48) — (7.51) в той последовательности, как они будут располагаться по строкам расчетной матрицы, придерживаясь правил З 7,9. Уравнения равновесия в форме (7.50): для диссоциации НР Х,— х,— ха ыв — Вняв (Анана) = (НР); а, = 1; Ь, = 11 — — йр Здесь слагаемое 7.Кнр ИдТ отсутствует, так как по условиям расчета температура задана; для диссоциации Н, х,— 2х,= — бн,', (А,зВзз) =.
(На); а, = 2; Ь; = 0; Вн — )йро 21яро 1РКо (слагаемое йкн, Л 1д Т отсутствует). Уравнения баланса элементов в форме (7.48): для атомов Н (Р~,рх, + 2рйхз+ Рноха) 7'нха = бн7н' н Р + ~рй + ро Вн ~й7.н ~д27то ! и = Рйз + Рз ' 8 и = 1д 1 з — !д 2Ж'. Здесь учтено, что при расчетах на й(„молей исходного топлива на основании (7.29) для газов Р~ = д!ь Уравнения общего числа молей для газов в форме (7.51б): Рзнх1+ Рй,хо+ Рйхо+ Розхо = йа Рм ' Роо = Рй.
+ Рй, +Рй+ «Ф '., = 18, ~ — 16 Р.. Для решения этой системы уравнений методом последовательных приближений сначала задаются начальными значениями искомых неизвестных Ро„, ро, Ро, фи й!о или их логарифмов !ярйр, 1Я Ро, 1дро, !Ярон и 18)Уо. Затем, РешаЯ системУ УРавнений, находЯт поправки х„хо, хо, хм хо, по которым уточняют значения искомых неизвестных согласно (?.36): )з Риз )зРнн+ '"1 ' ЙРн, = ЙРй, + х,'„ !ай! = !КФ~„+ хо. Уточненные значения искомых неизвестных рнз, р„,, рн, ро и Ж„являются лишь первым приближением к окончательным результатам. Для дальнейшего уточнения значений искомых неизвестных расчет повторяют, принимая вместо рнр, рн„рн, ри и Ь1, новые о о о о о значения, полученные после первого приближения, а именно: Р„„„Р„, Ргн Р'„и ЛГ . Так постУпаютдо тех поР, пока окончательные результаты расчетов не достигнут заданной точности определения неизвестных.
Основная особенность метода последовательных приближений со~гонт в том, что окончательное решение не зависит от выбора начальных значений искомых неизвестных, которыми задаются в самом начале расчетов. Можно положить начальные значения всех неизвестных равными нулю (1дрйг = !дрй = !ирй = 1дрз„=!д(У,' = О) или задать им какие-либо ориентировочные значения. Иногда нулевые начальные значения парциальных давлений придают лишь тем веществам, содержание которых в ПС предположительно мало.
В качестве ориентировочных величин, отличающихся от нуля, можно взять те значения, которые находятся из приближенных расчетов сгорания без учета диссоциации или с учетом диссоциации, но выполненных для других значений температуры и давления ПС этого топлива, близких к рассчитываемому варианту. Выбор начальных приближенных значений неизвестных влияет лишь на число операций по последовательному приближению к окончательным результатам. Другая особенность метода последовательных приближ 148 стоит в том, что точность расчета повышается по мере приближения к окончательным результатам.
Поэтому в начале расчета необязательно требовать большую точность вычислительных операций. В первых приближениях вычисления могут производиться с округлением знаков, а в дальнейшем число учитываемых знаков в каждом последующем приближении необходимо повышать до требуемой точности.
В отличие от точных решений уравнений по аналитическим формулам в методе последовательных приближений ошибка, допущенная в ходе вычислений отдельных цифр, увеличивает трудоемкость работы. В рассматриваемом примере для иллюстраций начала решения совершенно произвольно зададимся одинаковыми начальными значениями парциальных давлении Рни=Рй, = Ри= РЪз=Ро!4 =25 ° 10 74=6,25-10' или их логарифмов яро 1яРо !яро 1дро !а(625. 10') 58 Условная реакция образования ПС из топлива через число молей й1„(НД) — Л' + )Ун, + )У + )Р Чтобы удовлетворить условию (7.29), при котором для газообразных продуктов сгорания !о, = Р и Ж1 = р„нужно вести расчет на такое число молей исходного топлива й(„, когда масса ПС будет равна массе взятого топлива.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
