Механика жидкости и газа. Избранное. Под общей ред. А.Н. Крайко. (1014100), страница 34
Текст из файла (страница 34)
у* — квадратичный, а (х — хо) кубический полипом от хо. Введя новые переменные по формулам х= ~, х, р*= ~ у, Й =771, р=~— ьр, (4.2) 12ьь'р,Ъ'ЧьГ ' ' р„$ьДГ ' ' 12 представим эти зависимости в виде — (ь о 2)з У= 1+ —, х — хо = (1о+6)~1+ — ) = — + 12' 1 12) 3 12 Задача о дооэеении тео о аоаооояеесо среде 197 1.11) Пля распределения давления (с точностью до постоянной) и температуры стенки получим р = — ~ —., д(У вЂ” Уо), ЬТ = "' = — — 2й+ 6. г й — 12Л(Т вЂ” Т„,) й / ф ' р11а 2 о Рис. 8 иллюстрирует в безразмерных переменных поведение толщины слоя расплава, у и градиента давления )с.
Толщина слоя сначала уменьшается, достигает при х = хо -1- 6 минимума у,*о,„= = ро'~/1р,1~61), а затем вновь возрастает. Величина к монотонно растет с увеличением У и обращается в нуль при х = хо + 6, т.е. там, где минимальна толщина слоя; давление в этом сечении имеет максимум. 10 0 10 20 Х вЂ” Хо Рнс. 8 Р 0 40 20 0 20 Х вЂ” Хе -10 — 20 Рис. 9 Графики давления и температуры в безразмерных переменных приведены на рис. 9. Температура стенки сначала монотонно падает, достигает минимума ниже сечения с наименьшей толщиной слоя, а затем вновь возрастает.
При х — хо = 16/3 производная ЭТ)дх~ обращается в бесконечность, так что, строго говоря, вблизи этого се.— чения нарушается предположение теории тонкого слоя о возможности не учитывать тепловой поток в продольном направлении. [Гл. 198 Г.Г. ЧерньЮ Исгюльзуем полученные универсальные зависимости вновь для решения задачи о плавлении бруса шириной А, прижимаемого к пластине силой У.
Как и прежде, для этого необходимо найти значение параметра те. Лля определения зависимости этого параметра от величины прижимающей силы У, а также от скорости плавления У в рассматриваемом случае имеем два соотношения 12М 1 Р( — хо) = Р(хь — *о): 1' = = / [РЮ вЂ” Р( — то)] Ж, р,1ЧЬ хь — *о — 11з) На рис. 10 приведены зависимости и ~ = (12ЯР„ЬуЛДРсГз))'~зУ и хе/Л от 1'' = 12ХУ/(р,1ьуЬ). В качестве примера их использования на рис. 11 приведены графики давления Р = — ' [Р(х - *о) — Р( — тп)) р,,а, 12% и температуры для нескольких значений У; светлые точки на каждой кривой соответствуют сечениям и = те.
— 1 2 у' Уппп Рис. 10 10 70 35 0 02 04 05 06 х!1 0 Рис. 11 Задачи о движении тео в иваовичеесв среде 199 1.11) Пусть теперь задана постоянная температура пластины Т„, > Т Тогда первое условие (4.1) баланса массы на поверхности фазового перехода остается тем же, а второе условие (4.1) баланса тепла заменится согласно (1.16) следующим: Л~Чи — Чп~) + р + — + — 11 = Рв 1лру 2 Введя те же безразмерные переменные (4.2), приведем определяющие соотношения к виду Ле а 1Л вЂ” ЛГт.
— т„) 'в' = Л+ )л — + — + -(: я — то = (я+6)Р )л24 б 2( ' рге2 Таким образом, в отличие от предыдущего случая определяющие соотношения содержат задаваемый параметр г. На рис. 12, а представлена в безразмерных переменных зависимость у* от Е = я — яе для нескольких значений Л. 'Толщина слоя с ростом~ уменьшаетсядозначения у„„о = г+ 1/3 при 6 = 4(Л+ 1/3), а затем вновь возрастает.
Величина й с ростом 6 возрастает,переходя через нуль при ~ = бл + 3. Графики ь(С) приведены на рис. 12, б. Чв 2 !Е Ц 20 -5 0 -5 0 Рис. 12 Соответственно давление (рис. 12,в) сначала растет, достигает при с = бг+ 3 наибольшего значения, а затем вновь убывает. (Гл. 200 Г. Г. Чернеть Тепловой поток к пластине определяется формулой Графики этой зависимости для трех характерных значений 1е, лежащих в диапазонах (О, 1/3), (!/3, 1/2) и (1/2ь оо), приведены на рис. 12ь г.
Видно, что при небольшой величине разности (Т„, — Т„,), отвечающей Л ( 1/3, тепловой поток направлен к пластине (положителен), т.е. плавление происходит за счет тепловыделения при диссипации механической энергии в слое расплава. С ростом разности (Тм — Т„) появляется все больший участок пластины, от которого подводится тепло к потоку. При некотором значении этой разности вся поверхность пластины под брусом является источником тепла.
1'асчет зависимостей от прижимающей силы скорости плавления бруса Р и долей расплава, выжимасмых из-под бруса в разных направлениях, т.е. величины хо, проводится по тем же формулам, что для теплоизолированной пластины. 5. В заключение рассмотрим задачу об образовании слоя расплава при движении кругового цилиндра нормально к своей образуюьцей в твердой плавящейся среде.
Сферический аналог этой задачи в приближении Стокса и без учета вязкой диссипации в слое рассмотрен в (6). Согласно рис. 13, в этом случае у = х/2 — х/ьо, где Л . радиус сечения цилиндра, а х расстояние от передней точки вдоль окруж- У ..: '.:.: ' ' ности. Соотношения (1.13) прини- Х мают при этом вид (вновь пренебрегаем оттоком тепла в твердую среду) А [ х йо1 (1 — 2ьЧ)Ъь вш — + — ~ у' + Л. 61 У ь'1' х 1 ььйо1 + ( — соз — + — — )у О (,В В 6 ь1х) = 2ХЪ'соз — ', В' Л(Т.— Т )+ (5.1) /ао 2 хо + ьь ( — — — аохо+ — ) = 1,2 3 4/ = р,Ъ'Ьуу' (соз — + у' яш — ), Рис.
13 ао = о' з1ьь(х/ьг) + йо/2. Начальные условия для решения этой системы возьмем в виде х=О: у =уо=Л(Т вЂ” Т )/(рУЬЕ), Ь=О. (52) Введем безразмерные переменные, обозначенные черточкой сверху, х = ьЧх, У* = ьЧУ, Ь = 1ьй, а = Ъ'аь а = з1пх+ Ь/2. Задачи о доижении тео о иоаохозейся среде 201 1.11) 0.5 — 0.5 Рис. 14 В них система (5.1) с начальными условиями (5.2) приобретет вид 1 ~ .)= йзду Р 1 дйз (1 — 2о') я1пх+ -~ — '+ ~соях + — — )у = 2Л1соях, б! ду '1 б дх) (5.3) — + р( — — — стХ+ — ) = (соях+ — 'яшх(у, В (2 3 4) (, дх у(0) =у,УЛ, й(О) =0.
Эта система содержит кроме Л еще два параметра: е = уо/Я и д = ру'/(р.ь1л). После нахождения из системы (5.3) зависимостей у(х) и й(х) интегрированием соотношения Нр/с1х = — 1сн/уоо находится распределение давления, а интегрированием составляющих избыточной силы давления и силы трения в направлении движения — сопротивление лобовой части цилиндра Яио Х = 2 / ~,тсоят+ (р — ро)яш у) с(х = о 1о о,' о = 21сЪ' д1 ~ сйпх+ соя х д1 — с1х с1х = 2рГХ. С ((о1вх+У/2) . Г й у Р' Задачи о доижсиии теа в плавящейся среде 203 1.11) Результаты расчетов для случая д = О, Аг = 1 и разных значений параметра в = А(҄— Т )((р,Ъ'АЕЯ) представлены на рис. 14 и 15. На рис.
14 показана форма поверхности слоя расплава; штрихован линия отвечает поверхности цилиндра, кривые 1. 4 соответствуют значениям в ° 10з = 5, 10, .25 и 50. На рис. 15, а представлены графики величины й, иллюстрирующей (с обратным знаком) поведение градиента давления вдоль поверхности цилиндра, а на рис. 15, б и в распределение избыточного давления р — ри = ЕяГ(евЕЕ) ~р и поверхностного трения т = ЕгЪ'(еК~ 'т. Наконец, на рис. 16 представлены значения сопротивления лобовой части цилиндра Х = 2д)'в зХ(в) и полного теплового потока от нее в плавящуюся среду = 2р,ЕтЬЕЖ~(е).
Литература 1. Черный Г.Е". Движение пластины н твердой планяпв йся срепе В ПММ. 1991. Т. 55. Вып. 3. С. 355 — 367. 2. Яаио А., ЕЕЕайа У., АНуовйв М., Касауати К. Оп ЕЬе сопсасв Ьеа! ЕгапвЕег и!ЕЬ пт!вт8 // Вп11. ЛИМЕ. 1985. Ъ'. 28. Хв 242. Р. 1703 — 1709. 3. Черный Г.Г. Движение плавящегося твердого тела между двумя упругими полупространствами // Докл. АН СССР. 1985. Т. 282.
№ 4. С. 813- 818. 4. Ведал А. ТЬе ЕппдащепввЛв оЕ в1ьй!п8 сон!асс апс1 Егкйоп // Тгапв. АКМЕ. Л. 11еа! ТгапвЕ. 1989. Ъ". 111. Х: 1. Р. 13-20. 5. Сквориова А.В. Движение горячего клина в плавящейся среде // Изв. АН СССР. МЖГ. 1988.
№ 5. С. 52- 57. 6. Втегтап Я.В., Тигсопс Ю.Д Яво1се'в ргоЫощ ягЫЬ ще!Ип8 // 1пвегп. Л. 11еа! апгЕ Мавв Тгап!ег. 1983. У. 26. Х. 11. Р. 1625 1630. Г л а в а 1.12 НОВый ВИД К3 МУЛЯПИИ ЭНЕРГИИ И ИМПЗЛЬСА МЕТАЕМЫХ ВЗРЫВОМ ПЛАСТИН И ОБОЛОт4ЕК") С..И. Зоненко, Г. Г. Черный Неустойчивость поверхности раздела двух деформируемых сред и, как частный случай, неустойчивость свободной поверхности деформируемой среды -- предмет давно начавшихся и многочисленных исследований. В особую группу проблем этой области можно выделить вопрос об устойчивости слоев различных материалов при динамическом действии на них массовых или поверхностных сил.
Примерами могут служить поведение горизонтального слоя магнитной жидкости после включения магнитного поля, направленного против силы тяжести [1[, или образование периодических структур на поверхности раздела двух соударяющихся с болыпой скоростью под углом металлических пластин при сварке взрывом [2[. Неустойчивость цилиндрических оболочек при их расширении под влиянием бегущей внутри оболочки мощной волны давления и образование при этом периодических в окружном направлении структур на поверхности оболочки наблюдались в работе [3], о чем свидетельствуют приведенные в ней схематично вид оболочки до ее разрушения и разлета, а также соответствующие фотографии.
Авторы, однако, вовсе не остановились на анализе этого явления, ограничившись расчетом только осесимметричной деформации оболочки под действием высокого внутреннего давления, возникшего при взрыве ВВ. Принятая при этом механическая модель оболочки обсуждается и используется в настоящей работе. В экспериментах [4[ при нормальном ударе свинцовой пластины о поверхность пластины из стали и других металлов наблюдалось образование локализованных осесимметричных структур с "выплесками" материала стальной пластины, имеющими характерную кону- *)Покл.
РАН. 2003. Т. 390. Х-- 1. С. 46-50. 1.12] Кумуляиин энергии и импульса метаемых взрывом пластин 205 совидную форму. При толщине свинцовой пластины, равной 2 м.м, и скорости метания порядка 500 м/с поперечный размер Л осесимметричной структуры составлял несколько толщин метаемой пластины (для стали 6мм, для меди 5мм, для титана 8мм), а отношение высоты авыплескав к диаметру равнялось примерно 0.5. Перечисленные работы демонстрируют образование локализованных или периодических структур, кардинальным образом меняющих первоначально невозмущенную поверхность деформируемой срсды. Упомянем еще, что в условиях, аналогичных условиям работы ]3], в случае водяной оболочки достаточной толщины наблюдалась (К.И. Козорезов, устное сообщение) игольчатая структура внешней поверхности оболочки ("ежик") до распада ее на капли.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
