Механика жидкости и газа. Избранное. Под общей ред. А.Н. Крайко. (1014100), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Л. Неаг авг1 Мачя Тгапгег. 1983. Ъ'. 26. № 11. Р. 1625 — 1630. 2. Яайо А., Нгоро У., А!ггуозйг' М., Кагауапга К. Оп г!ге сон!асс !генг ггапя|ег гч!г!г те!гшб,',~ Вп!!. ЛЯМЕ. 1985. У. 28. № 242. Р. 1703 — 1709. 3. МоиНетг М.К., Игз!гаггггг Н. Апа1уяЬ о! с1ояе-сон!асс шерйп8 !геаг ггапя!ог П 1пгегп. Л.
Неаи апй Мазе Тгапяуег. 1986. У. 29. № 6. Р. 855 — 867. 4. Черный Г.Г. Движение плавящегося твердого тела между двумя упругими полупространствами П Докл. АН СССР. 1985. Т. 282. № 4. С. 813— 818. 5. Черный Г.Г. Механизм аномально низкою сопротивления при движении тел в твердых средах П Докл. АН СССР. 1987.
Т. 292. № 6. С. 1324- 1328. 6. Черный Г.Г. Испарение движущегося твердого тела при контакте с нагретой пластиной П Газовая и волновая динамика. Мз Изд-во МГУ, 1979. Вып. 3. С. 35-41. 7. Кочин Н.Е., Кобель И.А., Розе Н.Н. Теоретическая гидромеханика. Ч. 2. М. Лс Гостехиздат, 1963. 727 с. 8. Черный Г.Г. Ламинарные движения газа и жидкости в пограничном слое с поверхностью разрыва,',~ Изв. АН СССР. ОТН. 1954. № 12.
С. 38 — 67. 9. Седов П.И. Методы подобия и размерности в механихе. Мс Наука, 1987. 430 с. Глава 1.11 АСИМПТОТИЧЕСКИЙ МЕТОД В ЗАДАЧАХ О ДВИхКЕНИИ ТЕЛ В ПЛАВЯЩЕЙСЯ СРЕДЕ*) Г. Г. кХерньгй Рассматриваются плоские задачи о движении тел в плавящейся твердой среде и о скольжении одного тела ло поверхности другого с образованием слои расплава в зоне контакта тел. Для тел достаточно обшей формы развит асимптотический метод, использованный в (Ц для случая движения пластины. Решены задачи о движении клина и о поперечном движении круглого цилиндра. Подробно изучена задача о скольжении бруса ло плоской поверхности с плавлением материала бруса в зоне контакта. 1.
Пусть на неизменяемый контур (рис. 1) надвигается с постоянной скоростью Ъ' твердая среда, имеющая вдали перед контуром температуру Т и образующая вблизи контура слой расплава или у у'(х) .." . х пара. Введем обычные в теории тонкого слоя координаты: х вдоль контура, у по нормали к ному; У у1х) начало координат О поместим в произвольной точке контура. Угол О наклона элемента контура к направлению скорости твердой среды Цх) обозначим через у(х), координату у поверхности фазового перехода через р*(х). Примем, что точки контура могут перемещаться вдоль него со скоростью о' (х). Уравнения, .описывающие течение расплава и распределение температуры в нем, возьмем в приближении тонкого слоя *) ПММ.
1992. Т. 66, Выл. 3. С. 368-385. 186 Г. Г. Чериьйь / ди ди) ь1р д и р и — +и — = — — +р —,, дх ду! ь1х ду' ' е дт И"~ дзт реями — +и — ~ =Л вЂ” + дх ду ь) дуь ди. ди — '+ — =О, дх ду (1.1) Здесь и и и --. составляющие скорости в направлениях осей х и у, р давление, Т вЂ” — температура.
Физические параметры расплава плотность р, удельная теплоемкость с, коэффициенты вязкости и теплопроводности р, и Л приняты постоянными. Соответствующие величины рьь с, и Л, для твердой среды, как и поглощаемую при плавлении удельную теплоту йу и температуру плавления Тим также будем считать постоянными. В соответствии с уравнением неразрывности введем функции> тока уь так,что и = дуь/ду, и = — дьУ/дх.
Краевые условия для уравнений (1.1) имеют вид у=О: 4=О, дф!ду=У(х), Т=Т,(х): у = у*: и = К соя у — (Ъьзьп у+ Ъ")ь1у*/ь1хь Т = Т ЛдТььду ь1х — рлу ь7ь)ь = Л,дТ„(дуг1х. (1.3) Температура Тьь,(х) может быть не заданной, а определяться из дополнительнььх условий, например из условия дТ(ду~ = О. Последнее условие (1.3) выписано в приближении тонкого слоя, все остальные справедливы и в точной постановке задачи. Выражение Л,дТь(ду в уравнении баланса тепла на поверхности плавления находится из решения задачи о распределении температуры в твердой среде дт /д'Т дзт' при краевых условиях у = у': Т = Т„„, у — ь сю: Т = Т -р '(ь1р/еьх)у'з = к(х) (1.4) При использовании функции тока уь второе уравнение системы (1.1) будет удовлетворено, а уравнение импульсов и уравнение для температуры в новых переменных примут вид д дх дх,/ ЛТи + рьрьь2 = рс ~д* (ьр' — — Т' — ) — у" у'ьрТ'1 .
(1.5) Необходимость определения неизвестной заранее границы у = у" (х) делает эту задачу связанной с задачей о течении в слое расплава. Следуя идее работы ~1), введем вместо х и у новые независимые переменные х и ь, = уьд", функцию тока представим в виде ьр = = у*эь(~, х) и введем вместо ь)р,ь'ь1х новую величину Й(х) по формуле Задачи с деижеиии теа е иааеяисееся среде 187 1.11) Штрихи у са и Т обозначают их частные производные по 1„а у' = = 111д" /йхз Краевые условия (1.2) и (1.3) для течения в слое преобразуются к следующим (1ч' = р,/р) С=О: 1Р=О, 1Р1=П(х), Т=Т; (1.6а) 1, = 1; (1 -Ь у'*2)1р' = 1с соо у + + (Ю вЂ” 1)(су'* 01п у+ 2ЛС)суак созу, Т = Т рй(у*1р) = Р„Ъ'(з1п у йх+ гозуйу*), (1.об) ЛТ'йх+ Рейду'й(у*1Р) = Л,у'(дт,/ду) йх. Р 1РО+1Р1+1Р2+ ° Т=70+Т1+Т2+ йо + и1 + а2 + . У У1 + У2 + УЗ + (1.
7) где индекс слагаемого обозначает его порядок малости. Такое представление не является единственным; каждый член суммы может включать и некоторую часть более высокого порядка. Подставив выражения (1.7) в уравнения (1.5) и краевые условия (1.6), суммируя члены одного порядка и приравняв эти суммы нулю,. получим системы соотношении для последовательного нахождения членов выражений (1.7). Приведем эти системы для величин, выписанных явно в выражениях (1.7). Из уравнений (1.5) получим ри'+ й, = О, Лта + Ура' = О, Рза+Ь, =О, Лта+2рр'„'р",=О, !П ! дЗ20 а д220 . и (1.8) "(Р2 + "2) = У1 (1ро д 'Ро д ) У1У11Р01ро Лта+ р(1Р1' + 21Р01Р2) = рс (у1 (1ро — — То У1У11рот01 дх дх г Краевые условия (1.6) дают С=о: 1Ро=о, 1ро=(7, То=Т, (1.9) ! 1Р1 = Р1 = Т1 = 1Р2 = 1Р2 = Т2 = О; Условие для 1Р'(1) получается путем комбинации первого и третьего условий (1.3).
Пля применения асимптотического метода будем считать величину у' и ее производную у'* малыми. Условия, при которых величина у* действительно мала в сравнении с характерным продольным масштабом жидкого слоя., определяются в процессе решения задачи.
Представим функции 1Р и Т, а также а и у* в виде бесконечных сумм (Гл. 188 Г.Г. Чоряме (1.11) Т, = Т„+ (Т вЂ” Тм) ~ + Р Д1 — ~) Ъ вЂ” '"' + — "'— Л ~2 3 12 «г 2 2 «Р ОО ОО~О ~0 2 "о з~ Т = Т вЂ” Тм+ — ( — — — + — — о я + «201«оя Л( 2 3 12 3 /' (1.12) ««о = «ро(0, х) = Ъ« сов 7 — (7 + — . о яо 2 ~ = 1: «ро = 1'сов у, .То = Тя, Воз~ = («Ч — 1)Ъ'в«п уу1, Т1 — — О, «рг — — (Х1«сов7 — ро)уг + («Ч — 1) ып7уг, Тг — — О, («Ро — ХЪ'сов У)У' + У1 —— ХЪ'вгп7, д«ро («ро — 1Л1~ сов 7)уг + Уг = — (101У1 + У1); дяоо « . д«р« дяоо д («ро «0 ««сов7)уз + Уз = («р1уг + «ргЦ~ дх ' дх ЛТо+ р,Ъ 117(угвй17+ угу, сов 7) = Л,У1 ду ' дТ. ЛТ1 + р«Ъ Испуг вш у + (угуг + угу1) сов 7] = Лоуг ду « дТ, ЛТг + ро о ««5(уз ячп 7 + (у«Уз + Угуз + Узуг) сов 7) = Лоуз —.
ду Так как балансовые соотношении на поверхности фазового пере- хода (третье и четвертое соотношения (1.66) при (' = 1) определяют порядок у* и саму эту величину, то в соответствующих им в главном приближении выражениях (1.10), определяющих величины У1, долж- ны быть сохранены главные части всех слагаемых.
Отметим, что последовательные слагаемые в выражениях (1.7) для «р и Т представляют собой полиномы от ~ повышающегося по- рядка с коэффициентами, зависящими от х. Влияние конвективного переноса в этих выражениях сказывается, лишь начиная с членов вто- рого порядка малости. Согласно первому уравнению (1.8)., функция «ро полипом третьей степени от б. После определения его коэффициентов при помощи пер- вых двух условий (1.9) и первого условия (1.10) найдем 1 / УО 1 2 йо 3 «ро = 1«'я + —, (1«сов7 — 17+ — ') Ь 2) б йо 1 яо 2 «р = О«+ ($'сов у — 17+ — ) ~ — — ( .
о= 2) 2 Температура ТО, согласно второму уравнению (1.8), полипом первой степени от Ь, если вязкая диссипация не учитывается, .и по- липом четвертой степени — — при ее учете. Определив коэффициенты полинома при помощи третьего условия (1.9) и второго условия (1.10), найдем 1.11) Задачи о движении тон е иааениееясн среде 189 Пва условия (1.10) при ~ = 1 для функций ~ро и То, выражающие условия баланса массы и баланса тепловых потоков на поверхности фазового перехода, после подстановки в них ~ро(1, х), д~ро/дх[ и То(1, х) из выражений (1.П) и (1.12) превращаются в систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка для функций у'(х) и йо(х) '[Г+ (1 — 21ч')асов у+ — 1 у'"+ ( — +1' ' ' + 1 дво1 + — — ) у" = 2Х'г' айп у, 6 дх) (1.13) — ЛХв(1) = Л(Тм — Тт) + р — — — стойо +— ~2 3 4/ = р,)'1еуу*(ят у+ у'* сов у) — Л,у' — '.
ду Пля решения этих уравнений с учетом соотношения (1.4) в общем случае требуются три краевых условия для у*(х), Й(х) и р(х). Если не учитывать вязкую диссипацию в слое, то из уравнения баланса тепловых потоков член с р выпадает и величину у*(х) можно найти из этого уравнении независимо от уравнения баланса массы. Последнее служит затем для нахождения но(х). Рассмотрим сначала задачи о течении расплава в слое у прямолинейной части контура. В этом случае у = совя1 и исходное соотношение баланса масс на поверхности плавления (1.6) при ~ = 1 интегрируется в конечной форме (в дальнейшем индекс О у величин главного приближения опускается) ру*~р = р,$'[(х — хо) сйп у+ (у" — уо) соя-~).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
