Механика жидкости и газа. Избранное. Под общей ред. А.Н. Крайко. (1014100), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Уравнение (2.3) для Т, интегрируется независимо от двух других. Опуская стандартные выкладки, запишем его решение, удовлетво- (2.2) (2.3) (2.4) ряющее условиям (2.6) — 1 г,=~ — е -е„')/.«р( — "з,) ь еь. р( — ')е,~ . (е.7| Отсюда найдем величину Т„'(Ч'), входящую в правую часть последнего краевого условия (2.5), — 1 Т'(и') = — (1 — Т )ехр — ~, ) ~ I ехр ~ — ~ / йу . (2.8) е а* а для зависимостей у* и р от х получим у* = л*з/их/1е, р = — рг' Й1п(х/А). Здесь л* и й —.
безразмерные постоянные, а Ь вЂ”.- произвольная постоянная с размерностью длины. В действительности фронт плавления отходит от передней кромки пластины вперед на расстояние 1,т, которое по порядку величины равно 1.10) Движение нвастаинм в твердой ннавницедсн среде 175 Уравнение (2. 1) не интегрируется в конечной форме (при й = 0 оно переходит в известное уравнение Блазиуса). Обозначим через р(и1, и, а) функции, представляющие его решения с начальными данными р(0) = ~р'(О) = О, рн(0) = а. (2.9) Отметим, что эти функции можно записать в однопараметрическом виде, положив р = ~Ч'7'р(1й'1'~0 ~Ч 'с') где 1о((,3) удовлетворяет краевой задаче + — р р + 1 О, р(О) д (О) О, д (О) Р (знак плюс при к ) О, минус. — при й ( 0).
Такая возможность может быть полезной при численном решении сформулированной задачи, но не дает преимуществ при получении аналитических результатов, и поэтому в дальнейшем не используется. Для каждой функции р(и1, й, а) решение уравнения (2.2) с начальными данными Т(0) = Т„, Т'(0) = т имеет вид '1 )' и и Т = Т, + l ехр — — (~рс1и1 т — т Рг( уз ехр — ('зис1и1 Й1 2 / ) / ( 2 l о о п (2.10) и=о первые коэффициенты которого даются формулами Аз — — — -а 2 2 Ао=О, Аз=О, Аз —— а, Аз се — й, А4=0., 45 Ао= — — ах, 3 11 з Аз = — а, 4 Азо = 64 айз, Обозначим эти решения через Т(и1, й, а, т); зависимость от задаваемых параметров Тм, Рг и щ здесь не указана. Полученные таким образом решения для ~р и Т удовлетворяют условиям (2.4) при и1 = О.
Первые три условия (2.5) при с1 = и' (являющееся, напомним, уравнением баланса тепла на поверхности фазового перехода) представит собой уравнение для определения т1* через все задаваемые параметры сформулированной задачи. Нахождением т1' и завершается се решение. Функцию ~р(т1., й, а), т.е. решение уравнения (2.1) с начальными условиями (2.9), можно представить в виде ряда (Гл.
176 Г.Г. Чорима (при и > 8): А„„з 1!Аз А„ и! 2 ~ 2! (и — 2)! Аз А»-~ А. А -з 3! (тз — 3)! 5! (и — 5) ! А — з А- А — зАз А Аз ...+ — + + (и — 3)! 3! (и — 1)! и! Пользуясь этими формулами, установим следующую структуру ря- да (2.10): Азо-з зу — з + Азз 3 „Азлы зн-з ~(32-1)! Ц (3!)! ' (31+1)! Ц 'р=х~' ~ ц + ц + ц о=1 !зу — О з — поз~ з ~=~ с, о !зй 1 — з — мйз~ зу= ~~с, о ю=-о йз ~ !зу~-0 1 — 2 — ийз( с,' н ~=о Численные коэффициенты с~ отличны от нуля лишь для тех = 0,1,2,...
(и тех у), для которых показатель степени у о неотрицателен. При и = 0 ряд для ~р переходит в полученный ранее Блазиусом: '"' [зз — О со 1 зз-з (3! — 1)! у=а Таким образом, используя для нахождения функций р(ц, й, о) численное интегрирование уравнения (2.1) или представляя их конечным отрезком ряда (2.10), можно в конкретных случаях определить все зависимости, дающие решение поставленной задачи. 3. Применим для решения задачи (2.1) — (2.6) асимптотический ме- тод, предполагая малой величину ц*.
При этом будут выяснены и условия, которым должны удовлетворять опроделяющие парамет- ры (Рг, тз, зг, аз, р„/р, Л,/Л) для того, чтобы условие малости ц* было выполнено. Представим функцию р(г1, к, о) в виде р = ц*Ф(~, й, о, ц*), где ~ = ц)г!"'. Уравнение (2.1) для ~р преобразуется тогда к следующему виде (штрих означает производную по ~); Ф'и+ -ц*зФФо+й' = О, 1 2 где новая постоянная Й' связана с прежней соотношением Й' = Йц*~.
Очевидно, что Ф" (0) = оц* = о'. Условия для определения Ф(~, й, о', ц*) будут иметь вид ~ = О, Ф(0) = Ф'(О) = О, Фо(0) = о', а для последующих справедливо рекуррентное соотношение 1.10) Двннсение пвастннм в твердой плавящееся среде 177 а условия для нахождения зависимостей й' н о' от и' станут такими: ~=1, Ф(1) = йс, Ф'(Ц =1. Представим функцию Ф и постоянные й' и о' в виде рядов по степеням малого параметра 0*~: Ф=Эео+Ч*'Эсз+ й =Фа+О'йз+..., о'=о'+О*'ос+....
Тогда для определения последовательных членов ряда для Ф получим уравнения с краевыми условиями ь — 1 Эеооп+ йо = О, ~ргь' + Иь+ — ~' ~рГр~~ ~ с = О й = 1,2: ю=о ро(0) = ро(0) = О, ро(0) = оо, .ро(1) = Х, ро(1) = 1; ря(0) = ~рь(0) = О, эсв(0) = оы рв(1) = эс,,(1) = О.
Можно показать, что функции оео многочлены степени (3+ 4й), а их коэффициенты — степенные функции параметра Х степени (Й + + 1). Приведем выражения для первых двух членов рядов для Ф и для постоянных о' и Й'. ов з йо 3 вп 2 Йс 3 оО 5 цойе в йс 7, Ро= — ~ — — '~, рз-— — ~ — — ~ — — ~ + 2 6 ' 2 6 240 360 2620 2 1, 1 2, ссо = 2(31г' — 1), оз = — — ссо+ — оойо — — йо' 60 60 316 асс = б(2Ж вЂ” 1), вез = — — о + — повсе — — Й . 3 1 3 40 о 16 64 о Таким образом, в главном приближении профиль скорости и = Ф'(~) параболический и связан с соответствующим ему градиентом давления, как в напорном течении Пуазейля Куэтта между параллельными пластинами.
То, что этот градиент зависит только от г1, показывает, что он определяется в главном приближении лишь изменением плотности среды на поверхности фазового перехода. 0.5 0 — 1 — 05 0 Рис. 4 На рис. 4 приведен профиль скорости в главном приближении и = 2(ЗЛ вЂ” 1)у/у* — 3(2% — 1)(у/у,) (3.1) при некоторых значениях ос. Значению Л = 1/2 соответствует линейный профиль скорости. При таком йс в том же приближении обращается в нуль градиент давления. Прн дальнейшем уменьшении Х Г.Г. Черама 1Гл.
градиент давления становится положительным. При Х ( 1/2 профиль скорости обращен выпуклостью против направления движения, при Ф ( 1.3 в слое появляется область возвратного течения. Подчеркнем, что при М > 2/3 максимальная скорость превосходит единицу и при больших значениях Х быстро растет. Так же быстро растет и градиент давления. Поэтому при больших Л (что может соответствовать фазовому переходу в газовое состояние) необходимо учитывать сжимаемость сраны в слое. Зависимость профиля скорости (в безразмерных переменных) от всех остальных параметров задачи (кроме Ю) проявляется лишь в следующем приближении по г1*' через саму эту величину, стоящую множителем перед многочленом шестой степени у1~(~). Лля безразмерного градиента давления зависимость от всех параметров задачи, кроме Х, тоже проявляется в главном приближении только через Ч'з согласно простой формуле — т~1Р(от = йэ(Ч" + йы Уравнение (2.2) для определения функции Т(~, к.
сб т, Ч') после подстановки в него функции у = О*Ф(~, Й, а, и*) принимает вид (штрихами вновь обозначено дифференцирование по ~) Т" + — 0*~ РгФТ'+ т РгФ"з = О 2 с условиями Г = О, Т = Т,„ Т' = г' (т' = то*). Лля определения зависимости г' от Ч* служит краевое условие ~=1, 7'=1. Представим ТЯ и т' в виде Т = 7о + О Тз +..., г = го + О г' +..., для определения последовательных членов этих рядов придем к уравнениям и условиям Те" +т Ргуэ' — — О, Ть'+ — ~~ ~р,,Ть,;+ а=э я +т~рг~У'~Ргь', — — О, к=1,2,...; 1=0 7о(0) = Т, Тэ(О) = то; Тг10) = О, Т~г(0) = ты Таким образом, последовательные члены Ть ряда для Т представляют собой многочлены степени 4(к + 1): 12 3 12 Т„' = зв — щз Р а~~~ — ~~1~~' + — ' ~~ .
(3.3) 3 Многочлен восьмой степени Т,Я ради экономии места не выписан. 1.101 движение пвастиноо в твердой плаввичейся среде 179 Зависимость т' от г1* находится из условия 7'(1) = 1, которое для последовательных члонов ряда для Т примет вид То(1) = 1, Т.(1) = 0, Отсюда найдем 2 оо оооо но го = 1 — 7'и+ пз Рг ( — — — -> — ( ( 2 3 12) (3.4) у о о Т, = 1+ щ Рг ( — — + — ) + г1' го +... (е) 3 по по~о ~о 2 2 3 12 у) или, ограничиваясь главным членом, Т~ д 1, псз рг (бйсз 411с + ц Выражение в скобках правой части положительно и имеет минимум при Х = 1с'3. Если с ростом псз (т.е.
с ростом скорости) равновесная температура пластины превзойдет ее действительную температуру, то поток тепла на пластине будет направлен к пластине, а в профиле температуры появится максимум. Положение этого максимума ~,и и величина Тт. = Т(~ ) можно найти из формул (3.3) и (3.2), если приравнять нулю правую часть (3.3) для нахождения зв, и подставить затем это значение в формулу (3.2). Соответствующие выкладки довольно громоздки (нужно выписать корень уравнения третьей степени).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
