Механика жидкости и газа. Избранное. Под общей ред. А.Н. Крайко. (1014100), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Черльз з зь' Т = С(-1)-'~ 1 — — ') хг 2+ьь ььз ху = (2 — йоС ) Расчет на рис. 28 произведен для следующих значений параметров; йе = 0.5ь ет = 2, С = 2 зьз; при этом ху = 0.5. Если решать задачу Коши со следующими начальными данными при 1=1е. Т=О при х>ху, а при х < ху начальное распределение не превосходит упомянутое автомодельное решение, то с помощью теорем сравнения можно показать, что возмущение локализуется в первоначальной области в течение промежутка времени, но меньшего чем ьь хе 2(2 ь,- еь) йоС 0 02 04 Х 0 Рис. 28 Время локализации для соответствующего класса начальных профилей температуры зависит, таким образом, от свойств среды и от характеристик начального распределения температуры. На рис.
29 и 30 приведен расчет для двух начальных профилей температуры при ьг = 2, йе = 1 и ху = 2. В первом случае взят авто- модельный профиль с С = 1 и 1е — — — 1 Т= 1 — хььху пРи х < ху, 0 при х>хь. водности и скорости тепловыделения. При этом наиболее важные и показательные результаты, интересные для рассматриваемого круга вопросов, могут быть сформулированы следующим образом.
Тепловая волна, распространяющаяся в холодной (Т = 0) инертной (де = 0) среде от нагреваемой с неограниченным нарастанием температуры стенки, может иметь бесконечную, конечную и нулевую скорость. В последнем случае происходит явление "локализации" тепла. Так, к примеру, если с момента 1е ( — со < 1е < 0), в который температура среды при х > 0 равна нулю, нагревать стенку при х = 0 по закону Т = С/( — 1)~У, то по среде пойдет тепловая волна, скорость которой на конечном расстоянии убыт влет до нуля (см.
рис. 28). Распределение температуры стремится при этом к решению автомодельной задачиь ко- 12 торая есть предельный случай рас- сматриваемой задачи, когда 1е = -со: 145 Энзотермичесние волны о сплошных средах 1 т -2 О 2 -2 О 2 Рис. 30 Рис. 29 В течение времени го < 1 < О тепло локализовано, происходит перестройка профиля температуры и лишь при 1 > О тепло начинает уходить из области локализации. Для начального профиля (достаточно выпуклого) 2 1 — хз(хз/к при х < хс, О при х>ху.
явление локализации отсутствует. При Ты = 2/к начальное количество тепла в нагретой области в обоих примерах одинаково. Пля несимметричных начальных профилей можно в течение конечного промежутка времени иметь направленное распространение тепла из нагретой области. При распространении тепла в пространстве возможны те же случаи бесконечной, конечной и нулевой скорости распространения фронта тепловой волны. В частности, возможна локализация тепла в области, .которая в многомерном случае может иметь сложную и подчас удивительную форму.
Так начальное распределение температуры, заданное формулой з зуо т - т (1 П П "1* ! + .'~*з~' то в восьмиграннике сез ~хз( + сея~ха~ + сез~хз~ < го, ог ~+ оз + оз = 1. се, > О, и равное нулю вне его, в течение времени локализации, не меньшего, чем для одномерного случая, не приводит к диффузии тепла сквозь грани восьмигранника. Поэтому в течение конечного промс- (Гл. 146 Г.Г. Чсрамй л= ;ЯЧГ(11 — 1) ' ~/~еЧе 1 (М вЂ” 1— 1~ — 1 ' 2(и†и представим функцию Т в форме Т = о" (11 — 1)" Д~г, г1). Уравнение (2) в новых переменных примет вид — п) +тС вЂ” +тг1 — = 1' + — 1 оу оу , о . ау Об (3) В случае, если параметр А не существен или если т = О, т.е. размерность А не независима, решение зависит только от одной переменной и является автомодельным.
Изучим решения уравнения (2), удовлетворяющие следующим условиям: Т=О при 1= — со и 0(я(А, ОТ Т вЂ” =0 при я=О и я=А. д~ В новых переменных à — =0 при (=0 и (=Ч (если Ь=оо,топри (=~ос). к Н дб Рассмотрим сначала случай т = О. Уравнение (3) принимает при этом вид 1 у уа-~-1 ~~ гс 4' Тб ~Ц После его однократного интегрирования получим ;г Ж ' ~ ( + Щ и(ач-2) а+1 На рис.
31 приведены соответствующие разным значениям С фазовые траектории в плоскости 1, о = 1 1'. Точки (0,0) и (у,,О), где жутка времени существует образование, которое можно назвать "тепловым кристаллом". Обратимся вновь к уравнению (2) в случае, когда оба входящих в него размерных параметра Йе и ое существенны. Попустим возможность наличия среди параметров, входящих в начальные и краевые условия для определения решения уравнения (2), параметра, размерность которого не выражается через размерности йе и оо.
Не ограничивая общности примем, что этот параметр А имеет размерность длины. Таким образом, [ка) = Т 1че] = Т ... Я = х. Перейдем к безразмерным независимым переменным А (11 — 1)'" ' Ц 147 1.9) Экзотаермичесиие ооаиы о сиооисиых средах 1 2 3 4 5 0 2.5 5.0 7.5 10.0 12 5 Рис. 31 Рис. 32 7", = п ~с являются особыми и соответствуют двум тривиальным решениям задачи. Первая отвечает неустойчивому состоянию с Т = О, вторая однородному по пространству повышению температуры Ч =по ~ (Ц вЂ” 1) Вблизи точки (1"„О) фазовые траектории близки к эллипсам и соответствуют распределению температуры по гармоническому закону ~ = ~,(1 Е соз ч'пт Я) = ~, (1 Е соз — ), асио = с где А ;„ предельное значение полупериода функций у, близких к 1 = у„.
Предельная кривая, проходящая на рис. 31 через точку (О, О), соответствует решению, которое можно получить в аналитической форме 2(о+ 1) . тгх з1п— о(а+2) Ь Ь = — о — 2 — =А ы2 — >2Лы. Таким образом, при Ь < Ь,сао единственной ненулевой собственной функцией, удовлетворяющей условию дТ/дх = О при х = О и х = Ь, является 7" = 7",. При Л„,;„< Ь < А„„/2 имеется сще одна собственная функция с экстремумами на концах.
При 2Ьо,в1 < Ь < 2Ьо,„„кроме функции 1" = 7;, имеется собственная функция с тремя экстремумами и т.д. Так как Ь ах > 2Ьты, то в интервале (2Ь 1о А ах) 149 Эизотермииесние еолны е сплошных средах существуют две собственные функции, отличные от 1„, в интервале (41, ы, 2А,„„„) три такие собственные функции и т.д. На рис. 32 приведены собственные функции для и = 0.5. Можно показать, что решение Т = с1„~ (11 — 1) гс~1, для сформулированной краевой задачи является устойчивым в линейном приближении по отношению к непостоянным по х модам возмущений при Л < 1 мы, а при Таим < Л неустойчивым. Можно предположить, что при развитии возмущений и при Л ш < Л < Ь„,ы, это решение перейдет в решение, соответствующее экстремумам Т на концах интервала (О, Ь).
Как показывают расчеты, решение задачи Коши с конечной областью финитности начальных данных для Т при 1 = О выходит на одну или несколько автомодельных структур. При симметричном задании начального профиля температуры с одним максимумом горение локализуется на одной фундаментальной длине Ь„,. независимо от того, меньше или больше Ь „длина области финитности начального возмущения с2 х. Если она меньше Ь,еа», то вначале происходит сравнительно медленное растекание тепла до масштаба Ь„, При этом температура падает.
После достижения масштаба Л, растекание тепла прекращается и происходит чрезвычайно быстрый рост температуры -- 'вспышка" (рис. 33) по почти автомодельному закону. При Ьх > Х,, горение вне участка длиной Ь,„а происходит медленно, и рост температуры сильно отстает от ее роста на фундаментальной длине Лш При т > О и А = оо, когда решения уравнения (3) автомодельны, имеется набор собственных функций, число которых зависит от т, отличных от нуля во всем интервале значений х.
Первая собственная функция имеет один цонтральный максимум, следующие содержат увеличивающееся с номером функции число локальных максимумов. Так как гп > О, то эти функдии соответствуют фокусирующимся к центру профилям температуры. Это приводит к сокрашению со временем зоны эффективного нагревания, т.е. например, зоны, где температура превышает половину максимальной. Анализ размерностей показывает, что в этом случае также имеется "резонансная" длина возбуждения горения, которая зависит от максимальной температуры начального возмущения То„„а не только от свойств среды: Л'= — "оТ + ош Яо Изучение решения дает для ос выражение 2(б е- 1 + о) ш оР— 1) На рис.
34 и 35 два варианта расчета отличаются лишь амплитудой возмущений. В обоих случаях 9о = 1, ао = 1, 13 = 5, и = 2, период возмущений ОА ъсЗя их число — 9. В первом случае То — — 1, 151 1.9) Эизотлермичесние еолны е сплошных средах во втором То„— — 3. Таким образом, один период возмущения в первом случае меньше резонансной длины х зсс2. Поэтому вначале происходит растекание тепла, возмущения сливаются, после чего вблизи центра симметрии на резонансной длине начинает очень быстро развиваться тепловая структура. Во втором случае резонансная длина ячс2/3 меньше периода возмущений и возбуждение горения происходит независимо в каждом из периодов. Наконец, при тп ( 0 собственные функции граничной задачи для ) отличны от нуля в ограниченном интервале ( — 91., (1).
Это соответствует расширению зоны тепловыделения с конечной скоростью (вследствие нелинейности уравнения теплопроводности). В случае дву- и трехмерных задач можно говорить о фундаментальной области в виде круга и соответственно шара. Однако, как показывают численные эксперименты, поведение решения в этих случаях сложнее, чем в одномерном из-за того, что локализация распространения тепла в одном направлении может сопровождаться его растеканием в другом направлении.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
