Механика жидкости и газа. Избранное. Под общей ред. А.Н. Крайко. (1014100), страница 29
Текст из файла (страница 29)
22. Солоухин Р.В. Ударные волны и детонация в газах. Мл Физматгиз, 1963. 23. Левон В.А. Распространение ударных и детонационных волн в горючей смеси газов. Автореф. дисс. на соиск. уч, степени докт. физ.-матем. наук. М., 1975. 24. Та1з Я., Ри11юага Т.
5!ишег!са! ава!усйв о1 !ко-с!!шепв!опв! взеас!у с1етопа- 1!опв Л А1АА допгпа!. 1978. Ъ'. 16. № 1. Р. 73 — 77. ДВИк1кКНИЕ ПЛАСТИНЫ В ТВЕРДОЙ ПЛАВЯЩЕЙСЯ СРЕДК*) Г. Г. кХерный Рассмотрена задача о движении полубесконечной плоской нагретой пластины сквозь твердую среду с образованием слоя расплава у поверхности пластины.
Решение о течении расплава получено в приближении теории тонкого слоя с учетом инерционных членов в уравнении движения и диссипативного слагаемого в уравнения теплопроводности. Описана процедура нахождения точного автомодельного решения задачи и развит асимптотический метод, позволяющий приближенно представить результаты решения в виде простых формул. 11ля пластины конечной длины получены простые оценочные выражения для длины жидкой полости за пластиной. 1.
Твердое тело, полностью или частично погруженное в твердую же среду, может двигаться в ней под влиянием приложенных к нему внешних сил или по инерции, если температура тела превышает температуру перехода твердой среды в жидкое или газообразное состояние и тело перемещается вместо с образующейся вблизи него полостью с жидкостью или газом. На переднем фронте полости твердая среда плавится (испаряется), на. заднем вновь переходит в твердое состояние. Полость может иметь свободную границу или простираться в среде за телом и бесконечность, Примеры движений описанного типа изображены на рис.
1 и 2. 1'ак как внутри полости жидкость илн газ находятся в движении, то источником тепла, необходимого для плавления или испарения среды, будет служить не только нагретое тело, но и жидкость, в которой тепло генерируется при вязкой диссипации части механической энергии, сообщаемой телом жидкости (или газу). При некоторых условиях движения тела (большая скорость тела относительно твердой среды, малая толщина жидкого или газообразного слоя) количество выде- *) ПММ. 1991. Т. 55. Вып.
3. С. 355-367. 170 Г. Г. ЧерньМь фронт отвердевания Рис. 2 Рис. 1 ляющегося при вязкой диссипиции тепла может стать равным или даже превзойти величину, затрачиваемую на плавление или испарение среды. В таких условиях суммарный тепловой поток, идущий от тела, может стать нулевым нли даже отрицательным.
Тепло, генерируемое в полости, передается в этом случае и твердой среде, и движущемуся телу. Ранее в ряде теоретических работ (~1 — 3] и др.) уже рассматривались некоторые задачи о движении нагретых твердых тел в плавящейся среде. При этом в основном изучались медленные движения в условиях, когда можно пренебречь инерционными эффектами в жидкой фазе (" ползущие" течения) и не учитывать тепловыделение, вызванное вязкой диссипацией.
Не оценивалась в этих работах и длина заполненного жидкой (или газовой) фазой следа за движущимся горячим телом конечного размера. В последние годы в связи с рядом технологических приложений, а также в связи с изучением некоторых новых физических явлений [4, 5], возник интерес и к движениям в условиях, в которых инерционными эффектами н в особенности вязкой диссипацисй пренебрегать нельзя. Автором ~6] была решена задача о движении полубесконечной нагретой пластины в плавящейся или испаряющейся среде с учетом обоих упомянутых эффектов. В настоящей работе развиты полученные в ]6] результаты, что может служить основой общего асимптотического подхода к решению задач о движении твердых тел с плавлением в зоне контакта.
Пусть в неограниченной однородной твердой среде с температурой Т., в бесконечности движется в своей плоскости с постоянной скоростью Ъ' полубесконечная плоская пластина нулевой толщины (рис. 3), имеющая одинаковую по всей длине температуру Т„., превышающую температуру плавления Т твердой среды (Т»Т ). Вблизи пластины образуется слой расплава, имеющего плотность р, вязкость р,тсплопроводность Л и Рис. 3 1.101 движение пластины в твердой плаовтейся среде 171 / ди ди 1 ар д~и ди до р и — +и — = — — +д,, — + — =О, [' дк ду,[ — йя ду д, ду = 2 рс и — +и — =Л, +р [1.1) Здесь и и и составляющие скорости вдоль пластины и перпендикулярно ей, х и у — координаты в этих направлениях, отсчитываемые от передней кромки пластины.
Уравнения (1.Ц непригодны в окрестности передней кромки пластины, где не выполнено условие о разном порядке величин, составляющих скорости и и о [и « и). В отличие от известной постановки задачи о течениях в пограничном слое при обтекании тел жидкостью функция др/асс в первом уравнении (1.1) нс задана, а должна быть найдена, подобно тому, как это делается в задачах гидродинамической теории смазки [7). Очевидно, чго в принятом предположении о постоянство плотности р давление р[я) в слое определяется с точностью до постоянной. Это же справедливо и при движении тел более общей формы при нахождении распределения давления в замкнутой полости, занятой расплавом. Примем, что, как и в третьем уравнении (1.1), при описании распределения температуры Т, в твердой среде можно пренебречь тепловым потоком в направлении вдоль пластины.
Тогда соответствующее уравнение будет иметь вид р,с,Ъ" = Л, дТ, дТ, [1.2) дя дуе ' Строго говоря, зто уравнение справделиво тоже лишь в тонком слое твердой среды, прилегающем к слою расплава. Вне этого слоя "внутреннее" решение уравнения (1.2) должно сопрягаться с овнеш- удельную теплоемкость с. Все эти величины, как и соответствующие величины р„Лв и св для твердой среды, будем для простоты считать постоянными, не зависящими от давления р и температуры Т.
Поглощаемую при плавлении твердой среды скрытую удельную теплоту Ьу и температуру Т также примем постоянными. Ьудем считать, что при изучении движения жидкости в слое деформацией твердой среды можно пренебречь [напряженно-деформированное состояние среды., если это требуется, может быть определено по найденному из решения задачи о движении жидкости распределению напряжений на границе твердой фазы; из дальнейшего следует, что при некоторых условиях при больших скоростях движения или малой толщине слоя расплава нагрузки, приложенные к границе области твердого состояния, могут быть значительными). Обратим движение, считая пластину неподвижной, а твердую сроду движущейся поступательно в направлении вдоль пластины.
Предположив толщину слоя небольшой, можно для описания движения расплава использовать обычные уравнения движения в тонком слое [7]; (Гл. 172 Г. Г. Чериьйь и=1; Т=Т„=Т . (1.6) Использование уравнения импульсов на границе раздела фаз в принятой постановке задачи о движении в слое не является необходимым.
Это уравнение определяет компоненты напряжений в твердой среде на границе у = у*(х); а„„= р и а,„= — альдо/ду. В бесконечности при у -г оо: Т,=Т,. (1. 7) Все выписанные краевые условия являкьтся точными, кроме условия и = 1ь и формул для напряжений ьго„и ьь,„при у = у*(х), которые имеют ту же точность, что и уравнения (1.Ц. Введем согласно второму уравнению (1.1) функцию тока ь)ь(х, у) и перейдем в уравнениях (1.1) и (1.2), краевых условиях (1.3)- (1.7) и в выражении для ьр к новым переменным: и = Ъ'и', о = о', р = рьь'1ь', Т = Т,„Т', Т, = Т,„Т„'(1.8) зьйе х=7х', у= у'. чье Здесь У -- величина с размерностью длины, Не = р$'Е/1ь -- число Рсйнольдса.
Опустив у этих переменных штрихи, получим преобразованную систему уравнений ди ди ь1р дги и — +о — = — — + —, Ох ду э дуг' (1.9) дТ дТ 1 д'Т г ь'ди ь и — +о — = — — +т ( — ) дх ду Рг дуг (,дуь) дГ,, д'Т,, дх ду (1.10) ним" решением полного уравнения теплопроводности в движущейся среде. По-иному, уравнение (1.2) можно считать справедливым, если твердая среда термически анизотропна и обладает теплопроводностью лишь в поперечном к пластине направлении. Система четырех уравнений (1.1) и (1.2) имеет седьмой порядок. Кроме подлежащих определению из этих уравнений зависимостей от х и у величин и, о, Т и Т, нужно найти распределение давления р(х) и форму границы раздела твердой и жидкой фаз у" (х).
Таким образом, для решения поставленной задачи необходимы девять краевых условий. Ниже приводятся эти условия. На пластине при у = О, х > О: и=О, о=О, Т=Т . (1.3) На границе раздела фаз при у = у'(х), х > О [8): р,~"ь1у* = ри ь1у — ро аьх (уравнение неразрывности), (1.4) дТ. 0Т Л, ' дх = Л вЂ” ь)х + р,Ъ'ььу ь7у' (уравнение энергии), (1.5) ду ду 1.10) движение поастинм в твердой плаогацелсо среде 173 и краевых условий Т = Т.; — и дсе)., у=О, т>0, и=О, иееО, у = у, т > О, р, юг' = р(лу* Л,дТ, дТ вЂ” сгх = — Йх + оеар, и = 1,.
Л ду ду у = сю, Т„ = Т (1.11) Т=Т,=1; Здесь Рг = —, гпг = —, ое = гЛерг— еТ„, сТ г Л. Р рс,р р' Рг -- число Прандтля жидкости в слое. То, что параметр и в уравнении теплопроводности для твердой среды (1.10) содержит характеристики жидкой фазы р и р, объясняется единообразным для всех уравнений выбором новых независимых переменных согласно последним двум формулам (1.8). Функция тока ф(т, у) и соответствующая ей безразмерная функция уг'(я', у') связаны соотношением ф = ъ'и~'ЬЛо', коэффициент кинематической вязкости. где и = 1г/р ф= 'и174 ь, где функции Т' и Т,' зависят от тех же аргументов, что и уе (зависимость от постоянных безразмерных параметров не указана), причем Так как введенный при переходе к новым переменным линейный размер Ь в действительности., т.е, в соотношениях (1.1) (1.7) в формулировку задачи не входит, то выписанное решение не должно зависеть от этого параметра (функция р может содержать этот параметр аддитивно).
Отсюда и следует, что единственным безразмерным переменным параметров, от которого зависят функции уг', Т' и Т,' является 2. Пользуясь теми же соображениями, что и при решении задачи Блазиуса о пограничном слое на полубесконечной пластине в однородном потоке вязкой жидкости [9), покажем, что решение уравнений (1.1) и (1.2) для и, и, Т и Т, с краевыми условиями (1.3) — (1.7) автомодельно и зависит от единственной переменной у Ле77(по), а функция д'(т) и р(т) определяются теми же соображениями с точностью до постоянного множитоля.
Пусть решение уравнений (1.9) с краевыми условиями (1.11) найдено. Тогда решение системы (1.1) и (1.2) в исходных переменных будет иметь вид (Гл. 174 Г.Г. Черний Ч = у З/7/(пх) = у'/З/хц Тогда ф = че№ р(п), Т = Т„,т'(и), Т, = Тмт,'(и), Тт Х(Тм — Т,)/(р,1'! 7). Таким образом, автомодельное решение справедливо лишь на рассто- яниях от передней кромки пластины, значительно превосходящих Йт. После подстановки в уравнения (1.9) и (1.10) и краевые усло- вия (1.1Ц функции тока в виде з/х р(Ч), .функций Т(п) и Тз(Ч) и вы- ражений у' = и* з/х хи р = — Й 1п х (вновь штрихи над преобразован- ными переменными опущены) получим следующую систему обыкно- венных дифференциальных и краевых условий: р +- рр ч-й (2.1) зта+ — ~рт~ + глзраз = О:, 2 Т,"+ (2аз) ~ут„' = 0; рбо = ~'(о) = о, т(о) = т-; р(Ч') = Л, р'(Ч*) =1, Т( ") =1, 1 (2.5) т(Ч )+ 1 (Л,/Л)Т(п ), те(Ч*) = 1, Т,(ею) = Т (2.6) Выписанные девять краевых условий служат для определения семи постоянных интегрирования уравнений (2.1) — (2.3) и постоянных у" и Й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
