Механика жидкости и газа. Избранное. Под общей ред. А.Н. Крайко. (1014100), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Численный же анализ конкретных случаев несложен, так как уравнение для Ои имеет лишь один действительный корень. Лля завершения решения задачи определим о1" из последнего условия (2.5), выражающего уравнение баланса тепла на поверхности фазового перехода. Перейдя в правой части этого условия в выражении Т'Я') от дифференцирования по г1 к дифференцированию по б, получим Выражение для т, вновь не выписано. Согласно формуле (3.2), профиль температуры в главном приближении линеен по О Т = Те + (1 — Ти); без учета диссипации, а при ее учете представляется многочленом четвертой степени по З, коэффициенты которого зависят от оу, Т, и тз Рг. Остальные параметры, в частности тепловой эффект фазового превращения, влияют на безразмерный профиль температуры только в следующем приближении по о1'~ через саму эту величину.
Очевидно, что распределение температуры (3.2) с то, определенным формулой (3.4), такое же, как в течении Пуазейля — Куэтта с профилем скорости (3.1). Из полученных формул можно, не решая пока задачу далее, найти равновесную температуру пластины Т, т.е. температуру, при которой поток тепла от пластины обращается в нуль: Т'(О) = О. Так как Т'(О) = т' = то + с1'зт, +..., то, используя выражение для то из (3.4), получим (Гл. 180 Г.Г. Чериьщ где Т,'(ц') - — функция, определенная формулой (2.8).
Сохраним в этом выражении главный член разложения по ц', а величину Т„'(Ц заменим главным членом ее разложения по ц'г согласно формулам (3.3) и (3.4). В результате получим а~/т Л 2 — '(1 — Т )ц'+ — ц'г = Тм — 1+ т'Рг(6%' — 8гЛе+3). (3 5) Это уравнение, выражая величину ц' через определяющие параметры задачи, тем самым завершает ее решение. Как следует из уравнения (3.5), при определении толщины слоя учет влияния вязкой диссипации эквивалентен повышению температуры пластины Т„, до значения Т;и = Тм + тг Рг(6%~ — 81Ч+ 3) (величина в скобках всегда положительна, ее минимальное значение при гЧ = 2!3 равно 1/3). Из уравнения (3.5) следует необходимое условие малости ц'. Разрешив его относительно ц', получим это условие в виде — ' (1 — Т ) + — » Т;,~ — 1.
азух Л Если поток тепла, идущий от жидкого слоя, расходуется в основном на скрытую теплоту плавления твердой среды (более существенно второе слагаемое в левой части равенства (3.5)), то должно быть В последнем соотношении Т„'.~ и Т размерные величины. Если, наоборот, поглощенное при плавлении тепло невелико (более существенно первое слагаемое в левой части равенства (3.5)), то должно быть (Т„, — Т ) » Л(Т„'," — Т Здесь вновь температура .-- размерная величина.
Определим силу сопротивления Х движению пластины (одной ее стороны) на участке длиною Тл Х = ~р — '~ е1х = 2рГзееВееуа(0) = сс Г да! 2рр 6 / дп ~э=о з/Во о Ограничившись первыми членами разложения для о, получим 2рУгй по +ц'го1+... 4ру'~А 31у — 1 / ЗЛе — 2 ег ) (1+ ц* ,гВ ц* В Г ( 30 (3.6) В решении Блазиуса а = 0.332. Поэтому можно написать Х 602Х ЗЛ вЂ” 1(1 ЗХ вЂ” 2 *г) Зо 1.10] Лвихсенне пластины в твердой плавящейся среде 181 где Ху --- сила сопротивления пластины, обтекаемой неограниченным потоком вязкой жидкости со скоростью И в бесконечности и с теми же Р и р, что и у жидкости в слое.
Как следует из равенства (3.6), сила сопротивления Х может быть очень большой при малых значениях г1*. Так, для плавящегося льда гс - 1 и при Ты — Тт = 2' получим г1* = 0.08. Следовательно, в этом случае Х - 150 Ху. Вычислим еще силу давления, действующую на пластину на участке длиной Х (при х = Ь будем считать р = О): У / ~ 1г1й/1 ~ 1гйй Отсюда, ограничившись первыми двумя членами разложения для й, найдем К =, (ВО+ ц"'й~ +...) = „, ]6(2г11 — 1) + Ч'Кг(Ю + ] Определим, наконец, продольную силу, действующую на твердую среду (считаем эту силу положительной в отрицательном направлении оси х): с с КгЬ Х* = /р — 'с1х+ /у, — с1х = Р [210*+ 2угв(0*)].
о о С принятой всюду ранее точностью Таким образом, в главном приближении силы Х и Х* имеют порядок 1С0' и совпадают по величине (но противоположны по направлению). Их различие порядка и' связано с отличием потока импульса жидкости в сечении слоя х = Л от потока импульса твердой среды, подходящей к фронту плавления до этого сечения. Действительно, РЪ" 5 в ( ов ооЙс йо 1 Х* — Х= 0'~- — + — — — у зУВе ] б 6 Збг) Разность потоков импульсов равна у' / г ри с1у — Р„Ъ у = и* ~ — — + — — гг г * РИ 5 „осг севйо Ув з/Ве е[ 3 4 20 в Выражения в круглых скобках в последних двух формулах после подстановки в них сге и Йе становятся тождественными одно другому и равными величине 2(Згз'г — Згв'+ 113)15.
Выписанная разность импульсов отрицательна в диапазоне значений 111 между нулями этого многочлена, т.е, при 0.13 < гв' < 0.87. В этом диапазоне Х* < Х. )Гл. 182 Г.Г. Черный У Пусть движущаяся пластина имеет конечную длину А, которую примем за единицу длины. Возникший при обтекании пластины расах) плав образует за ней жидкий след Х (рис. 5), ограниченный с обеих сто- Е рон фронтами затвердевания. На Рис. 5 некотором расстоянии за пластиной может все еще продолжаться плавление твердой фазы вследствие тепловыделения, обусловленного вязкой диссипацией в жидком слое.
При некотором х = Лм + А оба фронта сливаются (если Т < Т„,), замыкая полость с расплавом (полость может простираться в бесконечность, если Т, = Т„). Не должно смущать то, что при Ж д': 1 масса расплава в полости не равна соответствующей по объему массе твордого тела, так как рассматриваемое стационарное движение может быть пределом нестационарного, в котором и устанавливается необходимый баланс массы (например, при входе пластины в твердое тело через свободную поверхность). В противном случае необходимо учитывать деформацию твердого тела, т.е.
рассматривать связанную задачу. Оставаясь по-прежнему в рамках теории тонкого слоя, для определения движения жидкости за пластиной и формы заполняемой ею полости необходимо продолжить решение системы уравнений (1.9) и (1.10) в область х > Л. При этом в системе краевых условий (1.11) условия при у = О следует заменить, .очевидно, следующими: ди/дд = О, и = О, дТ!дд = О, и к этой системе добавить начальные условия: при х = 1 (длину Ь примем за единицу) О < у < уь, и = иь(у), Т = Ть(у); д > у', и=1, Т, =Т, (д), (3.7) где функции иь1д), Ть(у) и Теь1у) соответствуют полученным ранее автомодельным распрецелениям составляющей скорости и и температуры жидкости и твердого тела при х = 1.
Кроме того, входящая в параметр и величина Йу есть в этом случае выделяющаяся при затвердевании скрытая теплота 6,. Решение поставленной неавтомодельной задачи достаточно сложно и может быть получено в конкретных случаях лишь численными методами. Поэтому ограничимся простым приближенным ее решением, позволяюьцим дать нижнюю оценку длины жидкого следа Ь„, Пля этого, во-первых, пренебрежем длиной возможного участка фронта плавления за задней кромкой пластины, о котором говорилось выше. Во-вторых, в общем потоке тепла, которое должно быть отведено в твердую фазу из области жидкого следа, равном сумме избыточного тсплосодержания втекающей в след жидкости, тепла, выделяюгцегося 1.10) 27вихсенне пластины в твердой плавящейся среде 183 при вязкой диссипации в жидком следе, и скрытой теплоты отверде- вания о" Ь о* 2 (с„«у~т — г >+осер) о/)„(~— ") оре,, о — о учтем лишь скрытую теплоту отвердсвания, т.е.
только слагаемое с Ьв в пеРвом интегРале. Наконец, в-тРетьих, фУнкцию Теь(9) в Условиях (3.7) заменим ее наименьшим значением, равным Т,о. Очевидно, что все три предположения уменьшают истинную длину следа. В сформулированном приближении распределение температуры в твердой фазе и форму фронта отвердевания при х > 1 можно найти независимо, без рассмотрения одновременно диижения жидкости.
При этом очевидно, что решение для Т, автомодельно и представляется прежней формулой (2.7), где П=(9 РьУ ' (3.8) Второе условие (1.11) для нахождения 21* примет вид Т,(9 ) (3.9) где Т,'Я') выражается согласно (2.8). Найдя из (3.9) и* и положив в (3.8) 21 = 21*, получим уравнение для формы поверхности отвердевания: у = р* + 21* ~/т — Т. При у = 0 найдем отсюда координату слияния фронтов затвердевания и, следовательно, длину Тоо жидкого следа: "о:=-.ьИ (3.10) Упростим соотношение (3.9) при малых 21*, воспользовавшись выражением (2.8) для Т,'Я').
В результате получим Л, 1-т 2 Л азсся Малость величины 21*, определяемой соотношением (3.9), обеспечивается при выполнении условия с,(Тт — 1„)/Ьв « я/4. Подставив определенное отсюда значение ц* в соотношение (3.10), найдем формулу для длины жидкого следа (в исходных размерных переменных) 2 Величина уь находится из решения задачи об образовании слоя расплава по выражению (3.5). В предельном случае, пренебрегая при формировании расплава отводом тепла в твердую среду (т.е. не учитывая в (3.5) первое слагаемое левой части), получим 184 Г.Г.
Чер й В другом предельном случае, когда поглощением тепла при плавлении можно пренебречь (т.е. не учитывая в (3.5) второе слагаемое слезь), найдем з ~Л„(т„'Я-Т )А„Я ! ~Л гнат — т )з Литература 1. Егпегтап Я.Н.г Гигсопе Гг.Д 8!о!ге'я ргоЫепг и!г!г теуйп8 П 1пгеггг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
