Механика жидкости и газа. Избранное. Под общей ред. А.Н. Крайко. (1014100), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Хорошо известные классические работы по устойчивости поверхности раздела двух жидкостей разной плотности в поле силы тяжести (неустойчивость Рэлея — Тэйлора при расположении тяжелой жидкости над легкой), рассматривавшие задачу в линейном приближении, пополнились позднее работами, посвященными эволюции возмущений на нелинейной стадии. Так, показано'), что при задании на поверхности жидкости первоначально синусоидальных возмущений малой амплитуды обращенные вниз выпуклости поверхности превращаются в растущие со все большей скоростью "пальцы", вверх же всплывают "пузыри", достигая постепенно постоянной скорости подъема. Развитие подобного вида структур исследовано также в случаях, когда поверхность возмущена в двух направлениях и образующиеся периодические структуры являются трехмерными.
В настоящей работе рассмотрена устойчивость плоского слоя жидкости по отношению к длинноволновым возмущениям (длина волны возмущения значительно превосходит начальную толщину слоя) при его движении под действием постоянного перепада давления с обеих сторон слоя. Обнаружено образование и развитие весьма своеобразной периодической структуры слоя. Рассмотрение проведено в рамках простейшей "бессиловой" модели слоя, использовавшейся ранее в ]3]. Полученные теоретические результаты использованы при постановке экспериментов по метанию взрывом медных пластин и интерпретации результатов их взаимодействия с металлическими преградами. Общим результатом работы является обнаружение нового механизма кумуляции импульса и энергии летящей пластины.
Этот механизм обусловлен неустойчивостью пластины в условиях динамического воздействия, когда поведение металла можно моделировать поведением жидкой среды. Для некоторых практических целей такой механизм кумуляции может иметь значительные преимущества перед известным и широко используемым способом создания высокоскоростных кумулятивных струй при косом соударении пластин. ') Герценштейн С.Я., Чернявский В.М., Штемлер Ю.М. О неустойчивости Рэлвя Тэйлора. Препринт Института механики МГУ. 1999.
Кйс 49-99. 206 С. ег. Зоненко, Г. Г. Черный В связи с обсуждаемой задачей отметим давнюю работу ~5), в которой в рамках линеаризованной модели потенциального движения идеальной несжимаемой жидкости рассматривалась устойчивость плоского слоя, ускоряемого постоянно действующим перепадом давления с двух сторон слоя. Авторы обнаружили неустойчивость поверхностей слоя по отношению к гармоническим возмущониям любой длины волны с экспоненциальным ростом амплитуды возмущений со временем (при этом, разумеется, гармонический вид возмущений сохраняется). Скорость нарастания возмущений увеличивается при уменьшении длины волны. Показано, что учет поверхностного натяжения, препятствующего развитию наиболее коротковолновых возмущений, выделяет длину волны наиболее быстро растущего возмущения.
Тот же результат получен при приближенном учете упругих свойств среды. Приступим к выводу уравнений динамики слоя. Допустим, что толщина слоя весьма мала сравнительно с его характерными размерами вдоль поверхности и с характерным размером области рассматриваемого возмущения. Это значит.
что слой можно рассматривать как материальную поверхность, движущуюся в поло массовых сил или под влиянием поверхностных воздействий. Ограничимся простейшей моделью слоя, пренебрегая его прочностными свойствами, т.е. считая, что каждый элемент слоя движется только под действием массовых сил и сил, приложенных к его боковым поверхностям; силами, действующими в поперечных сечениях слоя, пренебрежем. Для замыкания модели примем, что при столкновении слоя с другой непроницаемой поверхностью он взаимодействует с ней по законам неупругого удара, сохраняя импульс относительного движения в касательной к поверхности плоскости и теряя его полностью в направлении нормали к ней. В частности,при столкновении двух слоев они объединяются в один с суммарной массой и импульсом (кинетическая энергия при этом, естественно, частично теряется, переходя в тепловую слой нагревается).
Далее ради упрощения выкладок ограничимся плоской задачей. Рассмотрим (рис. 1) баланс сил, действующих на элемент слоя сЬ. В соответствии с поставленной задачей, будем считать, что движение происходит под влиянием только сил давления, давление перед слоем постоянно, а избыточное давление с другой стороны слоя обозначим через р. Тогда уравнения движения слоя примут вид (х и у декартовы координаты точек слоя, 1 время): рЬг1е —,, = — ре1ггб р1гг1а — = р0х, дгх дгр дег ' дег (1) где р и й — плотность материала слоя и его толщина. Из условия сохранения массы элемента слоя получим уравнение р1ге1э = роЬегК = Йш. (2) Здесь индексом 0 обозначены начальные значения соответствующих величин, ~ — лагранжева координата точек слоя (начальное значение 1.12) Кум1гляиия энергии и импульса метаемых взрывам пластин 207 х Рис. 1.
Схема движения деформируемой пластины под действием про- дуктов взрыва координаты е), а ре и Ье могут быть функциями с. Вместо ~ можно пользоваться массовой координатой ш, Имея в виду использование написанных уравнений в задаче о метании первоначально плоской и однородной пластины, будем считать ра и йа постоянными. При этом с -- начальное значение х. Размер пластины обозначим через Ь. Отнеся х, у, в и с к Л, а 6 к йо, ограничимся для дальнейшего упрощения выкладок случаем р = сопз1. Время 1 отнесем к величине ° 'радой,ср. Уравнения (1) и (2) примут тогда безразмерный вид (не содержащий никаких параметров!): д'а ду дгу дх (3) Дег ДС ' Д1г ДС ' — + — У .
(4) После нахождения из уравнений (3) зависимостей х = х(с, с) и у = = у((, 1) толщина слоя 6 = Ь(с, 1) определится равенством (4). Уравнения (3) имеют простое решение х=~, у= —., (3) соответствующее равноускоренному разгону недеформируемой покоившейся первоначально (в момент 1 = О) пластины. Переход к системс координат, движущейся вместе с невозмущенной пластиной, сохраняет уравнения (3) неизменными. Эти уравнения --- линейные с постоянными коэффициентами. Общее решение начально-краевой задачи о метании пластины (материальной поверх- [Гл. 208 С.
Р«. Зоненко, Г. Г. Черный ности) при заданных краевых условиях; х(0, «) = О, х)1, «) = 1 и начальных условиях: х(С, 0) = ого(С), у(С, 0) = уо®, и, соответственно, для скоростей дх,гд« = хе(5), дуггд« = уо(г), можно получить в виде рядов по собственным функциям. Собственными в такой задаче, как нетрудно проверить, являются пары функций х — е оннг з«п пя — е~~'ног соэ пя ( 6, у ( О, х = е~оо" г соя(пя5), у = ев"о ге«п(пЯ; п = 1, 2, ....
Подчеркнем, что в отличие от решения линеаризованной задачи о возмущенном движении слоя конечной толщины [5), пригодного только для описания поведения малых возмущений, в принятой модели слоя уравнения (3) и комбинации их решений (6) описывая>т любые конечные возмущения. Чтобы не иметь дела с громоздкими выкладками при рассмотрении эволкшии начальных возмущений произвольного вида (это требует их представления в виде рядов по собственным функциям (6), зададим начальнук> форму пластины и начальные значения скоростей ее точек равенствами х = 5+ ваш(2я5), у = — «э+гсов(2яЯ) 2 (7) и следующими из них выражениями для дхггд«и ду«д«при « = О. В (7) введено обозначение е = ее ехр (чг2я «). Очевидно, что возмущение формы пластины при « = 0 и е — ~ 0 является гармоническим: у = е соя (2ях), 6 = 1 — 2г я соз (2ях) + 0(е~).
Проследим за эволюцией такого возмущения. На рис. 2 приведена форма пластины у' = у — «з,«2 = у'(х,«) (в дальнейшем штрих у у всюду опущен) в переменных х, у,ге для значений е -э 0 (косинусоида), .е = 0.05., 0.1, 1«(2я), 0.25, 0.5 и 1. В момент времени «, соответствующий значению е = (2я) ", на кривой у = у(х) при х = 1«г2 (5 = 1«2) появляется точка возврата; начинается схлопывание левой и правой частей деформированного слоя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
