Механика жидкости и газа. Избранное. Под общей ред. А.Н. Крайко. (1014100), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Рассмотрение структуры ударных волн такого типа дает дополнительное соотношение, связывающее величины до и после ударной волны. Это соотношение, а следовательно, изменение всех величин на ударной волне существенным образом зависят от отношений диссипативных коэффициентов [вязкости, теплопроводности и магнитной вязкости) друг к другу в переходной зоне. В задачах обычной газовой динамики также можно встретиться с необходимостью получения дополнительного соотношения на разрыве из рассмотрения структуры разрыва.
Примером является задача о медленном горении в газе [2, 31 Будем считать, что элоктропроводность газа является функцией температуры и = п(Т), причем п = О при Т < Т* и а > О при Т > Т'. Рассмотрим структуру магнитогидродинамической ударной волны, движущейся по газу, температура которого Тз < Т*. Структура ударных волн, когда проводимость всюду отлична от нуля, рассматривалась ранее в работах [4, 5). Ограничимся для простоты случаями, когда отличны от нуля только два диссипативных коэффициента — магнитная вязкость и молекулярная вязкость или *)Докл. АН СССР. 1959.
Т. 129. Х. 1. С. 52- 55. (Гл. 216 А.Г. Куликовские, Г. А. Любимов магнитная вязкость и теплопроводность, и предположим, что магнитное и электрическое поля взаимно перпендикулярны и параллельны плоскости фронта волны. Уравнения магнитной гидродинамики, описывающие одномерные стационарные движения газа, могут быть записаны в следующем виде; в первом случае г1Н и„, — = Ни — Сы г1х гги Г+1 . / Н \ 7 1 У Сг г — 1 гг — = ги — у,г' — — + (Š— — Н) и г1я 2 (, 8я ) о (, 4я,Г ' (1) у сиТ = — ги — Х вЂ” — и + ( Š— — Н); 2 (, 8я,г ( 4гг во втором случае г1Н ии,— =Ни — С, г4х Ат э+1 ., Ч / Нзг б С, й — =— ',(б ), г1х 2(э — 1) э — 1 ( 8л ) 1 4и уНТ = о — — и — уи, 8х) (2) где и = сз/(4ягг), ги = ир = (Зл/4+ г,), г1 и г, - коэффициенты вязкости, Й = соголя коэффициент теплопроводности, а Н газовая постоянная.
При получении этих уравнений использовано, что при одномерном стационарном движении газа электрическое поле Е = Сг /с (с скорость света), поток массы г, поток импульса 1 и поток энергии Е не зависят от координаты х. Газ в уравнениях (1) и (2) считался совершенным с постоянными теплоемкостями и с их отношением 7.
Учет реальных свойств газа не 21 приведет к качественным изменениям в дальнейших выводах. В области Т ) Т' на плоскости Н, и, где проводимость о ) 0 (ию ф сс), дифференциальные уравнения (1) и (2) опре- Т= Т» делают систему интегральных кривых (см. рисунок). В области Т < Т* имеем Н = сопе1. В Ударную волну могут представлять те решения, которые переходят в поступательный поток при х = ~со, т.е. решения, в которых все произ.гг водные стремятся к нулю при я — г хоо. Так как по предполо- 2.Ц Магнитогидродинаеьииеекие ионизируюиьие ударно~о ооонь1 217 жению Те < Т' < Тг, где Тг -.
температура за ударной волной, то на плоскости Н, и состоянию при х = — оо должна соответствовать некоторая точка кривой зи — —,7 — — и + / н"1 2(з — Ц У с (б — — Н) =О, (3) 7 + 1 )ь 8 г) 7 + 1 ) 4 а состоянию при х = со соответствует точка, являющаяся пересечением гиперболы Ни = Сг и кривой (3). Таких точек пересечения существует либо три, либо одна. В первом случае можно показать, что точка пересечения, соответствующая самому малому значению о., лежит либо в области и < О, либо в области Т < О, и потому недостижима. Вторая точка пересечения (точка А, на рисунке), которая соответствует самому большому значению и, может быть только узлом для систем уравнений (1) и (2), причем интегральные кривые выходят из точки А при увеличении х.
Следовательно точка А но может соответствовать состоянию х = со (состоянию за ударной волной). Таким образом, потоку при х = оо может соответствовать только точка В. Лля системы (1) точка В является седлом ~5). Если в точке В выполняется неравенство уи > (о — Нз(8я) (2, то точка  — седло и для системы (2). При обратном знаке неравенства точка В является узлом и интегральные кривые системы (2) выходят из нее при увеличении х.
В последнем случае внутри области течения образуется изотермический изомагнитный скачок. В том случае, когда точка пересечения гиперболы с кривой (3) является единственной, ее характер соответствует точке А. Если из точки В, соответствующей потоку при х = ж, двигаться по одной из двух интегральных кривых в сторону, соответствующую уменьшению х, то интегральная кривая должна достичь линии Т = Т', так как Т, < Т*. При этом проводимость становится равной нулю, и дальнейшее движение происходит при Н = сопз1 до тех пор, пока интегральная кривая не подойдет к некоторой точке кривой (3).
На последнем участке движение является чисто газодинамическим. Нетрудно убедиться, что для того, чтобы прийти таким образом к некоторой точке кривой (3),необходимо выйти из точки В по интегральной кривой, проходящей в области, где Аи)е)х < О, 6Т(е)х > О, АН(бх > О. Эти неравенства выполняются во время всего движения.
Таким образом, газ, двигаясь от х = — оо, сначала испытывает газодинамическое сжатие (которое, однако, не есть завершенная газодинамическая ударная волна), а затем при Т > Т* начинает взаимодействовать с магнитным полем и приходит в состояние В. Изменение магнитного поля в волне Нг — Н, определяется точкой пересечения интегральной кривой с линией Т = Т*. Эта точка пересечения зависит не только от характеристик набегающего потока, но и от отношений диссипативных коэффициентов иои и и г друг к другу 218 А.Г. Куликовский, Г.
А. Любимов внутри переходной зоны, представляющей ударную волну. Если проинтегрировать уравнения (1) или (2), описывающие структуру ударной волны, от я = — оо до я = оо и учесть, что параметры в этих точках связаны условиями на ударной волне, то можно выразить Нг через параметры потока при т = — оо Нг —— Нг(Ег, рг, Тг, иг). (4) Это соотношение может служить дополнительным граничным условием при замене непрерывного течения ударной волной.
Условие (4) является независимым от условий, выражающих непрерывность потоков массы, импульса, энергии и касательной составляющей электрического поля. При распространении магнитогидродинамических ударных волн по непроводящему газу соотношение (4) заменяет известное соотношение с Н, = — — Ег, ог которое имеет место, если газ впереди ударной волны является проводящим. Если соотношение 14) не выполнено, то стационарное движение, представляющее ударную волну, невозможно. Если в переходной зоне один из диссипативных коэффициентов значительно больше остальных, то дополнительное граничное условие (4) можно найти в явном виде.
Пусть в переходной зоне всюду выполняются условия ию«ю Х=О (5) (7) а в случае (6) и" =г г — .1 — — ' + ]. (8) Так как при выполнении условий (5) и (6) интегральные кривые систем (1) и (2), входящие в точку В, проходят при Т = Т* сколь угодно близко от гиперболы Нс = Сг, то в качестве дополнительного условия можно принять Нги* = сЕг (сЕг — — Сг — — Нзиз). (9) В случае (6), если в точке В производная (ди(дН) т--„„,г < — С~/Нз, то интег ральная кривая, входящая в точку В, все время идет вдоль г и- р «Х и=О. Ж Тогда из соотношений (1) и (2) найдем, что при Т = Т" скорость газа будет равна: в случае (5) 2.Ц Магнитагидродинаничесние иониэирующие ударные асаны 219 Нз — Е~ = Но — Ео = (1+ — "' ) (Но — Ео).
сг (12) перболы Ни = См Если — С~ (Нг < ди/дН~~.а м < О, то интегральная кривая идет вдоль гиперболы Ни = Се от Т = Т' до Т = Тг, а затем вдоль кривой Т = Тз до точки Тз, Нз. Если Ви(ВН ~~, > О, т=еаам то интегральная кривая идет от Т = Т' до Т = Тз вдоль Ни = Сз, от Т = Тз до точки Т, Нг вдоль линии Т = Тг. Состояние же Тз, Нг переходит в точку В посредством изотермического изомагнитного скачка.
В последних двух случаях конечный участок интегральной кривой соответствует изотермическому скачку в магнитной гидродинамике. Рассмотрим теперь случаи, когда выполняются условия ию»н, э~=О или р„,>>;с, и=О. (10) Скорости и*, соответствующие Т = Т", выражаются так же, как и в предыдущем случае, равенствами (7) и (8).
При выполнении неравенств (10) интегральные кривые систем (1) и (2), входящие в точку В, идут сначала вблизи кривой (3), а затем вблизи прямой Н = Нг. Так как разности из — о" являются коночными величинами при фиксированных Т, и Т', а интегральные кривые при усилении неравенств (10) могут проходить сколь угодно близко от кривой (3), то дополнительным граничным условием в этом случае является Н1 = Нз. (11) При этом все остальные величины изменяются, как в газодинамической ударной волне. Ширина ударных волн определяется наибольшим из диссипативных коэффициентов. Исключение составляет случай (10), когда ширина ударной волны может быть оценена методами обычно газовой динамики.
Рассмотрим теперь при условиях (5), (6) и (10) задачу о поршне. Пусть при 1 = 0 газ., температура которого Т < Т', заполняет полупространство х > О. Газ находится в электромагнитном поло,напряженности которого Еи — — Е,'и Не = Н'. В момент 1 = 0 плоскость, ограничивающая газ, начинает двигаться с постоянной скоростью У в сторону газа. Если не интересоваться явлениями, происходящими в масштабах, меньших или равных ширине ударной волны, то среду можно считать идеальной. Задача в этом случае будет автомодельной, и ее решение будет состоять из распространяющейся от поршня электромагнитной и следующей за ней магнитогидродинамической ударной волны. Пусть скорость поршня У такова, что скорость ударной волны равна иы Перейдем в систему координат, связанную с ударной волной.
Напряженности начального электрического и магнитного полей в этой системе с точностью до членов порядка и,'/с соответственно равны Но = Но — — Ео Ео = Ео — — Но. с с После прохождения электромагнитной волны напряженности магнитного и электрического полей в этой системе связаны соотношением 220 А.Г. Куликовский, Г. А. Любимов Из равенств (9) и (12) найдем, что в случаях (5) и (6) 1+ о1(с о* (Но Ео) = Но — Ео, Е1 = — Н1. 1 — о'10 с В случае (10) ударная волна является газодинамической, а из равенств (1Ц и (12) и условия озНз = (о1 — Н)Нз = сЕ1 получим — (1 е )(~0 О) Н Е Е вЂ” Н 1= 1 — (ое — 77)/с ' с 1. Для определения связи о1 и У в случае (4) и (5) необходимо решить алгебраическую систему уравнений, выражающую непрерывность на ударной волне потоков массы, импульса и энергии, а также электрического поля, причем непосредственно перед ударной волной известны напряженности магнитного и электрического полей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
