Механика жидкости и газа. Избранное. Под общей ред. А.Н. Крайко. (1014100), страница 33
Текст из файла (страница 33)
(1.14) Постоянная интегрирования выбрана так, что в сечении хо при соответствующем этому сечению значении у' = у„" расход расплава равен нулю (при у' ф О расплав растекается в обе стороны от сечения х = хо). Подставив в (1.14) значение у(1) из (1.11), получим интеграл системы (1.13) а' = 6(2йс — 1)Ъ" соя у — 6У + 12Х'г'[(х — хо) я1п у — уо соя у]/у', (1.15) связывающий функции Й(х) и у'(х).
В уравнении баланса тепла (1.13) не будем учитывать поток тепла в твердую среду. Он отсутствует, если срвда нагрета до температуры плавления, т.е. Т = Т, приближенно его можно учесть, заменив величину Ьу "эффективной" теплотой плавления 1еу + с,(Т вЂ” Т ). Тогда это уравнение после подстановки в него выражения для о и использования интеграла (1.15) будет определять у*(х) — ЛТ'(1) = Л(Т вЂ” Т ) + р ~- (T соя у — У) — — (г' соя у — У) + — ~ = Г1 2 Ла !2 б 24 ду* 1 = р,)гбу [я1п у+ сову — '1 у*.
(1.16) дх ~ ' 190 Г.Г. Чор и Предположим, что диссипацией в слое можно пренебречь. При этом, как уже отмечалось, уравнение (1.16) становится независимым от (1.15) и при 7 = сопз1 легко интегрируется. При 7 = я/2 оно вы- рождается в конечное соотношение Т вЂ” Т„, у*=л р,д5, и для определения постоянных интегрирования системы (1.15), (1.16) и (1.4) требуются два краевых условия, а не три, как в общем случае.
При у = О, предположив температуру стенки Т„,. постоянной, получим (обобщение на случай Тм ~ сопеФ очевидно) д" = д,*'+ 2л Т"' Т- (* —,). (1.17) При 7 ~ 0 или ягг2 решение при Тм = сопз1 дается формулами 0.5 Интегрируя соотношение (1.4) по х и приняв за начальный уровень давления его значение при х = Ь, получим г У р 617+ 121У1г хо ( 7) огг" г г 5г) (1 ГО) Р у" / У" Интегрируя величину р еше раз по х от 0 до Е, найдем выражение для суммарной нормальной силы, действующей на слой на ЦТ„, — Т„) = у' = сопзг, р,$'ЬГ кйп 7 (1.18) У Уо/ Графики этого решения с точностью до сдвига по х в переменных 1 = х 18 гу/гу', ц = у'/гу' представлены на рис.
2. С ростом х толщина ч слоя возрастает при уо ( у', убывает при уо > у' и сохраняется постоянной при у' = у', !.5 В первом случае начальная толщина слоя может,в частности, равняться нулю. Изу гим поведение других характеристик течения в слое на участке от х = О до х = Ь для простейшего случая у* = сопз1. Для упрощения формул примем, что у = я/2 (обобщение наслучай у ~ 0 или я/2 не представляет труда). Тогда интег- 0 1 2 рал (1.15) примет вид й = — 617+ 12Х$'(х — хо)/д*. Задачи о движении теа о аааояаеебся среде 191 1.11] участке (О, Ь) 4рЛтло 1 3 . 3 .) ут у"з 1 2 Ь 4 /' 1У$'Ь Здесь 1З .
— параметр, характеризующий влияние скорости движения поверхности Г. Для распределения напряжения трения на пластине г„ и на поверхности плавления твердой среды т, получим да! и а рУ Гбх — хо т, = р — ] = — са (О) = — ] — ' ' — 4 ду]а у* у* ] З Л да' р и рУ /сбх — хо т' = — д — = — са (1) = — ] — — 2 ду у* у" ],Д й Лля суммарных сил трения на участках пластины и поверхности плавления от х = О до х = Ь отсн>да следуют формулы Х =~ ~-Π— 2 — ') — 4], Х'=~— ~-(~ — 2 — ) — 2]. Рассмотрим приложения полученных соотноепений к некоторым конкретным задачам.
2. Пусть брус постоянной конечной ширины Ь прижат силой У нормально к движущейся со скоростью У нагретой плоскости (рис. 3, а, б). При контакте с плоскостью материал бруса плавится О хо У Х дг О У й Рис. 3 и жидкий расплав выжимается из под бруса так, что брус перемещается по направлению к плоскости со скоростью 1". Эта задача имеет ряд приложений и неоднократно рассматривалась ранее. Так, в [2] изучен случай У = О, причем уравнение движения бралось в том же виде, что и в настоящей работе, а уравнение баланса тепла в слое записывалось в интегральной форме с заданным в виде квадратичного полинома распределением температуры.
Методом интегральных соотношений с квадратичными полиномами для скорости и для температуры в (3] рассматривался общий случай У = сопзс > О и р > О. Наконец, недавно эта задача рассматривалась в (4] с использованием тех же уравнений, что и в настоящей статье. (Гл. 192 Г. Г. ЧераьМь Пля применения написанных выше формул к этой задаче определим в них параметр те, т.е. положение сочения, где расход расплава равен нулю. Этот параметр найдем из условия, что давление в сечении т = О такое же, что и при я = Ь, т.е. равно нулю.
Из выражения (1.19) для р, положив в нем т = О и р = О, получим те/1 = (1 — Д/2. Величина те/1 равна, очевидно, доле Ц расплава, выжимаемого из-под бруса навстречу движении> пластины. При (~ = О весь выдавливаемый влево расплав возвращается под брус. При (1 > О из-под бруса есть сток расплава влево. Решение с Я ( О соответствует втеканию уже имеющегося на пластине расплава под брус. Подставив полученное выражение для ве в формулы для р, г„, и т*, получим р= „,, *(А-4 6л1ЧУ т„=~ 3 ХУ вЂ” 1 , .т*=~ 3 ' 1ЧУ+1 Отсюда следует, что распределение давления в этом случае симметрично относительно середины бруса и не зависит от скорости П. Для суммарных сил У, Х„и Х' справедливы выражения 3 * и н Ц* Отметим, что сила Х' трения бруса о поверхность при наличии слоя расплава такая же, как и сила трения при наличии обычного слоя смазки той же толщины у* при сдвиговом течении Куэтта в нем.
Подставив в полученные выражения у* = Л(҄— Т,„~1((р,Ъ'Ьу~1, найдем г зэ У = МрУ ~ " ~"' ~, Х' = -Х., = "'(' ~ Л(Т„. — Т 1 ' Л(Т„, — Т) Первая из этих формул устанавливает связь между прижимающей брус силой У и скоростью плавления У, скорость плавления пропорциональна У~~~. Из формулы для Я найдем связь этой величины с прижимающей силой У Ло'ьЬ Ф1 ' ' Если считать что начального жидкого слоя на пластине нет, то должно быть Ц > О. Минимальное значение прижимающей силы, при котором выполняется равенство Я = О и весь расплавленный материал увлекается из-под бруса движущейся пластиной, равно 4др1ГэЬЬГ Л(Т„- Т„,1' С ростом У сворх этой величины все большая часть расплава выдавливается из-под бруса навстречу движению пластины; при неограниченном росте У эта часть стремится к половине общего расхода расплава. 1.11) Задача в двиясеаии теа в ааавяязеяся среде 1ОЗ -1 0 0.4 08 Х -0,5 0 0,5 у Рис. 4.
Рис. 5. Отметим еще, что полученное равенство модулей сил Х и Х" справедливо лишь в главном приближении. В действительности их сумма должна равняться (при учете того, что р(0) = р(А)) разности проекций на направление я импульсов жидкости в слое в сечениях т = Е и я = О, которая, как нетрудно подсчитать, равна р„Ы'о'. Эта величина и определяет порядок точности выражений для Х и Х*.
Выпишем еще осредненный коэффициент трения бруса о движущуюся поверхность при наличии слоя расплава 3/4 ~р р~абй, 1 (1 Л(Т вЂ” Т,„) Пусть теперь прижимаемый к движущейся поверхности брус ограничен слева непроницаемой для расплава стенкой (рис.
3, б). Условие р(0) = 0 следует при этом заменить условием те — — О. Требуемое точное условие и = р'Я при я = О, 0 < ~ < 1 удовлетворяется при этом лишь в среднем по толщине слоя. Из общих формул при те = 0 получим Ъв~ е' ~, РНЪ'й (бг 4)1), рНЪ'б (бя 211) и соответственно у1гез 1 =~ ., (4 — 31З), Распределения давления в безразмерных переменных .з бр11е1гба Р У, (2.1) 1.11) Задачи а движении теа е ааавяьчевса среде 195 Так как с неограниченным ростом х толщина слоя расплава стремится к постоянной величине р*, то скорость расплава, должна при этом неограниченно возрастать: можно получить, что при х — > оо и„,а -+ (3/2)ХЪ'х вщ у. Из выражения (1.15) для ьа при ха = уе = 0 и У = О после использования связи между усе и е)р,Ус1х, положив вновь р = О при х = Ь, получим для распределения давления р формулу р,Ъ' бурсов у ~ ) Ься у У 1 (3.1) На рис.
6 приведен график зависимости р(б) для нескольких значений Х. Нетрудно установить, что при с = 0 и М ф 1У2 давление 100 50 — 100 0 0 2 Рис. 6 имеет логарифмическую особенность: р — э (12% — 6) 1п ~, а при больших значениях ~, когда уу — у 1, р — > — со, как — баева. Интегрированием выражения (3.1) получим суммарнуку силу нормального давления, действующую на участок стороны клина длиной Ь: вес в Р = др св,.„~/Ы) е)4 — ~ьрУЫ~ = Ф',,' Р. е Определим силу трения, действующую на участок стороны клина длиной Л в ь ~ди ~у"(О, х) „ о о В принятом приближении а все в в )' ое1х) 1 рр сов у ~' ббу — 2 В ррсов у— у у* впву у и Ча вшу о Графикизависимостей Р и7от ~с при М = 1 приведены парис.
6. 196 Г. Г. ЧериоМь Рассмотрим еще качественно поведение слоя расплава в конфигурации,изображенной на, рис. 7, когда клину пред- У 7 шествует нагретый участок А 0 стенки АО, параллельный направлению движущейся твердой среды. Так как вдоль зтого участка толщина слоя расплава нарастает (см. формулу (1.17)) пропорционально корню квадратному из расстояния от начала участка, то у излома стенки толщина слоя ро может быть меньше или больше предельной толщины слоя у* для клина. В соответствии со вторым соотношением (1.18) для у' слой за изломом стенки будет либо утолщаться, либо толщина его будет убывать. Рассмотрение течения расплава вблизи излома стенки выходит за пределы применимости теории тонкого слоя.
Однако приближенно сопряжение решений для двух частей слоя у точки излома стенки можно произвести из условий непрерывности расхода расплава, толщины слоя и давления в сечении ОС (см. рис. 7, соответствукьщий случаю ро)ьр ) 4. Более сложной задачей является изучение течений с учетом тепловыделения в слое вследствие вязкой диссипации. Рассмотрим вновь задачу об образовании слоя расплава между движущейся плоскостью (пластиной) и прижатой к ней плавящейся средой. Отдельно изучим случай теплоизолированной пластины, когда необходимое для плавления среды тепло целиком генерируется при вязкой диссипации в слое, и случай, когда задана температура пластины. В первом случае из второго выражения (1.12) с использованием условия То(0) = О получим Условия баланса массы (1.15) и тепла (1.16) примут вид йо = 12%)ьЛ' — 617, Д" (4.1) „(~о + 17з) Таким образом, зависимость д* от (х — хо) выражена параметрически через Йо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
