Механика жидкости и газа. Избранное. Под общей ред. А.Н. Крайко. (1014100), страница 103
Текст из файла (страница 103)
МЖГ. 1971..% б. С. 114-127. А. Н. Секуадое [Гл. 548 с кинетической энергией е и масштабом ь турбулентности, впервые высказанная А.Н. Колмогоровым [1] и независимо Л. Прандтлем [2] е = Азу 7 (2е = (и'~ + е'~ + иl~) ), [1.2) где 2е кинетическая энергия турбулентности, а Т, некоторый интегральный масштаб турбулентности. В работах А.Н. Колмогорова, Л. Прандтля и И. Ротта [3] были получены дифференциальные соотношения для е и Ь, при этом были введены ставшие потом общепринятыми простые гипотезы о механизме переноса и диссипации е.
Наличие дифференциальных соотношений для е устраняло главный недостаток формул [1.1), поскольку при этом турбулентная вязкость е оказывалась зависящей от предыстории течения и граничных условий, а следовательно, была болое универсальной. Обзор первых работ, связанных с развитием такого подхода для расчота турбулентных течений дан в монографии А.С. Монина и А.М. Яглома [4]. В настоящее время различным вариантам использования уравнения баланса кинетической энергии турбулентности посвящены десятки работ. Наиболее детальное исследование этого уравнения применительно к течению в турбулентном пограничном слое сделано Г.С.
Глушко [5], а применительно к струйным течениям В. Роди и Л. Сполдингом (6]. В этих работах турбулентная вязкость описывается системой двух довольно сложных дифференциальных уравнений и одним алгебраическим уравнением, в которые входят эмпирические функции и постоянные. К более простым модификациям этого метода относится работа П. Бредшоу и др. [7], в которой применительно к течению в пограничном слое выведено уравнение для величины — [и'е'), и работа В. Нии и Л. Коважного [8], в которой из феноменологических соображений получено уравнение для е.
В данной работе сделана попытка получить дифференциальное уравнение для е, которое удовлетворяло бы следуя>щим условиям: вопервых, было бы достаточно простым и доступным для анализа не только численными, но и аналитическими методами; во-вторых, чтобы это уравнение описывало достаточно широкий класс неавтомодельных турбулентных и переходных течений в следе, струе, канале и пограничном слое. Имеющиеся данные свидетельствуют о том, что уравнение для е может оказаться менее чувствительным к неточностям аппроксимаций и более универсальным, чем соотношения для е и Ь, которые используются во многих работах.
Так, анализ известных данных о течении за решеткой [9], в том числе и при наличии градиента давления [10], показывает, что вдоль потока турбулентная вязкость остается приблизительно постоянной е = сопзг, а параметры е и 7, изменяются по весьма сложным законам [11].
На основе исследования смешения струй переменного состава [12] можно сделать вывод о том, что е практически не зависит от градиента плотности. Слабая зависимость е от эффектов сжимаемости при умеренных значениях числа Маха отмечается в работе [13]. Эти факты позволяют выбрать турбулентную вязкость в качестве характеристики, наиболее пригодной для обобщения экспериментальных и теоретических результатов. 11.1) Дифг)гвренцггальнов уравнонио для турбулентной внонооти 549 2. Вывод уравнения.
Ограничимся рассмотрением плоских турбулентных течений и пренебрежем продольным переносом по сравнению с поперечным. В этом случае уравнение баланса кинетической энергии турбулентности выглядит следующим образом: (2.1) Здесь и и о -- компоненты осредненной скорости, р — — давление, р— плотность, и — кинематическая вязкость, штрихи соответствуют пульсационным параметрам. В большинстве известных работ, посвященных анализу уравнения (2.1), предполагается, что перенос энергии турбулентности имеет градиентный характер во всей области течения — ( — (гг(~ -г ))) — )о,— ), (2.2) где Рг -- коэффициент диффузии энергии турбулентности. Известно, что соотношение (2.2) нарушается вблизи оси течения в следе и в струе, однако протяженность этих участков невелика и ими можно пренебречь. Лиссипацию энергии турбулентности выразим через энергию е и масштаб Ь турбулентности по аналогии с работой )5) в виде суммы двух членов з Е((юг))г+о.гг.гг ну=1 Первое слагаемое в правой части соотношения (2.3) характеризует диссипацию энергии турбулентности при больших числах Рейнольдса, а второе -- при малых.
С учетом (2.2) и (2.3) преобразуем уравнение (2.1) г и — +и — = — ~(Рг+р) — ) — е — — ( ' + =,). (2.4) д* ду ду ду е ду Ь ба Примем, что поперек турбулентных потоков в области, где ~ди/дд~ ~ Ог величина комплекса Х/.„ге приблизительно постоянна. Умножим уравнение (2.4) на 1оЬ/~/е, используем соотношение (1.2) и преобразуем (2.4) к виду: де дв д Г дв 1 и — + и — = — 1 'г,Рг + и) — 1— дт ду ду1 ду (гго) ди в~и д 1 1лгг~ лзво1 А.
Н. Секуадоа [Гл. 550 Третье слагаемое в правой части уравнения [2.5) является следствием преобразованного конвективного члена с производной по х. Анализ известных экспериментальных данных об автомодельном течении в следе, зоне смешения, струе и пограничном слое [11] показывает,что в этих потоках выполняется приближенное равенство д Ь и — — сопз$ = йз. [2.6) дх,~ е Предполагая единство механизмов переноса импульса и энергии турбулентности в различных турбулентных потоках, примем, что коэффициент диффузии пропорционален турбулентной вязкости [2.7) хч = ме.
Величина зг по экспериментальным данным, собранным в работе [14], лежит в диапазоне 1.3 < зг < 10, причем большие значения м соответствуют точкам потока, где максимальна величина с. Обобщение экспериментальных данных о различных турбулентных течениях, проведенное в [15],показывает,что в большей части течения в следе, струе и пограничном слое выполняется приближенное соотношение Р где постоянная а лежит в диапазоне 0.2 < а < 0.4 С учетом соотношений [2.6), (2.7) и [2.8) уравнение (2.5) примет вид; де де д ( де 1 ди~ йы и — + г — = — ~[хе+ и) — ~ + ое — ] — —,, [~де+ и), дх ду ду ду дд Ь' ' [2 9) к.1 — кз Однако даже в таком виде, впервые встречающемся в работе [8], уравнение для е нельзя считать замкнутым, потому что в него входит неизвестная величина масштаб турбулентности 7,. Рассмотрим постоянные й„входящие в диссипативный член уравнения [2.9).
В разных работах интегральный масштаб турбулентности Ь определяют по-разному, поэтому четкие диапазоны возможных значений Й; отсутствуют и можно лишь указать порядок величин этих коэффициентов. Так, по данным работ [5, 6] и 1, йз м 0.1 и кя - 4. Если определить масштаб Ь по поперечной корреляционной функции, то по данным работы [16] й = 0.1 — 1, а йз - 0.1. Таким образом, видно, что значение постоянной )3- [15 — йз) близко к нулю и, следовательно, в потоках с Л ~ 0 при больших числах Рейнольдса последним членом в уравнении [2.9) можно пренебречь. Некоторым подтверждением этого вывода может служить также тот факт, что при течении за решеткой е - сопас, а этот результат будет следовать из уравнения [2.9) только при отсутствии диссипативного члена.
Условие Ь ~ 0 всегда выполняется в свободных турбулентных потоках типа следа и струи. 11.1] Диф4ереннггальнве уравнение для нгурбуленнгнвй вязнветгг 551 (3. 2) Иначе обстоит дело в случае пристеночных потоков, где, как из- вестно ]11], вблизи стенки интегральный масштаб пропорционален расстоянию Я до стенки (Ь - д) и, следовательно, может обращаться в нуль.
При этом диссипативный член в уравнении (2.9) будет играть заметную роль, даже если постоянная Д мала. Примем, что для всех типов течений всюду масштаб Ь удовлетворяет соотношению г йво (Й4 = сОпзс 0.4). (2.10) Вдали от стенки и в свободных потоках соотношение (2.10), естест- венно, будет нарушаться, однако в этих случаях член, содержащий Ь, мал и его влиянием можно пренебречь. С учетом (2.10) уравнение для турбулентной вязкости примет следующий окончательный вид: де де д Г де З 1ди уе и — + и — = — 1 (гее + р) — 1 + ое ] — — —, ((1е + Р), дя ду ду1 ду) ]ду дг 7= — „', >20. Йг 4 Более точное значение постоянных ге, ег, 7 и д, входящих в уравне- ние (2.11), можно определить на основе сопоставления решений этого уравнения с опытными данными. С этой целью в последующих раз- делах приведены результаты численных расчетов струйных течений (5 = оо), на основе которых будут определены постоянные ге и о, и расчет турбулентного пограничного слоя ( Я ф со), который позволит уточнить значения постоянных 7 и гд.
3. Струйные течения. Подходящим объектом для проверки те- оретической модели турбулентной вязкости может служить течение в плоском следе за тонкой пластиной, которое достаточно подробно исследовано экспериментально [17 — 19]. Уравнения пограничного слоя, описывающие это течение, таковы: ди ди 1 др д ди1 ди ди и — + и — = — — — + — г (е+ р) — ~, — + — = О, (3.1) дх ду р дя ду 1 ду 1' дя ду причем градиентом давления в следе за пластиной можно пренебречь.
Коли совместить ось т с осью симметрии течения в следе, а начало координат поместить на заднюю кромку пластины, то начальные и граничные условия для уравнений движения (З.Ц и уравнения для вязкости (2.11) запишутся так: и=и(у), е=е(у) (я=О, у>0):, и= — = — =0 (т>0, д=О); ди де ду ду и=сг, с=О (т>0, у — гоо). Следует заметить, что уравнение для е в этом случае заметно упро- щается, так как в струйных потоках Я = ж. В начальном сечении ( я = 0) профили и и е можно задать на основе обобщения экспериментальных данных о турбулентном пограничном слое ]11], а в небольшой окрестноститочки я = у = О, в которой и = О, [Гл. 552 А. Н. Секувдоэ необходимо "сгладить" распределение продольной скорости так, чтобы всюду выполнялось условие и ) 0.04 17.
В этом случае ошибки, связанные с нарушением условий справедливости уравнений пограничного слоя вблизи задней кромки пластины [20], будут минимальными. Система уравнений [3.1) и [2.11) совместно с условиями (3.2) решалась явным конечноразностным методом [21]. Лля устойчивого счета шаг по х выбирался из условия 1 и(Ьд) [3. 3) 2 (ме -~- и) Расчеты течения в следе показали, что максимальное значение турбулентной вязкости достигается на оси следа и ее величина определяется значением а/за.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
