Механика жидкости и газа. Избранное. Под общей ред. А.Н. Крайко. (1014100), страница 98
Текст из файла (страница 98)
19б7, гз б. С. 37 45. 10.11 Форма тела с минимальнььм ьаеалоемм натаном 521 где е -- расстояние от передней точки вдоль образующей тела, а и расстояние от его поверхности. Полное количество тепла А, которое отводится в тело опроделяется формулой [в плоском случае -- на единицу ширины, в осесимметрнчном с точностью до несущественного для дальнейшего множителя) Ц = 2/у'ус1з. [1.1) о Здесь у удельный тепловой поток, ез длина образующей тела, р = О в плоском случае и р = 1 в осесимметричном. Величина у зависит от параметров потока, которые определяются формой обтекаемого тела. Воспользуемся гипотезой локального подобия, которая широко применяется при расчете пограничного слоя [8, 9]. Сущность этой гипотезы заключается в том, что величина у зависит от параметров в данном сечении так же, как прн обтекании плоской пластины постоянной температуры потоком газа с заданным числом Маха М. При обтекании плоской пластины и ламинарном режиме течения в пограничном слое [8] у ' — [у'ри[Н вЂ” 6и)д] = д.
~Ь Подставив в [1.3) выражение для д из формулы [1.2), получим [у ри[Н 6 )д] 4 / 4зу ь[Н 6 ) ри1л с1з о [1.3) [1.4) причем постоянная интегрирования равна нулю [ид = О при е = О). Полный тепловой поток можно выразить через толщину потери энергии, если в [1.1) подставить д из соотношения [1.3) и проинтег- рировать ьз = 2[у'ри[Н вЂ” 6 )д]з [1. 5) [1. 2) ( — О/2 А = 0332 Рг зрз (045+ 055 — "' + 009[1 — 1)М Рг'~ ) 6 Здесь 81 — число Стантона; р, и, 6, р и М вЂ” соответственно плотность, скорость, энтальпия, коэффициент вязкости и число Маха на границе пограничного слоя; Н и 6„, " равновесная энтальпия и энтальпия при температуре стенки; Рг число Прандтля, у отношение теплоемкостей, ы показатель степенной зависимости вязкости от температуры, у -- толщина потери энергии.
Распределение толщины потери энергии вдоль обтекаемой поверхности определяется из интегрального уравнения энергии в криволинейных координатах[9] (Гл. 522 Н. М. Бенннззн Индексом 3 обозначены параметры при х = хз, д = уз. Постоянная интегрирования снова равна нулю (ид = 0 при з = 0). Использовав соотношения (1.4) и (1.5), можно выразить полный тепловой поток через газодинамические параметры на границе пограничного слоя и геометрические параметры з ггг 16/'Аг,г (гг 5 )г 4 о или з г Ясг.Не. = 4х,'у,'" /Аг '" ( 1 з)зг(н, (1.6) Н. — 5,2 о 61„=, Не, = х, з(з = 2хзузр.и.(Н.
— 5„,) ' и. ' р.и,р. Звездочкой обозначены критические параметры за прямым скачком уплотнения. Величины А и Н мало изменяются при изменении параметров потока и при приближенном анализе их можно считать постоянными. Тогда соотношение (1.6) примет вид з Вгг Не. Рг47з О 44 — ц, — г /уг фо1 (1 7) о Вариационную задачу отыскания оптимальной формы тела по теплообмену следует сформулировать следующим образом: среди допустимых функций х = х(д), х(0) = О, х(уз) = хз найти такую, которая обеспечивает минимум интеграла в правой части выражения (1.7). Оптимальный контур может состоять из участков экстремалей х = х(у) и участков границ х = О, х = хз, д = О, у = уз, если они являются участками краевого экстремума.
Так же, как при нахождении формы тел минимального сопротивления, на контур тела следует наложить ограничения, связанные с областью применимости формулы Ньютона [5). Класс допустимых функции х(у) должен состоять из кусочногладких кривых, удовлетворяющих условию 0 < х' < со, где х' = з1хгзз1у. Если в точко излома производная слева (х') больше производной справа (х')~, то применение формулы Ньютона может привести к ошибкам. В этом случае следует ожидать также возникновения отрыва пограничного слоя, и реальная картина течения будет существенно отличаться от расчетной. Поэтому при решении вариационной задачи в данной постановке прямые х = хз и у = 0 следует исключить из рассмотрения.
Участками краевого экстремума могут быть торец ( х = 0) и участок постоянной толщины ( д = уз). Стыковка торца с экстремалью происходит в точке 1 с координатами хз = О, ум а стыковка экстремали с участком псютоянной толщины в точке 2 с координатами хг, уг = уз. 2. При обтекании тел с затупленной передней частью потоком газа с большой сверхзвуковой скоростью распределение давления на 10.1) Форма тела с миннмальным гпеплоеым потоком 523 а р„" давление торможения за прямым ска уком. При решении рассматриваемой вариационной задачи будет использоваться формула Ньютона (2.1). Это означает, что рассматриваются тела с малым затуплением, при обтекании которых возникает отошелшая ударная волна, Палее показано, что тепловые потоки для заостренных тел с присоединенной ударной волной выше, чем при наличии отошедшей ударной волны.
Так как течение за ударной волной можно считать изэнтропическим вдоль линии тока,то Е)1Уг 1)1У2(, 4 1)н (2.3) 1 ус= +ш. у — 1 Здесь к - известная функция геометрических характеристик контура, как следует из соотношений (2.1) и (2.2). Однако использование формулы Ньютона (2.1) для определения величины ууу на торце приводит к неправильному результату, так как я = 1 при т' = О, и величина ф обращается в нуль. Поэтому для определения газодинамических параметров на торце нужно знать более детальную картину течения, для чего можно использовать метод интегральных соотношений в простейшем виде (10) в предположении, что скорость на кромке торца равна скорости звука.
Следуя (10), распределение скорости на торце в плоском случае (р = О) можно получить в виде (2.4) где уг — половина толщины торца, а Л вЂ” — коэффициент скорости. Распределение скорости на торце в осесимметричном случае ( и = 1), полученное для М = со в (10), имеет вид ,— Уззе-1УДУззлгУ вЂ”" = Л ( ' " " + у ~ ' Лзу) (2.5) уг 'г,4у+2 4у+2 Величина гр определится формулой ( — ) Л(1 — Л) (2.6) поверхности тела приближенно описывается уточненной формулой Ньютона [3, 4] гг = (1 — к„) зш о + л (2. 1) х=р!ре, х =р у'ра, зш се=(1+к ) (22) (Гл.
524 Н. М. Белянин Результаты расчета распределения ф на торце по формулам (2.4)-. (2.6) представлены на рис. 1 для следующих случаев: и = О, у = 1.4, ы = 0.75, М = оо (кривая 1); Ч' и = О, у = 1.4, ш = 0.75, М, =2 (крнвая 2): н=О, 7=1.0, любое, М = со (кривая3); в=1, 7=1.4, и=0.75, г М. =ос(кривая4); ь =1, у= г = 1.0, ы — любое, М, = сс ~л (кривая 5) . Зависимость ф от у/уз близка к линейной в широком 3 4 диапазоне изменения параметров у, ы и М . Поэтому будем считать, что распределение ф на торце как в плоском, так и в осесимметричном случаях описыва- 0 0.5 ется формулой 0.5 Рис.
1. ф=Иуз (27) С учетом соотношения (2.3) и (2.7) формула (1.7) преобразуется к виду О 44 ( у "+' ;г = ' .„ ' + В / я'(1 — и )'~ у '(1 + х' )'7 ду . (2.8) язузэ' ~2ы -~-2 При использовании точных формул (2.4) — (2.6) для зависимости у от у/уз на торце значение коэффициента у" перед у '~ в скобкахсоотношения (2.8) будет несколько отличаться от (2и+ 2) ~.
Это отличие, однако, невелико, как видно из приведенных ниже значений. и 0 0 0 0 0 1 1 у 1.4 1.4 1.4 1.4 1.0 1.4 1.0 ы 0.75 0.75 0.75 0.75 любое 0.75 любое 2 4 6 оо оо со оо у' 0.455 0.481 0.483 0.484 0.448 0.237 0.221 (2и + 2) з 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25 Поэтому линейная аппроксимация распределения величины уз вполне удовлетворительна. Лля иллюстрации того, к каким ошибкам могут привести сделанные упрощения, на рис.
2 приведено сравнение результатов приближенного расчета распределения относительных удельных тепловых потоков на конусе со сферическим носком (штриховые кривые) с данными работы [11] (сплошные кривые). Это сравнение показывает, что изложенная приближенная методика позволяет получить правильную 10.1) 525 Фозгма тела с мннимааьным гаепаовым потоком 0.4 .6 2.4 у/у. Рис. 2. картину распределения тепловых потоков и пригодна для сравнительного анализа влияния формы тела на полный тепловой поток.
3. Рассмотрим функционал 7 (21, + 2) — 132г-~-1, В ~РЛу 1 ВЗ) Л'уг а1т Уг *г 1 2 гге 2и а(1 к (1 е)~ (3.1) Его первую вариацию можно представить в виде Индексом 1 обозначены величины в точке стыковки прямой и = 0 с экстремалью (точка 1), а индексом 2 величины в точке стыковки экстремали с прямой у = уз (точка 2). Параметры слева от точки стыковки отмечены индексом —, а справа -- индексом +. Функционал (3.1) принимает минимальное значение, если при любом допустимом варьировании контура б,7 > О.
(3.2) При определении допустимых изменений координат точки 1 следует учитывать слсдуюпзес обстоятельство. Торец будет участком 51= ~ у ' — В(г — —,л') ~ Ьуз — В( —,) Ьтз+ (2и-Ь 1 2и ~-) д сз дР дГ ~(ВУ) (Ви) ! а, В) ( —,)г*гагги 2 уг + в с 1( —, — и — (и - — *') ( гу "*. г(1 дГ 11 г дР / ~~' ду г 526 Н. М. Беннннн (3.4) (3.6) (3.8) Соотношение (З.З) служит для вычисления величины я", а спедовательно и (х') ~, т.е. определяет наклон экстремали в точке стыковки с плоским торцом.
Решение уравнения (3.3) при 7 = 1.4 и ы = 0.75 представлено на рис. 3 в виде зависимости величины яз от Мь, для плоского ( и = 0) и осесимметричного ( и = 1) случаев, причем решение является двузначным. Однако тела., контур которых содержит торец и участок экстремали, соответствующей ббльшему значению я,+ из уравнения (3.3), должны быть исключены из рассмотрения, так как, по предположению, звуковая точка соответствует стыку торца с экстремэлью, а на экстремали реализуется сверхзвуковое течение (яз" < 0.528 дпя у = 1.4). краевого экстремума тогда, когда любое возможное изменение фор- мы торца приводит к увеличении> или уменьшению полного теплово- го потока.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
