Механика жидкости и газа. Избранное. Под общей ред. А.Н. Крайко. (1014100), страница 99
Текст из файла (страница 99)
Известно [12), что изменение формы затупления в звуковой области оказывает существенное влияние на распределение газоди- намических параметров почти во всей дозвуковой области течения. При этом удельный тепловой поток, который определяется газодина- мическими параметрами, будет зависеть от всей картины обтекания, а не только от локальных значений переменных х, .х', .у. Поэтому в рассматриваемой приближенной постановке контур оптимального те- ла должен удовлетворять дополнительному условию, связанному с об- ластью применимости формулы (2.7). Это условие состоит в том, что допустимо варьирование лишь ординаты уз точки 1, а Ьгз = О, если задана длина тела.
В точке 2 имеем Ьуэ < О, а езхз произвольно. 11а экстремали бх произвольно, а на прямой у = уз допустимое варьирование ограничено условием ду < О. Условия выполнения неравенства (3.2) будут (3.3) (~') - (~')а = ' (3.5) 4 /дР~ — 1 —,) = О, хз < х < хз, уз < у < уз, е1у дх' 1 др д l дР— — + — ~Р— —, х'( < О, у = уз.
(3.7) х' ду дх~ дх' ( Условия (3.3), (3.5) и (3.6) являются необходимыми условиями эк- стремума, а условия (3.4) и (3.7) необходимыми условиями миниму- ма на участке краевого экстремума. Необходимое условие минимума на экстремали (условие Лежандра) имеет вид д~й"/дх'~ > О. 10.1) Форма тела с минпмалвным тепловым потоком 527 0.8 0.6 0.4 0.2 о 2 4 6 8 Ц 1О Рис. 3.
В точке 2 имеем (т')~~ = оо, .кз~ = к,к, и из соотношения (3.5) можно определить яз, а затем (х')з, т.е. угол наклона экстремали. Кроме тривиального решения я = кв„уравнение (3.5) имеет еще одно решение, которое приведено на рис. 3 прн 7 = 1.4 и ы = 0.75. Однако в этом случае условия минимума (3.4) и (3.7) не выполняются, и поэтому контур тела с минимальным тепловым потоком не может содержать участка постоянной толщины.
На экстремали необходимое условие минимума (3.8) выполняется лишь при я < кз, где яз — корень уравнения дзР/дт.'з = О. Зависимость величины кз от Мс показана на рис. 3 (при 7 = 1.4 и со = 0.75). Пля всех значений М, меньшее значение я меньше яз, т.е. на экстре- мали в точке стыковки с торцом выполняется необходимое условие минимума (3.8). Следовательно контур тела с минимальным тепловым потоком может состоять из торца и участка экстремали или только из участка экстрсмали, на котором выполняется условие Лежандра (3.8) .
Так как к > кз, то при выполнении условия экстремума (3.5) будет выполняться необходимое условие максимума на экстремали в точке стыковки с участком постоянной толщины. При этом выполняются также необходимые условия максимума в точке 2 и на прямой у = уз.
Поэтому контур тела с максимальным тепловым потоком может состоять из экстремали, на которой к > кз,и участка постоянной толщины. Уравнение Эйлера (3.6) один раз интегрируется у 1(т ) = С, (3.9) У(т ) яа ~ (1 кв)1 к (2а 1 5 к ) В плоском случае ( и = 0) решение уравнения (3.9) имеет вид т' = сопз1, н экстремалями будут прямые. Следовательно, плоским оп- )Гл. 528 Н. М. Белянин тимальным телом может быть клин, полуугол которого удовлетворяет условию ( ЯЗ вЂ” ГГ Х 1ГГ2 а < оз, оз — — агсзш( ) 1 1 — к или затупленный клин, угол наклона образующей которого определяется условием стыковки в точке 1 схх = агсзхп) ' ) — ) В зависимости от заданной относительной толщины тела возможны три случая. При ГУз,ьхз < 18ГГ1 оптимальным телом будет клин. При ьбсхх < уз/тз < ьбаз необходимые условия минимума выполняются для клина и затупленного клина, поэтому вопрос об оптимальном теле может быть решен лишь сравнением полных тепловых потоков для обоих тел.
При Гуз/из > Ф8'мз оптимальным телом будет затуплонный клин. В осесимметрпчном случае ( Гх = 1) решение уравнения Х3.9) находится в параметрическом виде СГ,Гг[ГГ )) — 112 т С112 (гу(г)) — 1.ьуГГ2) Г12 1 2 -'х причем постоянная интегрирования определяется условием стыковки в точке 1, а 21 = Гх')1.
Если ух = О, то С = О, и при У > О должно выполняться соотношение 2а — 1 — Ь вЂ” = О. „ь Это уравнение имеет два, один или ни одного корня я4 в зависимости от ведичины М (рис. 3). Экстремалями в этом случае будут прямые, угол наклона которых определяется формулой / 7Г4 — ГГ Гхя = агсзхп(1 ) — ) На экстремали, которая соответствует меньшему значению я4, удовлетворяющему условию я4 < яз (рис. 3), выполняется необходимое условие минимума (3.8). Следовательно, оптимальным телом при определенной относительной толщине Х узГГтз = '18 о4) будет конус. Так как в некоторых случаях имеется несколько относительных минимумов, то необходимо провести сравнение полных тепловых потоков для разных тел.
Лля простейших контуров интеграл в формуле (2.8) вычисляется: для затупленного клина х' = ьи ~ — "+я(;г( ', '" $à — и;г/) Ух = Уз тзПХ )1 ' 529 10.1) Форма тела е минимальным теплоеым потоком для затупленной пластины и цилиндра 262 0 4,1 ~ УЗ .г дха ~1 11Ь )1,'2) ~2и+2 хз для клина и конуса х = 2о+1 1к — т;.. ~ хз' )11+ ~ 1 )2] — 1+ для заостренной пластины и заостренного цилиндра В=анВ(()(а — 1)$)ь+ + 'а — 'ГВà — — *)), * =ь(*11 Результаты расчета тепловых потоков для разных тел при М = со, у = 1.4 и аг = 0.75 представлены на рис.
4 (р = О) и на рис. 5 (гг = 1). 0.5 1.0 0.4 0.8 0.3 0.6 0.4 0.2 ОЛ 0.2 О 02 04 06 08 0 02 04 06 08 Рис. 4. Рис. 5. Светлым кружком обозначена точка слияния кривых 3 и 4, соответствующая вырождению заостренной пластины (или цилиндра) в клин (или конус). В этой точке уз . 1кг 1я оз оз: агсз1п ~ з В плоском случае (рис. 4) точка слияния кривых 1 и 3., соответствую- щаЯ Условию Уз/хз = 1Я ог, также обозначена светлым кРУжком. Оптимальным телом пРи Уз/хз < 1Я ог бУДет клин, а пРи Уз/хз > 1Я ог !Гл. 530 Н. М. Белянин затупленный клин.
Аналогичные результаты получаются и при коночных М В осесимметричном случае при М = оо оптимальным будет затупленное тело с выпуклой образующей (рис. 5, кривая 1). Лля конечных значений чисел М и Уз/хз = Фбе>1 оптимальным телом бУдет конус. Лля ббльших значений уз/кз оптимальным будет затупленное тело с вогнутой (М, < 12) или выпуклой (М.
> 12) образующей. При обтекании клина или конуса с присоединенной ударной волной формула (1.7) принимает вид 21 1/2 0.44 рир р и, р ~ /уз'> Х ~" ( — ) ~ 2н-с1 р и р р,и,р, ~ >,хз! Результаты расчета теплового потока по этой формуле также приведены на рис. 4 и 5 (кривая 5). Параметры на поверхности тела и критические параметры за прямой ударной волной определялись по таблицам !13).
Оказывается, что тепловой поток больше для заостренных тел, при обтекании которых образуется присоединенная ударная волна, чем для затупленных тел, при обтекании которых образуется отошедшая ударная волна. СлЕдовательно, тело с минимальным тепловым потоком следует искать среди тел с затупленной передней частью, для которых справедлива формула Ньк>тона (2.1). В заклк>чение укажем на еще одно интересное обстоятельстно. Если вместо условия постоянства длины тела задано условие хз — х> < 1, где 1 максимально допустимая длина, то >эх> > О, и имеется еще одно необходимое условие минимума: (дЕ>>дх') ~ < О.
Это условие выполняется при М„> 18.7 (для плоского случая) и при М„> 12 (для осесимметричного случая), и оптимальное тело будет иметь максимальную длину !. При М < 18.7 (и = 0) и М„< 12 ( и = 1) уменьшение длины тела приводит к уменьшению теплового потока, и оптимальным телом будет торец х = хз, 0 < у < уз. 4. Для проверки результатов расчета было проведено экспериментальное исследование тепловых потоков при обтекании сверхзвуковым потоком нагретого газа пяти тел разной формы с относительной толщиной уз>>хз = 0.36: цилиндра с углом наклона образующей 18 а = О, затупленных конусов с у>>>уз = 0.61, 18а = 0.14 и с д>/дз = 0.20, 28 ее = 0.28; конуса с 18 а = 0.36 и заостренного цилиндра с хз,>хз = = 0.46, 18 о = 0.78.
Эксперименты проводились в аэродинамической трубе с электродуговым подогревом при М, = 4.6 и Не„.е = 700 "1000. Ввиду того что воздух при высоких температурах не является совершенным газом с постоянным показателем адиабаты у, сравнивались не абсолютные., а относительные значения расчетных и экспериментальных величин. В качестве исходной бь>ла величина (81 Не Рг ) 1/2 2/3> характеризующая тепловой поток для цилиндра, причем определяющими параметрами были параметры невозмущенного потока. Зависимость расчетных и экспериментальных значений величины К = 81 Не~!2 Рг~~~ (81 НеМ2 Рг272) 10.11 Форма тела с минимальным теплаеым потоком 531 от тангенса угла. наклона образующей, которая характеризует форму тела, показана на рис. 6. Сплошная кривая соответствует обтеканию 1.4 1.0 0.6 0 02 04 06 08 10 Рис. 6.
с отошедшей ударной волной, а штриховая обтеканию с присоединенной ударной волной. Наименьший тепловой поток воспринимают затупленные конуса, которые близки к оптимальному телу. Обтекания конуса и заостренного цилиндра происходят с образованием присоединенной ударной волны, при этом тепловой поток увеличивается. Таким образом, экспериментальные данные подтверждают характер влияния формы тела на тепловой поток, полученный расчетным путем.
Литература 1. Брэдфилд В.С., Баллинзср И.Г. Сравнительный анализ теплообмена аппаратов трех различных форм, .влетаюших в атмосферу со скоростью М = 12. Сб. "Вопросы ракетной техники". Мл Изд. иностр. лнт., 1957. № 1. С. 50- 66. 2. Столдер И. Проблемы тсплопередачи при гиперзвуковых полстах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
