Механика жидкости и газа Лойцянский Л.Г. (1014098), страница 108
Текст из файла (страница 108)
Сопротивление пластины В начале настошцей главы было показано, что в развивающемся вдоль поверхности крыла пограничном слое наблюдается как ламинарная, так и турбулентная части. Расположенная между ними переходная область, внутри которой законы движения жидкости еще мало изучены, при больших рейнольдсовых числах невелика н в первом приближении можег быть заменена „точкой перехода".
Это позволяет порознь рассчитывать сначала ламинарный участок пограничного слон, для чего применяются методы, изложенные в конце гл. ИП, затем турбулентный слой — по азконам „установившейся' турбулентности н„наконец, сращивать оба решения вдоль сечения, проведенного через точку перехода. Обобщим прежде всего на случай турбулентного 1ЮГраПИЧНОГО слоя основное интегральное а1отношение (91) % 87 предыдущей главы.
Для этого заметим, что уравнения турбулентного пограничгюго слоя могут быть составлены из уравнений Рейнольдса (11) совершенно аналогично чому, как уравнения ламинарного пограничного слоя были составлены из уравнений движения вязкой жидкости. Будем иметь аналогично (89) 9 87: и — +е — =. ГУ вЂ” + — — ", ди ди ИУ 1 дт дл ду дх Р ду ' —,'" +-~- —. О, (44) где ° обозначает касательное напряжение трения между струями псредненного течения, причем т заключает в себе как турбулентное, гак и обычное, вязкостное трение.
1 Более подробное изложение теории турбулентного движения жидкости прв наличии шероховатости стенок можно найти в следующкх статьях Гь Г. Лпйцянскнй, Об универсальных формулах в теории сопротнваевкя шероховатых труб. Труды НАГИ, вып. 250, 193б; К. К. Фекле вский Примерный расчет интенсивности трения и „допускаемых" высот шероховатости для крыла. Расчет трения поверхностей с местной н общей шероховатостью. Таи же, вып. 250, 1936; К. К. Федя е в с к и й н Н.
Н. Ф и ми на, Исследование влияния шероховатости па сопротввлезяе я состояние пограничного слоя. Там жс, вып. 441, !9Ж (гл. гг т|ч юлснтнос двнжвнна ль»» лх р!» (45) Следуя принятому в геории ламниарного пограничного слоя приближенному методу и предполагая, что во всех сечениях турбулентного пограничного слоя наблюдается установившаяся турбулентность, выберем в качестве семейства профилей продольных скоростей в сечениях турбулентного пограничного слоя те же логарифмические профили скоростей: — =2,5!и У вЂ” "* +5,5, „= Уà —, я (46) что и в сечении трубы, но в отличие от трубы будем считаться с переменностью величины напряжения трения "., а следовательно, и и» вдоль поверхности пластины.
Составим входящую в уравнение (45) величину 5»'. Для етого применим сначала соотношение (46) к внешней границе у=д турбулентного пограничного слоя; тогда будем иметь: ьп» г!' а о„~ — =- 2 51п — "+ 5 5 = 2 5 1п ( — ° — "~+ 5 5 = > О 3~ ь = 2,51 (й~ ° — *)+5,5, К;= — "» . (47) Простые выкладки приведут к выражениям: о» ';з СΠׄ— Ъ „у ю = — 25!и 1 Повторяя рассуждение начала $87 предыдущей главы н вводя те же самые обозначения для условных толщин слоя 6* и 3»", получим вновь уравнение (91) с той лишь разницей, что 8" и д " должны составляться при помощи осредненных скоростей. Величина напряжения трения на стенке т будет определяться обычной формугдя ь лой вязкого трения т = р~ — ~, так как на стенке турбулентные дт ~я=о' пульсации, нормальные к стенке, вместе с турбулентным трением обращаются в пучь.
Таким образом, действительно, уравнение импульсов сохраняет в случае турбулентного пограничного слоя тот же вид, что и в случае ламинарного слоя. Рассмотрим задачу о продольном обтекании пластины. В атом случае О= Ь" , У' = О, и уравнение (91) $ 87 приведется к виду: 9 971 таввклянтный пот аннчный слои нь пластина 623 После этого найдем: =Аг++Ая~+), причем постоянные А» н Ая легко вычисляются: А, = — 25 ~ !и (Уе) ИЯ = 25, 9 1 Аа= — 6,25 ~ 1па®о'( У)= — 12,5 о Переходя в предыдунгей формуле к рейнольдсовым числам ып р а 4 ч получим: й е — 2,5 — ь — 12„5( — ") .
Определяя отсюда К~ н подставляя в равенство (47), найдем связь между — н йее: Фь Я:М вЂ” =2,51п( )+5,5. 2,5 — 125 — ' Заменяя в этом выражении натуральный логарифм на десятичный е, и — на †, получим: ~Г аь"„' -= = 5,75 1Одй" "' — 5,75 1ОД1 — 5 ф т 1а1Ь )+ 3,22. (49) ъ.И.' Равенство (49) представляет в неявном виде связь между местным коэффнниентом сопротивления пластины Ю сг — —— 1 2~ 1гл гх тгэаглннтнок движаннн и рейнольдсовым числом 1гэ».
Соотношение (49) ьгожет быть значительно упрощено, если, определив Утт фг' из (49) путем последовательных приближений илн графически, заметигь, что последние дза слагаемые представляют слабо изменяющуюся функшпо 1г"*; нх сумма а широком диапазоне чисел К* ' от 10" до 10а можег быть заменена своим средним значением 3,8. Это приведет к следующему простому аыражению коэффициента местного сопротивления пластины через рейнольдсово число К ': 1 ч 1 (50) 2 Ь'~~ 15,751оййг + 3,3)- 1 ь 1ауг"" 1 Р .
197. интегрирование дает: 11 д= — — ° 0,00655 К„+ С. (52) Предположим сначала, что ламинарный участок пренебрежимо мал н турбулегггный слой устанавливается прямо с передней кромки пластины. Тогда при х=-О 6 '=0 или, что все равно, при К =О, Йч*=О; это означает, что С=О. г Ч. М.
г агап ег, Айсгай Енйгпеепнй, Магсь, 1943. Обрабогав болыпое число экспериментов различных авторов над длинными пласгинамн при больших значениях рейнольдсовых чисел, Фолкнер' предложил простой эмпирический опаленной закон скоростей и сопротивлений, который прн пересчете на принятые у нас величины может быть ФЯ представлен в виде тч '$~ Э,О 31' =0,00655К ' ~. (51) гг Э га формула пря % больших 1г ' с успехом 7,1 заменяет более сложное выражение (50). На рис.
197 приво- ди гся в логарнфмическом масштабе для сравнения прямая (51) н несколько точек, рассчитанных по предлагаемой выше формуле (50). Прн больших рейнольл.- совых числах совпадение можно прианать более чем удовлетворигельным и в дальнейшем пользоваться формулой (51). Ураэнение (45) после этого легко интегрируется. Имеем: до' г гГй "* Ъ" х~ — — — 000655й' ' г, ~К = — ) лх лй„ э 97) ТУЭВУЛВНтимй ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОИ НА ПЛАСтииа 625 При таком предпогюженни будем иметь: К = 0,0153 1Д. (53) Возврюцаясь от рейнольдсовых чисел К" и К и тошцине потери импульса йе* и абсциссе л, получим: 31*=0,015( —,) х '. (54) Отношение толщины потери импульса к «бсциссе представляет слабую Функцию рейвольдсова числз К : — = 0,015Кэ ". (54') С убыванием рейнольдсова числа величина Н несколько возрастает; некоторые авторы принимают Н= 1,4.
Определив К"', по (51) и (53) найдем: 1 1 1 с~ — — —— -0,0131 Кча ' =0,0131 ° 0,0153 ' К 1 йг что дает следующую формулу местного коэффициента трения с =0,0263К„, 1'. (56) Отсюда уже легко получить и выражение полного коэффициента сопротивления пластины длины 1г Ю СГ = —. — рай/ 1 1 2 40 в пиь л.
г. Лм1вн ь Толщина погери импульса в турбулентном пограничном слое на пластине растет пропорционально абсциссе в степени шесть седьмых; втот закон мало отличается от линейного. Вспомним, что в случае ламинарного слоя на нласгине толщина потери импульса возрастала пропорционально корню квадратному из абсшассы, т. е. гораздо медленнее, чем в турбулентном слое. Соотношение (53) лает хорошее совпадение с формулой Фолкнера, полученной в результате обработки опытов на воде, и подтверждается опытами, проведенными в аэродинамических трубах.
Дги определения толщяны вытеснения 5г при больших значениях числа Рейнольдса можно предложить эмпирическую формулу: 'Ь'РБУЛЕНТНОЕ ДВИКсНИЙ а сс ь а с с с с: с. с с сс '"а ь с с «с а ь а" а а а' 9 97) ттвяялвнтный погваннчный слой нл пластине 627 (.- СК вЂ” — а — — 1сРй®= и 1с~ Яв -9РР ~ в и в силу (56)." (57) С =0,0807К где под К понимается рейнольдсово число обтекания пластины: Р 1 т Теоретические (правнльнее сказать полуэмпнрнческие) формулы (56) и (57) хорошо совпадают с результатамн различных опытов прн больших значениях чисел Рейнольдса н могут с успехом применяться для расчета сопротивления пластин при тех режимах обтекания их, когда ламинарный участок мал. На рис. 198 приводится сводный график, на котором нанесены зкспериментальные точки, отгюсящиеся к самым различным условиям опытов в воздухе и в воде на пластинах, каь полностью гладких, так и со специально повешенными вблизи носовой точки шероховатостями, служащнчн для преждевременного создания турбулентного пограничного слоя; опыты проведены в широких пределах рейнольдсовых чисел.' Предлагаемая степенная формула (57) практически совершенно не отличается от сгарой логарифмической формулы Прандтля (на рисунке — сплоглная кривая) Сà — — 0,455 (1оя К) (58) и прекрасно соответствует опытным точкам чисто турбулентного обтекания пластинки без ламинарного участка в носовой части.
Показанная пунктиром степерная зависимость С~ — — 0„74 К (59) пригодна лишь при сравнительно малых К, примерно до К= — 5-10з. Г!рн больших й эта прямая резко отходит от экспериментальных точек, как это хорошо видно на второй половине рис. 198. Полуэмпирическое обоснование формулы (59) связано с использованием сталенноао профиля скоростей в сечениях пограничного слоя, соответствующего сгепенному профилю скоростей в трубе, приводящему к ранее упо-Ча мянутой формуле сопротивления Блязнуса 1=-0,3164 К т Современное состояние гялроазролвнамнкв вязкой жвлкоств, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
