Механика жидкости и газа Лойцянский Л.Г. (1014098), страница 105
Текст из файла (страница 105)
На современном этапе своего развития динамика турбулентного движения является, без сомнения, одним из наиболее эмпирических разделов георетнческой гидроаэродинамнкн. Актуальность практических приложений теории турбуленгного движения, относящихся к самым разнообразным разделам современной техники, заставляет исследователя не пренебрегать и такими эмпирическими путями. и 94.
Турбулентное движение жидкости в плоской и круглой трубе. Логарифмические формулы скоростей В основу всего последующего положим рассмотрение осредненного турбулентного движения в плоской трубе (рис. 188). Принимая движение установившимся, будем считать единственную составляющую осредненной скорости и (черточку сверху в дальнейшем опускаем, так как неосредненные скорости больше встречаться не будут) функцией только поперечной координаты у. > Рекомендуем для ознакомления с втнм вопросом помещенный стр. 887 — 396 нашей монографии „Авродянамика погранвчного слоя" параграФ „Методы экспериментального исследования турбулевтвыя течений", составленный Е.
М. Минским. См. также заключвтельный параграф настоящей книги. 9 94) движвнив жидкости в плоской и кгтглой гнтвз 603 Разобьем' осредненный поток в области от стенки до оси трубы на параллельные оси слои ширины 1л и рассмотрим каждый такой слой отдельно с его скоростями и(у) — и(ут) по отношению к .дну" слоя у =у„. верхняя половина потока симметрична нижней и может отдельно не рассматриваться. Если пренебречь влиянием вязких членов, роль которых, как это указывалось в предыдущем кг,, параграфе, при удалении от стенки резко убывает, то исд > можно попытаться подобрать величины Ут так, чтобы кривые относительных скоростей в раз- Рис.
188. личных слоях были бы подобны ' между собой. Для этого составим очевидное разложение и (у,)(у — у,)+ — и (ут)(у — у,)я+.. и Ы вЂ” и (Уг) и (Ух+ т) — " (Ут) и' (у,) ух+ — и (ут) Х~ + ... и 1 1+- у — ут 2 (16) 1 1, л(у,) 1 )тп"'(у,) + 2 и'(ут) + 6 и'(уг) + '" и потребуем, чтобы в сходственных точках слоев, т. е. при одинаковых для всех слоев значениях отношения —, величины У вЂ” Ут й и (у) — и (ут) и (Ут+г) — и (Ут) также имели бы одно и то же значение. Отсюда вытекает требование, чтобы каждая из величин: пе пю ил (16) т Л. Г.
Лойця вский, Турбулентное движение жадности и внутренняя задача. Изя. Научно-нсслед. ин-та гидротехники„т. 1Х, 1933 и того же автора „О некоторых прнложеввях метода подобия в теории турбулентности", Приял. метем. и мехаи., т. Л, вып.
2, 1933. г,ил(у,) тяй" (у,) и' (у;) " й (у,) была одна и та же для всех слоев 1о Это требование можно переписать в виде (опускаем индекс,(" и обозначаем символом - пропорциональность)." Е04 (гл. зх ттввтлвнтноз движвнив Не составит труда убедиться, что всему этому бесконечному ряду условий удовлетворяют как сгененная, так и логарифмическая функции вида: и=А(у — уз)'~+В, и=С!п(у — уа)+.(), (17) и при этом длина интервала 1 оказывается линейной функцией 1= х (у — уа).
( ) Здесь А, В, С, 1), у„и х — некоторые константы, Динамическим следствием такого подобия будет служить, как было указано в конце й 78, одинаковость для всех слоев коэффициента сопротивления, определяемого как отношение напряжения трения (или перепаЛа лавления) к характерному скоростному напору: т=т (1 — — „). (20) Сравнивая (20) с (19), убеждаемся, что логарифмическим распределением скоростей (17) можно пользоваться приближенно в области значений у, значительно меньших й, но в то же время в некотоРОИ удалении от стенки, где влияние вязких членов пренебрежимо.
тт тт р (и (ух+„) — и (ут))з зи,з гз (1+ 1 "(з'д+ 2 х и'(у;) По предыдущему отсюда следует с = сопя) р)Я ~ — ) . (18) Подставляя в выражение напряжешш трения (18) полученные сте- пенные и логарифмические выражения (17), будем нметги т = сопз1 Рхв (У вЂ” Ув)Я гиЯАЯ (У вЂ” Уо)з~-а = сопз1 . (У вЂ” Ув)вм, ся (10) т = сопз1 . рхв (у — уз)' ° = сопя(. (у — уз)а Сравним эти выражения с легко непосредственно выводимым рас- пределением напряженна трения Ф плоской трубе. Для этою применим теорему количеств движения к объему жидкости, заключенному между двумя линиями тока, находящимися на расстояниях у и 2Ь вЂ” у от нижней стенки трубы, и двумя сечениями трубы, расстояние между которыми Ц будем иметгн Ьр ° 2 (й — у) = 2 т - 7..
Деля это равенство почленно на частный его вид при у=О, т. е. для полного сечения трубы, когда т=т (трение на стенке), Ьр ° 2Ь=2т (., $ 9Ц движвнив жидкости в плоской и кггглой травя 605 Примером движения, в котором условия подобия выполняются точно н действительно имеет место логарифмический профиль скоростей, может служить предельное движение жидкости вдоль одной из стенок трубы, когда вторая стенка удалена на бесконечность (и - оо при фиксированном у). Легко убедиться, что в этом случае во всем потоке будет выполняться условие г = сопа1 =т, и логарифмический профиль скоростей станет единственно возможным. Что же касается степенного выражения (17), то оно, как будто, 1 может дать совпадение (19) с (20) при уо — — й и т=-, но приводит при этом к профилю скоростей с бесконечным наклоном на оси грубы.
При малом т величина т будет слабой функцией у, что приближает степенной закон к закону с = сопзЬ Итак, точное выполнение системы равенств (16') невозможно. Если пренебречь влиянием производных от осредненной скорости порядка выше второго, то условия точного подобия (16') заменятся одним приблихссиным условием подобия относительных осредиениых скоростей а слоях йи 7= — а — = — х— йу ' игг гГггг ' йуа где х — некоторая постоянная, а знак минус выбран из условия, чтобы при выпуклости профиля скоростей в сторону положительных у (и' > О, и" < О) величина 1 была бы положительной. При этом формула напряжения трения (18), если константу включить в определение величины 1, можег быть переписана в виде: (22) Предлагаемая интерпретация длины 1, как величины, выражающей приближенный закон дроблении потока иа слои с подобными распределениями относительных осредисниых скоростей, оказывается совершенно достаточной для построения решения задачи о турбулентном движении жидкости в трубе и пограничном слое.
Формула (22) была предложена Прандтлем, ' исходившим нз предсгавлення о сходстве между явлением переноса количества движения при турбулентном перемешиваннн и при столкновении молекул в ламинарном двюкенни. Величина! трактуется Прандтлем как турбулентный аналог „пути свободного пробега молекулы" и называется путем перемегииваипя. г 1.. Ргапй11, Ппгегаеснпвяеп авг аечйеЬпйеГев ТегЬе!еза. с.ейасЬг111 1ш апйечгапйге Магьепь чпй МесЬавгх, 5 (1газ). и обзор того же автора „Результаты работ последнего времени по взучевикг турбулентности", йомещевный з начале сборника статей „Проблемы турбулентности', Гостехиздат, 193б 606 (гл.
гх туРвулентное движение На нип взгляд, нет необходимости придавать величине 1, входящей в формулу (22), именно такое физическое истолкование. Формула, аналогичная формуле (21), была на основании неоправданно сложных теоретических построений выведена Карманом. ' В связи с равенствами (20) и (21) формула (22) приводит к следующему дифференциальному уравнению для определения и(у)г рте — у ° и' = т (1 — — ). иа Уравнение это может быть переписано в форме (знак минус в правой части выбран е связи с тем, что и" < О): иа «1 (23) где обозначение (23') введено для величины, имеющей размерность скорости, но не являющейся вместе с тем скоростью какой-то конкретной точки; в силу своего чисто динамического определения через величины т и р, величина и могла бы быть названа динамической скорослгью.
Уравнение (23) легко интегрируется и дает первый интеграл: — —, = 2 — й 1«,' 1 — + С. 1 « l у (24) и Ра А Для определения постоянной интегрировании С потребуем, чтобы при малых у, когда подобие становится выполнимым точно, величина!, определенная по формулам ириблилссииого подобия (21), (23) и (24), совпала бы с формулой (17') игочиого подобия. 1!одставляя значении и' и иа из (23) и (24) в (21), будем юеетгл 1= — « — — х — ~~ 1 — — (2 — й р 1 — — + С) = й и" ° $' л ( „$' ь = — 2тй (1 — — ) — Со 1, 1 —— Е) *1~ й и, согласно поставленному условию, прн любых у~(Ь должно вы- полняться равенство: — 2хй(1 — — ) — Сн (1 — — — ) =т(у — у ).
Л) а( 2 Л) ° О. т Т. К а р и а н, Механическое подобие н турбулентность. Сборник статей ,Проблемы турбулентности', Гостехнадат, 1936, стр. 271 — 286. й 941 движение жидкости в плоской и кггглой тювз 607 Отсюда следует: 2ка С=- — —, у,=о оя и по (24): и' — — *. зяа 1 — У 1 — У л (25) Интегрирование этого уравнения приводит к распределению ско- ростей 1 и ( 1 гlУ У ) + (26) 0 02 дт Сз йь йУ 00 йт УУ йУ 00 уже ранее влиянием молекулярной Рас. 189. вязкости, не учитываемым теорией. Заметим, что более простое, чем (26), и очень близкое к нему выражение распределения скоростей можно получить, если, используя основное равенство (22), положить в нем приближенно 1= у, т=т Тогда будем имев: Рту ~,у ) ~ы~ я И.
И н к у р ада е, „Закономерности турбулентного движения аощкостей в гладких трубах" — укаэанный ва предыдущей странице сборник статей „Проблемы турбулевтвоств", стр. 75-150, На рис. 189 приводится сравнение теоретической кривой (26) при х = 0,40 с эксперименталъными точками, полученными Никурадзе в круглой цилиндрической трубе в широком диапазоне значений чисел Рейнольдса (от )с = 4 ° 10з до Й = = 3240 ° 10з), построенных по средней скорости в трубе и ее диаметРу й=2Ь.' Как видно из графика, теория, относящаяся к плоской трубе, оказывается пригодной и для круглой трубы; некоторое отклонение экспериментальных точек вблизи стенки при сравнительно малых рейнольдсовых числах объясняется отмеченным 10 1У $Ь ФЭ 12 я 10 У (ГЛ. 1х ту«зулвнтное движвннв иля после интегрирования: и= — „* 1пу+С. (27) Полагая здесгс у=бо, и=и и исключая С, получим: "пах и 1 у — — = — — !и —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
