Механика жидкости и газа Лойцянский Л.Г. (1014098), страница 104
Текст из файла (страница 104)
В атом случае осредненное 5 93) основныв ввлвнвния осмднвнного движвния 597 значение а будет функцией только координат, так что, если ф означает еще одну пульсирующую функцию времени и координат, то, согласно (3), получим (черта сверху означает операцию осреднения (3), проведенную над всем выражением, стоясцим под этой чертой): (б) Если турбулентное движение не квазистационарно, то равенство (б) приходится лостулироаать как дополнительное свойство осреднения (3). По определению осреднения (3) сразу следует, что среднее значение производной от некоторой функции по координате равно производной от среднего значения функции по той же координате >>т от — нт. д., ох дх с+ т 2 -Я= о — ~ Р(Х, )>, д д 1 'т с —, л; с)Ус= — — ~ Р(х, у, 1 д 2 а; т)с(т= = — (Ф(х> у, .в» с+ ) Ф (х> у> л; > — )) = т с и, следовательно, Пользуясь частью постулированными, частью выведенными нз определения закона осреднения (3) свойствами, ' можно получить дифференциальные уравнения осредненного движения несжимаемой жидкости.
Возьмем для этой цели основную систему (14') гл. »1П уравнений т Закон осреднення (3), использованный для турбулентного движения впервые Рейнольдсом, является простейшим нз возможных законов осреднепия. Несколько подробнее вопрос об осредненпн (сглаживании) пульсирующих функнвй изложен во втором томе курса Кибеле, Кочина и Розе (сгр. 375, нзв, 1948 г.). так как операции диффяренцирования по координате и интегрирования по времени независимы.
Таким же свойством обладает и производная по времени. Действительно, по известной формуле дифференцирования интеграла с переменными пределами получим: (гл. 1х тррвтлвнтнов движвнии движения вязкой несжимаемой жидкости при отсутствии объемных сил; О н, пользуясь уравнением несжимаемостн, перепишем первое из уравне- ний системы (9) в виде: ди, д( ), д(ив), д(м) 1 др+ у др+ дх + ду ~ дг — р дх ч™ Произведем над обеими частями этого равенства операцию осреднения (3), тогда, согласно (7) и (8), при р=сопФ, ч=сопз(, будем иметь: ди + дйи дае+дйгг 1 др+ (9') дт дх ду дг р дг Рассмотрим входящие сюда средние значения от произведений проекций скорости. Заменим в них и, о и тв разложениями на осрщненные н пульсационные скорости (2), тогда по определению операпии (3) и (6) будем иметь: ии= — (а+и')(и+и)=аа+2ии'+и =-ии*2ии'+ и', ап = (и + и') (и+ о') = ко+ ао'+ оа'+ и'о' = =ам+ив +Й7+и'~7 итв = (и + и ) (та+ тл') = и гв + итв'+ тли' + а'гв' = итв + итв + тва + а гр или, используя (5): 7 ии= и +а'", ив=ив+во', ига=игл+а'тз'.
Уравнение (9') может быть после этою переписано в форме: ди дй дай дйгй 1 др — ди™ да'о' дйгг' — + — + -) —, дт дх ду дг р дх + чЧта — — — —— дх ду дг — +и ди дг дв — +и дх дм — +и дг ди ди да +Ю +Яр дх ду д» до дв до — +Ф вЂ” + ти — = дх ду дг дгг дге дгг — +Ф +тв — = дх ду дг да дв дю + + дх ду дг — — — + «ряи 1 др р дх 1 ди — — — + чтриц, , ду +я ~ те 1 1 дл ч дг 9 93) основныв ггвьвнвния осгзднвнного движения Замечая„что осреднение уравнения несжичаемосги лает ди дв дгв +д +д,—— -О, (10) перепишем предыдущее уравнение в шще: ди -ди — ди — ди 1 др, . — ди™ ди'тГ ди'е' — +и — +о — +аг — — — — — ' т7'и — — — — —— 1 юя дг дх ду дг я дх+ дх ду дг lдгг — ди ди дй 1 +и — + о — +ги — 1— ~дг дх ду дг/ др е — д,я д, —,, д = — — + рази + — ( — ри' ) + — ( — 'ри'о ) + — ( — ри'а') дх дх ду дг lдй — дв — до — дот ггч — +и +о — +аг — )= ~дг Ох ду дг) = = — — + рРо+ — ( — р~Ъ')+~-( — ро")+'~- ( — ро чв'), /да~ — дгв — дгг — дгв т г~' — + и +Π— +я~ — '~- ~ дГ д ду дг) др ох+1 +дх( Р )+ду( 1 )+ дг( )и до дм 1х ду дг + — '=о.
(11) Сравнивая зги уравнения с общими уравнениями „в напряжениях" 'ЗО) гл. П: р~ — +ив-+о — каг — )= — *+ Ж.+ — ', гди ди ди ди' др~„др~ дрие ~дт дх ду дг) дх ду дг ' гожем прелставнгь себе правые части системы (11), как реаульгат юдстановки в уравнения,в напряжениях" на место величин р з „... суммы вязких напряжений, определенных обобщенным законом ;1ыотона, и дополнительных турбулентных напряжений, возникших га счет наличия в потоке пульсаций: ди /дй ди г р „— р+ 2р. — +р, р = к ~ — -г- — ~+ р „и т.
л,, Повторяя совершенно аналогичные преобразования с остальными звумя динамическими уравнениями (9), получим искомую систему аифференциальных уравнений осреднениого движения (уравнения Рейнольдса): тиввхлвнтнов движвнив причем дополнительные турбулентные напряжения образуют, так же как и вязкие напряжения, свой симметричный тензор второго ранга: г 1 7 г — ри'" — ри'о' — ри'а) — ри'э' — рй'Ю (12) — р'О те — йй р,е — — — ри'о' = А й йу (13) Величину А можно при этом рассматривать как коэффициент некоторой воображаемой „турбулентной" вязкост~, обусловленной не чикропереносом количеств движения молекул, а возникающим между славин осреднепного движения эа счет поперечных пульсаций макро- переносом количеств движении конечных объемов впшкости, и назвать коэффициентом турбулеялгного обмела.
Если в данном частном случае движения в плоской трубе предположить, что А есть некоторая постоянная величина и, подсчитав сопротивление трубы„подобно тому, как зто было сделано ранее в случае ламннарного движения, непосредственно измерить действительное сопротивление и сравнить г Л, Г. Лойцявсквй, Лзроливамвкь пограничного слоя.
Госгехнздгг 1941, стр, 273, а также .Современное состояние гидроаэродявамвки вязкой жвдкостн", т. 1. Гостехиздат, 1943, стр. 224. Итак, приходим к выводу: уравнения оередкеыного турбулеяткого движения могут быть яаписаны в той же форме, что и уравнении дейслгвительного движения, если только, помимо вязких (иьютоповских) напряжений, учесть еще дополнительные игурбулентные напряжения. Система уравнений (11), состоящая из четырех уравнений, содержит в себе, кроме четырех неизвестных — давления и трех проекций осредненной скорости,— еще тесть неизвестных турбулентных напряжений р~, р„„..., относительно которых остается сделать какие-то дополнительные предположения; в противном случае система (11) будет неопределенной.
Уравнения Рейнольдса (11), так же как н входящие в них компоненты турбулентных напряжений, можно было бы предсгавить в любой системе криволинейных координат;~ для дальнейших целен достаточно уравнений в декартовых координатах. Если попытаться подчинить турбулентные напряжения закону, представляющему аналог обобщенного закона Ньютона, то, например, в случае плоского прямолинейного и параллельного оси х осредненного движения со скоростью и, являющейся функцией только от у, будем иметь: 9 93) основныв эгавнвния осввднвнного движвния ВО1 результаты между собой, то полученные таким образом величины А окажутся в десятки тысяч раз превосходящими величину коэффициента молекулярной вязкости р..
Образно говоря, коэффициент турбулентной вязкости А воздуха оказывается равен коэффициенту обычной молекулярной вязкости сиропа, а соответствующий кинема- А тический коэффициент турбулентной вязкости е = — — кинематичеа скому коэффициенту молекулярной вязкости т сапожной ваксы.' Однако измерения показывают, что величина А, кроме того, в отличие от 1ь, не является постоянной, характерной для жидкости или ее турбулентного движения. Коэффициент А резко меняется по сечению трубы от очень малых значений вблизи стенки трубы до некоторого максимума примерно на расстоянии полурадиуса трубы от ее стенки и затем внрвь убывает до некоторого минимума на оси трубы.
рассматривая осредненное движение в трубе, можно написать выражение полного касательного напряжения „трения", понимая под последним как ламинарное (мопекулярное), так и турбулентное трение, в виде: Рву = Ь + А) л (14) Ми~ (Р~я)л=а = ем= й( — ~ "У~а=о (15) При удалении от стенки величина А очень быстро возрастаег, доходя до тех больших значений, о которых была речь ранее. В связи с этим почти повсюду в потоке, исключая только область, непосредственно прилегающую к стенке трубы, можно пренебрегать вязкими напряжениями по сравнению с турбулентными; в дальнейшем этим выводом придется пользоваться постоянно.
Подчеркнем, что высказанное положение совсем не означает возможносги вообще пренебрегать вязкостью жидкости в турбулентных лв процессах' дело идет лишь о пренебрежении членами вида 1г — по 1 лу ля сравнению с А — где и — осреднениая скорость. Влияние же Ду \ ~ Заимствуем этот образ из доклада И. А. Кабеля яа совещании по ~Грбулезтяосгя в Научно-яссл. яя-ге гидротехники в январе 1ИЗ г. (См. Известия НИИГ, т. 1Х.) 'Только в непосредсгвенной близости к стенке трубы слагаемое й сравнимо по величине с А, причем на самой стенке А=О, и напряжение трения совпадает с принятым в теории ламинарного движения (см.
предыдущую главу) выражением 802 (>л. гх гггвглг нтнов движвнив вязкости на внутренние процессы (затухание и зарождение возмущений, нагрев потока и др.) сохраняет чрезвычайно важное значение в любом пункте турбулентного потока. Предположение (13) (или аналогичные предположения, относящиеся к турбулентным потокам общего типа) содержит величину „коэффициента турбулентного обмена" А в качестве переменной по сечению трубы неизвестной величины, нуждающейся для своего определения в дополнительных теоретических соображениях.
Современная измерительная техника в гидроаэродннамике позволяет получать не только осредненные во времени и пространстве, но и мгновенные значения скорое>ей и давлений.' Пример такого рода замеров был полазав в начале настояще>т> параграфа (рис. 187). В дальнейшем цри сравнении результатов теоретических расчегов осредненного турбулентного дан>кения с опытными материалами всегда в скрытом виде будет предполагаться, что пространственно-временное осреднение, производимое приборами, совпадает с принятым законом осреднения (3).
Конечно, такое предположение является новым дополнительным допущением н может вызвать сомнение в возможности сравнения результатов теорегических расче>ов турбулентных течений и опытных замеров. Этот факт, а также встречающаяся в дальнейшем необходимость принятия ряда других дополнительных допущений, возникающая по ходу изложения теоретических методов расчета турбулентных потоков, накладывает на все содержание настоящей главы общий отпечаток незаконченности и нестрогости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
